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2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是“光盘行动”的宣传海报(部分)，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
2. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而减少的是( )
A. y=2x B. y=1x(x>0) C. y=2x−3 D. y=−x2
3. 公园中的休闲桌如图所示，下面为其俯视图的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D. 暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是( )
A. 当I<0.25时，R<880
B. I与R的函数关系式是I=200R(R>0)
C. 当R>1000时，I>0.22
D. 当880
①2a+b=0；
②abc>0；
③b2−4ac>0；
④4a+2b+c<0．
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C= ．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，则tanA= ．
9. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12.李老师乘扶梯从底端A以0.5m/s的速度用时40s到达顶端B，则李老师上升的垂直高度BC为 ．
10. 已知α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，求α2+αβ−2β的值为 ．
11. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案.现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中图形的周长为 ．
12. 已知点M(2,0)，⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，连接OP，AP，若△POA是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)解方程：x(x+4)=2x+8．
(2)为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践.根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3m，该同学身高CD=1.6m.请你计算树(AB)的高度．
14. (本小题6.0分)
如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．
(1)若CD=40cm，求AB的长；
(2)将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，求两条桌腿需叉开角度∠AOB．
15. (本小题6.0分)
已知四边形ABCD是正方形，AE=2ED，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，将线段AE绕着点A顺时针旋转90°；
(2)在图2中，连接AC，将线段AC绕着点C顺时针旋转135°得到CG．
16. (本小题6.0分)
如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：
(1)小明挪出骰子，数字“6”朝下的是 事件；
A.不可能
B.必然
C.随机
(2)用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．
17. (本小题6.0分)
如图、在平面直角坐标系xOy中，点A是y轴正半轴上一点，过点A作直线AB交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点B、E，过点A作AC//x轴，交反比例函数的图象于点C，连接BC.AB=BC=5，AC=6．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求△EBC的面积．
18. (本小题8.0分)
图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN).已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角.∠PME=37°．
(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43)
(1)求点P到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
19. (本小题8.0分)
学校某数学调查小组通过随机调查了某社交App的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60人(其中女性20人)，统计他们在日常消费时是否使用手机支付的情况，定义：使用手机支付的为“手机支付族”，其他的为“非手机支付族”.根据抽样数据，绘制如下统计表．
手机支付
非手机支付
合计
男
30
10
40
女
a
8
20
合计
42
b
60
(1)①a= ，b= ；
②用样本估计总体，若从该社交App女性用户中随机抽取1位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
(2)某商场对“手机支付族”和“非手机支付族”有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次抽奖的机会在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定赠送相应券值的礼金券.(如表)
手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
5
10
5
非手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
5
10
①用树状图表示某顾客进行一次摸奖的结果的所有情况；
②如果只考虑中奖因素，你将会选择哪种付费方式？请说明理由．
20. (本小题8.0分)
点A是矩形EFBG边EG上的点，以AB为直径的圆交EF于点D和点C，AE=ED，连接BD，BC，AC．
(1)求证：AC=BC．
(2)已知AE=1,BD=32，求CD的长．
21. (本小题9.0分)
小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y(元)与一次性批发量x(x为正整数)(件)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x(200≤x≤600)件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
22. (本小题9.0分)
某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置.喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型.据此建立平面直角坐标系，如图.若喷出的水柱轨迹BC上某一点与支柱AB的水平距离为x(单位：m)，与广场地面的垂直高度为y(单位：m).下面的表中记录了y与x的五组数据：
x/m
0
2
6
10
y/m
3
367
487
367
根据上述信息，解决以下问题：
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状y=ax2+bx+c不变的前提下，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
23. (本小题12.0分)
如图，两个全等的四边形ABCD和OA′B′C′，其中四边形OA′B′C′的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．
回归课本
(1)如图1，若四边形ABCD和OA′B′C′都是正方形，则下列说法正确有 .(填序号)
①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的14；③BE+BF=22DB．
应用提升
(2)如图2，若四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD=a，DC=b，写出OE与OF之间的数量关系，并证明．
类比拓展
(3)如图3，若四边形ABCD和OA′B′C′都是菱形，∠DAB=α，判断(1)中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论(可用α表示)，并选取你所写结论中的一个说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、函数y=2x，y随自变量x的值增大而增大，故A不符合题意，
B、函数y=1x(x>0)，y随自变量x的值增大而减小，故B符合题意，
C、函数y=2x−3，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，
D、函数y=−x2，在x>0时y随自变量x的值增大而减小，x<0时y随自变量x的值增大而增大，故D不符合题意，
故选：B．
根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可得答案．
本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数以及二次函数的性质．
3.【答案】C
【解析】解：俯视图如图所示：
故选：C．
利用俯视图是从物体上面看，所得到的图形解答，在俯视图中，有两个圆是看不到的，故需要化成两个虚线圆．
本题考查了几何体的三种视图，掌握三种视图的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为12，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是16≈0.17，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率23，不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P=0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】解：设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，
∵该图象经过点P(880,0.25)，
∴0.25=U880(R>0)，
∴U=220，
∴I与R的函数关系式是I=220R(R>0)，故B不符合题意；
当R=1000时，I=2201000=0.22，
∵220>0，
∴I随R增大而减小，
∴当I<0.25时，R>880，当R>1000时，I<0.22，当880
设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，利用待定系数法求出I=220R(R>0)，然后求出当R=1000时，I=2201000=0.22，再由220>0，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：①∵x=−b2a=1，
∴−b=2a，
即2a+b=0，故此选项正确．
②∵图象开口向下，则a<0，
∵对称轴经过x轴正半轴，则a，b异号，
∴b>0，
∵图象与y轴交于负半轴，则c<0，
∴故②abc>0正确；
③∵图象与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故此选项正确；
④∵x=−b2a=1，可得图象与x轴右侧的交点小于2，
∴x=2时，对应点的y值小于零，即4a+2b+c<0.故此选项正确；
故选：D．
根据函数图象得出a，b，c的符号以及对称轴和b2−4ac，进而分别判断得出即可．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合得出是解题关键．
7.【答案】120°
【解析】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°−60°=120°，
故答案为：120°．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8.【答案】22
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，
∴BC=AB2−AC2=62−22=42，
∴tanA=BCAC=422=22．
故答案为：22．
根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
9.【答案】10013
【解析】解：设BC=5x m，
∵扶梯AB的坡度i=5：12，
∴AC=12x m，
由题意得：AB=0.5×40=20(m)，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即(12x)2+(5x)2=202，
解得：x1=2013，x2=−2013(舍去)，
则BC=5x=10013(m)，
故答案为：10013．
设BC=5x m，根据坡度的概念得到AC=12x m，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：∵已知α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，
∴α+β=−2，
∴α2+αβ−2β
=α(α+β)−2β
=−2α−2β
=−2(α+β)
=−2×(−2)
=4．
故答案为：4．
根据题意求出α+β的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
11.【答案】8+82
【解析】解：∵七巧板的总面积为16，
∴大正方形的边长为4，
其他各边长如图所示：
∴图2中图形的周长为8+82，
故答案为：8+82．
根据七巧板的总面积为16，得出大正方形的边长为4，再利用七巧板各个图形边的关系得出结论即可．
本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各个图形边长之间的关系是解题的关键．
12.【答案】(1,0)，(3,0)，(32,32)
【解析】解：如图，当P的坐标为(1,0)，(3,0)，(32,32)时，△POA是等腰三角形．理由如下：
连接AM，
∵M(2.0)，⊙M的半径为1，
∴OM=2，AM=PM=1，
∴OP=1，
∵OA切⊙M于点A，
∴∠MAO=90°，
∴∠AOM=30°，
∴∠AMO=60°，
∴PA=AM=PM=1，
∴OP=PA=1，
∴P(1,0)；
当OA=OP′时，连接AP′交x轴于点H，
∵OA切⊙M于点A，
∴OP′切⊙M于点P′，
∴∠P′OM=∠AOM=30°，
∴∠AOP′=60°，
∴△AOP′是等边三角形，
∴AP′=OA=OM2−AM2=22−12=3，
∴OH=32OA=32，P′H=12AP′=32，
∴P′(32,32)；
∵MA=MP″，∠AMO=60°，
∴∠MAP″=∠MP″A=30°，
∴∠AOP″=∠MP″A=30°，
∴OA=OP″，
∴P″(3,0)．
综上所述：当P的坐标为(1,0)，(3,0)，(32,32)时，△POA是等腰三角形．
故答案为：(1,0)，(3,0)，(32,32).
根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA=PO=1，OA=OP″=3，当点P是切点时，AO=AP=3，进而可以解决问题．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△AOP′是等边三角形．
13.【答案】解：(1)x(x+4)=2x+8，
x(x+4)−(2x+8)=0，
x(x+4)−2(x+4)=0，
(x−2)(x+4)=0，
则x−2=0或x+4=0，
解得：x1=2或x2=−4；
(2)由题意知∠CDE=∠ABE=90°．
又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴CDDE=ABBE，
∴1.63=AB9．
∴AB=4.8m，
答：树高是4.8m．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°.由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，相似三角形的应用，关键要找准对应线段，要和物理知识相联系，知道入射光线和反射光线与镜面的夹角相等．
14.【答案】解：(1)由题意得：AB//CD，
∴△ABO∽△DCO，
∴ABCD=AOOD，
∴AB40=5030，
∴AB=2003，
即AB的长为2003cm；
(2)解：作DE⊥AB于E．
∵AD=OA+OB=50+30=80，DE=40，
∴sinA=12，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°−30°−30°=120°．
【解析】(1)先证明△ABO∽△DCO，再由相似三角形的性质求出AB的长即可；
(2)作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A=30°是解题的关键．
15.【答案】解：(1)连接AC，BE交于点P，延长DP交AB于E1，线段AE1即为所求；
由正方形的对称性可知，点B与点D关于AC对称，易知△ABP≌△ADP，△BPE1≌△DPE，则BE1=DE，故AE 1=AE，
即：线段AE绕着点A顺时针旋转90°为AE1；
(2)延长E1O交CD于E2，延长AE2交BC延长线于G，线段CG即为所求；
连接EE2，根据正方形的性质易知AD//BG，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴△BOE1≌△DOE2(AAS)，
则DE=DE2=BE1，
可知△EDE2为等腰直角三角形，
则∠DEE2=45°，EE2=2ED=AE，
∴∠EAE2=∠EE2A=12∠DEE2=22.5°，
则可知∠CAG=22.5°，∠G=∠DAE2=22.5°，∠ACG=135°，
故：CA=CG，
即：CG为线段AC绕着点C顺时针旋转135°得到．
【解析】(1)连接AC，BE交于点P，延长DP交AB于E1，线段AE1即为所求；
(2)延长E1O交CD于E2，延长AE2交BC延长线于G，线段CG即为所求．
本题考查作图——旋转变换，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】A
【解析】解：(1)∵正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，
∴数字“6”朝下为不可能事件；
故选：A．
(2)根据题意列表如下：
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
共有16种等可能，和为6即骰子前进到数字“6”那一格的情况有3种，
所以骰子前进到数字“6”那一格的概率为316．
(1)根据正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，可判断答案；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
17.【答案】解：(1)作BD⊥AC于D，
设A(0,n)，则C(6,n)，
∵AB=BC=5，AC=6，
∴AD=CD=3，
∴BD=BC2−CD2=4，
∴B(3,n+4)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点B，C，
∴k=6n=3(n+4)，
解得n=4，
∴k=6×4=24，
∴反比例函数的表达式为y=24x；
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，
代入A(0,4)，B(3,8)得b=43a+b=8，解得a=43b=4，
∴直线AB为y=43x+4，
由y=43x+4y=24x解得x=3y=8或x=−6y=−4，
∴E(−6,−4)，
∴S△EBC=S△ABC+S△ACE=12×6×(8+4)=36．
【解析】(1)设A(0,n)，则C(6,n)，根据等腰三角形的性质得出AD=CD=3，利用勾股定理求得BD=4，即可得到B(3,n+4)，代入y=kx(k≠0)得到k=6n=3(n+4)，解得n=4，即可求得k=24；
(2)利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得E的坐标，根据S△EBC=S△ABC+S△ACE求得即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，体现了方程思想，综合性较强．
18.【答案】解：(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，
在Rt△PFM中，∠PMF=37°，PM=5m，
∴PF=PM⋅sin37°≈5×35=3(m)，
∴PG=PF+FG=3+1=4(m)，
∴点P到地面的高度约为4m；
(2)由题意得：QN=7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF=37°，PF=3m，
∴∠MPF=90°−∠PMF=53°，FM=PFtan37∘≈334=4(m)，
∴FM=GN=4m，
∴QG=QN−GN=7−4=3(m)，
在Rt△PQG中，tan∠QPG=QGPG=34，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM=∠QPG+∠MPG=90°，
∴∠QPM的度数约为90°．
【解析】(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
(2)由题意得：QN=7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF=53°，然后利用线段的和差关系求出QG=3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】12 18
【解析】解：(1)①a=42−30=12，b=10+8=18，
故答案为：12，18；
②∵随机抽取了20位女性，是“手机支付族”的有12位，
故社交App女性用户中随机抽取1位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是1220=35，
答：这位女性用户是“手机支付族”的概率是35；
(2)①树状图：
②根据树状图可知，有12种等可能的结果，
“手机支付族”购物摸一次奖获10元礼金券的概率P=812=23，
“非手机支付族”购物摸一次奖获10元礼金券的概率P=412=13，
∴23>13，
∴选择“手机支付族”支付．
(1)①利用随机抽取了60人，其中女性20人进行计算即可；②随机抽取了20位女性，是“手机支付族”的有12位，利用概率公式计算即可；
(2)①让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；②算出相应的平均收益，比较即可．
本题主要考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)证明：如图所示，连接AD，
∵四边形EFBG是矩形，
∴∠E=90°，
∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACF=90°，
∴∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=45°=∠BAC，
∴AC=BC；
(2)解：∵在Rt△AED中，AD=AE=1，∠E=90°，
∴AD=AE2+DE2=2，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°,BD=32,AD=2，
∴AB=BD2+AD2=25，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=BC=22AB=10，
∴在Rt△AEC中，由勾股定理得CE=AC2−AE2=3，
∴CD=CE−DE=3−1=2．
【解析】(1)如图所示，连接AD，先推出∠ADE=∠DAE=45°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=∠ACF=90°，则可推出∠BAC=∠BDC=45°，进而得到∠ABC=∠BAC，即可证明AC=BC
(2)先利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，再求出AC的长，即可求出CE的长，由此即可得到答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把(200,30)和(400,20)代入解析式得：200k+b=30400k+b=20，
解得k=−120b=40，
∴当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=−120x+40；
(2)由图可知，当x=200时，所付款为30×200=6000(元)，
当x=400时，所付款为20×400=8000(元)，
∵6000<7280<8000，
∴购买数量位于200与400之间，
∴(−120x+40)x=7280，
解得x1=280，x2=520(舍去)，
答：此次批发量为280件；
(3)当200≤x≤400时，
w=(−120x+40−15)x=−120x2+25x=−120(x−250)2+3125，
∵−120<0，
∴当x=250时，w有最大值，最大值为3125；
当400
∵3000<3125，
∴当x=250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)首先判断出购买的数量大于200小于400，则由数量×单价=付款项，列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
(3)分200≤x≤400和400
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系为y=ax2+bx+c，把(0,3)(2,367)，(6,487)代入得：
c=34a+2b+c=36736a+6b+c=487，
解得a=−328b=97c=3，
∴y=−328x2+97x+3；
(2)在y=−328x2+97x+3中，令y=0得：
−328x2+97x+3=0，
解得x=14或x=−2(舍去)，
∴水柱落地点与雕塑AB的水平距离是14米；
(3)∵喷出水柱轨迹的形状不变，
∴a=−328，
水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过(7,0)，(0,3)，
∴c=3−328×48+7b+c=0，
解得b=928c=3，
∴y=−328x2+928x+3=−328(x−32)2+363112，
∴当x=32时，喷水池水柱的最大高度是363112米，
由(2)知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328(x−6)2+487，
∴当x=6时，喷水池水柱的最大高度是487米，
综上所述，喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
【解析】(1)用待定系数法可得答案；
(2)在y=−328x2+97x+3中，令y=0可解得水柱落地点与雕塑AB的水平距离是14米；
(3)水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过(7,0)，(0,3)，可得y=−328x2+928x+3=−328(x−32)2+363112，喷水池水柱的最大高度是363112米，结合(2)知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328(x−6)2+487，喷水池水柱的最大高度是487米，故喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
23.【答案】①②③
【解析】解：(1)如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°=∠BOC，
∴∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC(SAS)，
∴OE=OF，故①正确，
S△EOB=S△FOC，BE=CF，
∴重叠部分的面积S四边形OEBF=S△BOC=14S四边形ABCD，故②正确；
∴BE+BF=CF+BF=BC=22BD，故③正确；
故答案为：①②③；
(2)OEOF= ab，理由如下：
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图：
∵四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，
∴∠EBF+∠EOF=180°，
∴∠BFO+∠BEO=180°，
∵∠OEM+∠BEO=180°，
∴∠OEM=∠BFO，
∵∠OME=90°=∠ONF，
∴△OEM∽△OFN，
∴OEOF=OMON，
∵OM//AD，ON//CD，
∴OMAD=OBBD=ONCD，
∴OMa=ONb，
∴OMON=ab，
∴OEOF=ab；
(3)题(1)中的结论①正确，结论②重叠部分的面积等于四边形ABCD面积的12sin2α2，结论③BE+BF=BD⋅sinα2；证明如下：
证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图：
∵菱形ABCD和菱形OA′B′C′全等，
∴∠CBA=∠A′，∠EOF+∠A′=180°，OM=ON，
∴∠EBF+∠EOF=180°，
∴∠BFO+∠OEB=180°，
∴∠OEB=∠OFC，
∴△OEM≌△OFN(AAS)，
∴OE=OF，EM=FN，
由题意∠EOF=∠MON=α，△OBM≌△OBN(AAS)，
∴BM=BN，∠MOB=∠NOB=α2，
∴BE+BF=BM+BN=2BM=2BO⋅sinα2=BD⋅sinα2；
重叠部分的面积S四边形BMON
=2S△OBM
=2×12×BM⋅OM
=BM⋅OM
=OB⋅sinα2⋅OA⋅sinα2
=12BD⋅sinα2⋅12AC⋅sinα2
=14BD⋅ACsin2α2
=14×2×S菱形ABCD⋅sin2α2
=12sin2α2⋅S菱形ABCD．
(1)证明△EOB≌△FOC(SAS)，可得OE=OF，故①正确，可得S△EOB=S△FOC，BE=CF，故重叠部分的面积S四边形OEBF=S△BOC=14S四边形ABCD，②正确；且BE+BF=CF+BF=BC=22BD，故③正确；
(2)过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证明△OEM∽△OFN，得OEOF=OMON，而OMAD=OBBD=ONCD，即可得OEOF=ab；
(3)过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证明△OEM≌△OFN(AAS)，得OE=OF，EM=FN，又∠EOF=∠MON=α，△OBM≌△OBN(AAS)，故BM=BN，∠MOB=∠NOB=α2，可得BE+BF=BM+BN=2BM=2BO⋅sinα2=BD⋅sinα2；S四边形BMON=2S△OBM=12sin2α2⋅S菱形ABCD，即可得到答案．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是“光盘行动”的宣传海报(部分)，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
2. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而减少的是( )
A. y=2x B. y=1x(x>0) C. y=2x−3 D. y=−x2
3. 公园中的休闲桌如图所示，下面为其俯视图的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D. 暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是( )
A. 当I<0.25时，R<880
B. I与R的函数关系式是I=200R(R>0)
C. 当R>1000时，I>0.22
D. 当880
①2a+b=0；
②abc>0；
③b2−4ac>0；
④4a+2b+c<0．
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，若∠A=60°，则∠C= ．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，则tanA= ．
9. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12.李老师乘扶梯从底端A以0.5m/s的速度用时40s到达顶端B，则李老师上升的垂直高度BC为 ．
10. 已知α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，求α2+αβ−2β的值为 ．
11. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案.现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中图形的周长为 ．
12. 已知点M(2,0)，⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，连接OP，AP，若△POA是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)解方程：x(x+4)=2x+8．
(2)为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践.根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3m，该同学身高CD=1.6m.请你计算树(AB)的高度．
14. (本小题6.0分)
如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．
(1)若CD=40cm，求AB的长；
(2)将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，求两条桌腿需叉开角度∠AOB．
15. (本小题6.0分)
已知四边形ABCD是正方形，AE=2ED，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，将线段AE绕着点A顺时针旋转90°；
(2)在图2中，连接AC，将线段AC绕着点C顺时针旋转135°得到CG．
16. (本小题6.0分)
如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：
(1)小明挪出骰子，数字“6”朝下的是 事件；
A.不可能
B.必然
C.随机
(2)用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．
17. (本小题6.0分)
如图、在平面直角坐标系xOy中，点A是y轴正半轴上一点，过点A作直线AB交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于点B、E，过点A作AC//x轴，交反比例函数的图象于点C，连接BC.AB=BC=5，AC=6．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求△EBC的面积．
18. (本小题8.0分)
图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN).已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角.∠PME=37°．
(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43)
(1)求点P到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
19. (本小题8.0分)
学校某数学调查小组通过随机调查了某社交App的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60人(其中女性20人)，统计他们在日常消费时是否使用手机支付的情况，定义：使用手机支付的为“手机支付族”，其他的为“非手机支付族”.根据抽样数据，绘制如下统计表．
手机支付
非手机支付
合计
男
30
10
40
女
a
8
20
合计
42
b
60
(1)①a= ，b= ；
②用样本估计总体，若从该社交App女性用户中随机抽取1位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
(2)某商场对“手机支付族”和“非手机支付族”有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次抽奖的机会在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定赠送相应券值的礼金券.(如表)
手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
5
10
5
非手机支付族：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
5
10
①用树状图表示某顾客进行一次摸奖的结果的所有情况；
②如果只考虑中奖因素，你将会选择哪种付费方式？请说明理由．
20. (本小题8.0分)
点A是矩形EFBG边EG上的点，以AB为直径的圆交EF于点D和点C，AE=ED，连接BD，BC，AC．
(1)求证：AC=BC．
(2)已知AE=1,BD=32，求CD的长．
21. (本小题9.0分)
小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y(元)与一次性批发量x(x为正整数)(件)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x(200≤x≤600)件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
22. (本小题9.0分)
某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置.喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型.据此建立平面直角坐标系，如图.若喷出的水柱轨迹BC上某一点与支柱AB的水平距离为x(单位：m)，与广场地面的垂直高度为y(单位：m).下面的表中记录了y与x的五组数据：
x/m
0
2
6
10
y/m
3
367
487
367
根据上述信息，解决以下问题：
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状y=ax2+bx+c不变的前提下，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
23. (本小题12.0分)
如图，两个全等的四边形ABCD和OA′B′C′，其中四边形OA′B′C′的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．
回归课本
(1)如图1，若四边形ABCD和OA′B′C′都是正方形，则下列说法正确有 .(填序号)
①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的14；③BE+BF=22DB．
应用提升
(2)如图2，若四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD=a，DC=b，写出OE与OF之间的数量关系，并证明．
类比拓展
(3)如图3，若四边形ABCD和OA′B′C′都是菱形，∠DAB=α，判断(1)中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论(可用α表示)，并选取你所写结论中的一个说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、函数y=2x，y随自变量x的值增大而增大，故A不符合题意，
B、函数y=1x(x>0)，y随自变量x的值增大而减小，故B符合题意，
C、函数y=2x−3，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，
D、函数y=−x2，在x>0时y随自变量x的值增大而减小，x<0时y随自变量x的值增大而增大，故D不符合题意，
故选：B．
根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可得答案．
本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数以及二次函数的性质．
3.【答案】C
【解析】解：俯视图如图所示：
故选：C．
利用俯视图是从物体上面看，所得到的图形解答，在俯视图中，有两个圆是看不到的，故需要化成两个虚线圆．
本题考查了几何体的三种视图，掌握三种视图的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为12，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是16≈0.17，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率23，不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P=0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】解：设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，
∵该图象经过点P(880,0.25)，
∴0.25=U880(R>0)，
∴U=220，
∴I与R的函数关系式是I=220R(R>0)，故B不符合题意；
当R=1000时，I=2201000=0.22，
∵220>0，
∴I随R增大而减小，
∴当I<0.25时，R>880，当R>1000时，I<0.22，当880
设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，利用待定系数法求出I=220R(R>0)，然后求出当R=1000时，I=2201000=0.22，再由220>0，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：①∵x=−b2a=1，
∴−b=2a，
即2a+b=0，故此选项正确．
②∵图象开口向下，则a<0，
∵对称轴经过x轴正半轴，则a，b异号，
∴b>0，
∵图象与y轴交于负半轴，则c<0，
∴故②abc>0正确；
③∵图象与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故此选项正确；
④∵x=−b2a=1，可得图象与x轴右侧的交点小于2，
∴x=2时，对应点的y值小于零，即4a+2b+c<0.故此选项正确；
故选：D．
根据函数图象得出a，b，c的符号以及对称轴和b2−4ac，进而分别判断得出即可．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合得出是解题关键．
7.【答案】120°
【解析】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°−60°=120°，
故答案为：120°．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8.【答案】22
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，
∴BC=AB2−AC2=62−22=42，
∴tanA=BCAC=422=22．
故答案为：22．
根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
9.【答案】10013
【解析】解：设BC=5x m，
∵扶梯AB的坡度i=5：12，
∴AC=12x m，
由题意得：AB=0.5×40=20(m)，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即(12x)2+(5x)2=202，
解得：x1=2013，x2=−2013(舍去)，
则BC=5x=10013(m)，
故答案为：10013．
设BC=5x m，根据坡度的概念得到AC=12x m，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：∵已知α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，
∴α+β=−2，
∴α2+αβ−2β
=α(α+β)−2β
=−2α−2β
=−2(α+β)
=−2×(−2)
=4．
故答案为：4．
根据题意求出α+β的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
11.【答案】8+82
【解析】解：∵七巧板的总面积为16，
∴大正方形的边长为4，
其他各边长如图所示：
∴图2中图形的周长为8+82，
故答案为：8+82．
根据七巧板的总面积为16，得出大正方形的边长为4，再利用七巧板各个图形边的关系得出结论即可．
本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各个图形边长之间的关系是解题的关键．
12.【答案】(1,0)，(3,0)，(32,32)
【解析】解：如图，当P的坐标为(1,0)，(3,0)，(32,32)时，△POA是等腰三角形．理由如下：
连接AM，
∵M(2.0)，⊙M的半径为1，
∴OM=2，AM=PM=1，
∴OP=1，
∵OA切⊙M于点A，
∴∠MAO=90°，
∴∠AOM=30°，
∴∠AMO=60°，
∴PA=AM=PM=1，
∴OP=PA=1，
∴P(1,0)；
当OA=OP′时，连接AP′交x轴于点H，
∵OA切⊙M于点A，
∴OP′切⊙M于点P′，
∴∠P′OM=∠AOM=30°，
∴∠AOP′=60°，
∴△AOP′是等边三角形，
∴AP′=OA=OM2−AM2=22−12=3，
∴OH=32OA=32，P′H=12AP′=32，
∴P′(32,32)；
∵MA=MP″，∠AMO=60°，
∴∠MAP″=∠MP″A=30°，
∴∠AOP″=∠MP″A=30°，
∴OA=OP″，
∴P″(3,0)．
综上所述：当P的坐标为(1,0)，(3,0)，(32,32)时，△POA是等腰三角形．
故答案为：(1,0)，(3,0)，(32,32).
根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA=PO=1，OA=OP″=3，当点P是切点时，AO=AP=3，进而可以解决问题．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△AOP′是等边三角形．
13.【答案】解：(1)x(x+4)=2x+8，
x(x+4)−(2x+8)=0，
x(x+4)−2(x+4)=0，
(x−2)(x+4)=0，
则x−2=0或x+4=0，
解得：x1=2或x2=−4；
(2)由题意知∠CDE=∠ABE=90°．
又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴CDDE=ABBE，
∴1.63=AB9．
∴AB=4.8m，
答：树高是4.8m．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°.由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，相似三角形的应用，关键要找准对应线段，要和物理知识相联系，知道入射光线和反射光线与镜面的夹角相等．
14.【答案】解：(1)由题意得：AB//CD，
∴△ABO∽△DCO，
∴ABCD=AOOD，
∴AB40=5030，
∴AB=2003，
即AB的长为2003cm；
(2)解：作DE⊥AB于E．
∵AD=OA+OB=50+30=80，DE=40，
∴sinA=12，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°−30°−30°=120°．
【解析】(1)先证明△ABO∽△DCO，再由相似三角形的性质求出AB的长即可；
(2)作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A=30°是解题的关键．
15.【答案】解：(1)连接AC，BE交于点P，延长DP交AB于E1，线段AE1即为所求；
由正方形的对称性可知，点B与点D关于AC对称，易知△ABP≌△ADP，△BPE1≌△DPE，则BE1=DE，故AE 1=AE，
即：线段AE绕着点A顺时针旋转90°为AE1；
(2)延长E1O交CD于E2，延长AE2交BC延长线于G，线段CG即为所求；
连接EE2，根据正方形的性质易知AD//BG，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴△BOE1≌△DOE2(AAS)，
则DE=DE2=BE1，
可知△EDE2为等腰直角三角形，
则∠DEE2=45°，EE2=2ED=AE，
∴∠EAE2=∠EE2A=12∠DEE2=22.5°，
则可知∠CAG=22.5°，∠G=∠DAE2=22.5°，∠ACG=135°，
故：CA=CG，
即：CG为线段AC绕着点C顺时针旋转135°得到．
【解析】(1)连接AC，BE交于点P，延长DP交AB于E1，线段AE1即为所求；
(2)延长E1O交CD于E2，延长AE2交BC延长线于G，线段CG即为所求．
本题考查作图——旋转变换，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】A
【解析】解：(1)∵正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，
∴数字“6”朝下为不可能事件；
故选：A．
(2)根据题意列表如下：
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
共有16种等可能，和为6即骰子前进到数字“6”那一格的情况有3种，
所以骰子前进到数字“6”那一格的概率为316．
(1)根据正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，可判断答案；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
17.【答案】解：(1)作BD⊥AC于D，
设A(0,n)，则C(6,n)，
∵AB=BC=5，AC=6，
∴AD=CD=3，
∴BD=BC2−CD2=4，
∴B(3,n+4)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点B，C，
∴k=6n=3(n+4)，
解得n=4，
∴k=6×4=24，
∴反比例函数的表达式为y=24x；
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，
代入A(0,4)，B(3,8)得b=43a+b=8，解得a=43b=4，
∴直线AB为y=43x+4，
由y=43x+4y=24x解得x=3y=8或x=−6y=−4，
∴E(−6,−4)，
∴S△EBC=S△ABC+S△ACE=12×6×(8+4)=36．
【解析】(1)设A(0,n)，则C(6,n)，根据等腰三角形的性质得出AD=CD=3，利用勾股定理求得BD=4，即可得到B(3,n+4)，代入y=kx(k≠0)得到k=6n=3(n+4)，解得n=4，即可求得k=24；
(2)利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得E的坐标，根据S△EBC=S△ABC+S△ACE求得即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，体现了方程思想，综合性较强．
18.【答案】解：(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，
在Rt△PFM中，∠PMF=37°，PM=5m，
∴PF=PM⋅sin37°≈5×35=3(m)，
∴PG=PF+FG=3+1=4(m)，
∴点P到地面的高度约为4m；
(2)由题意得：QN=7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF=37°，PF=3m，
∴∠MPF=90°−∠PMF=53°，FM=PFtan37∘≈334=4(m)，
∴FM=GN=4m，
∴QG=QN−GN=7−4=3(m)，
在Rt△PQG中，tan∠QPG=QGPG=34，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM=∠QPG+∠MPG=90°，
∴∠QPM的度数约为90°．
【解析】(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
(2)由题意得：QN=7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF=53°，然后利用线段的和差关系求出QG=3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】12 18
【解析】解：(1)①a=42−30=12，b=10+8=18，
故答案为：12，18；
②∵随机抽取了20位女性，是“手机支付族”的有12位，
故社交App女性用户中随机抽取1位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是1220=35，
答：这位女性用户是“手机支付族”的概率是35；
(2)①树状图：
②根据树状图可知，有12种等可能的结果，
“手机支付族”购物摸一次奖获10元礼金券的概率P=812=23，
“非手机支付族”购物摸一次奖获10元礼金券的概率P=412=13，
∴23>13，
∴选择“手机支付族”支付．
(1)①利用随机抽取了60人，其中女性20人进行计算即可；②随机抽取了20位女性，是“手机支付族”的有12位，利用概率公式计算即可；
(2)①让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；②算出相应的平均收益，比较即可．
本题主要考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)证明：如图所示，连接AD，
∵四边形EFBG是矩形，
∴∠E=90°，
∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACF=90°，
∴∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=45°=∠BAC，
∴AC=BC；
(2)解：∵在Rt△AED中，AD=AE=1，∠E=90°，
∴AD=AE2+DE2=2，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°,BD=32,AD=2，
∴AB=BD2+AD2=25，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=BC=22AB=10，
∴在Rt△AEC中，由勾股定理得CE=AC2−AE2=3，
∴CD=CE−DE=3−1=2．
【解析】(1)如图所示，连接AD，先推出∠ADE=∠DAE=45°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=∠ACF=90°，则可推出∠BAC=∠BDC=45°，进而得到∠ABC=∠BAC，即可证明AC=BC
(2)先利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，再求出AC的长，即可求出CE的长，由此即可得到答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把(200,30)和(400,20)代入解析式得：200k+b=30400k+b=20，
解得k=−120b=40，
∴当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=−120x+40；
(2)由图可知，当x=200时，所付款为30×200=6000(元)，
当x=400时，所付款为20×400=8000(元)，
∵6000<7280<8000，
∴购买数量位于200与400之间，
∴(−120x+40)x=7280，
解得x1=280，x2=520(舍去)，
答：此次批发量为280件；
(3)当200≤x≤400时，
w=(−120x+40−15)x=−120x2+25x=−120(x−250)2+3125，
∵−120<0，
∴当x=250时，w有最大值，最大值为3125；
当400
∵3000<3125，
∴当x=250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)首先判断出购买的数量大于200小于400，则由数量×单价=付款项，列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
(3)分200≤x≤400和400
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系为y=ax2+bx+c，把(0,3)(2,367)，(6,487)代入得：
c=34a+2b+c=36736a+6b+c=487，
解得a=−328b=97c=3，
∴y=−328x2+97x+3；
(2)在y=−328x2+97x+3中，令y=0得：
−328x2+97x+3=0，
解得x=14或x=−2(舍去)，
∴水柱落地点与雕塑AB的水平距离是14米；
(3)∵喷出水柱轨迹的形状不变，
∴a=−328，
水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过(7,0)，(0,3)，
∴c=3−328×48+7b+c=0，
解得b=928c=3，
∴y=−328x2+928x+3=−328(x−32)2+363112，
∴当x=32时，喷水池水柱的最大高度是363112米，
由(2)知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328(x−6)2+487，
∴当x=6时，喷水池水柱的最大高度是487米，
综上所述，喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
【解析】(1)用待定系数法可得答案；
(2)在y=−328x2+97x+3中，令y=0可解得水柱落地点与雕塑AB的水平距离是14米；
(3)水柱喷水的半径为7m时，抛物线经过(7,0)，(0,3)，可得y=−328x2+928x+3=−328(x−32)2+363112，喷水池水柱的最大高度是363112米，结合(2)知，水柱喷水的半径为14m时，y=−328x2+97x+3=−328(x−6)2+487，喷水池水柱的最大高度是487米，故喷水池水柱的最大高度是487米，b的范围是928≤b≤97．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
23.【答案】①②③
【解析】解：(1)如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°=∠BOC，
∴∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC(SAS)，
∴OE=OF，故①正确，
S△EOB=S△FOC，BE=CF，
∴重叠部分的面积S四边形OEBF=S△BOC=14S四边形ABCD，故②正确；
∴BE+BF=CF+BF=BC=22BD，故③正确；
故答案为：①②③；
(2)OEOF= ab，理由如下：
过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图：
∵四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，
∴∠EBF+∠EOF=180°，
∴∠BFO+∠BEO=180°，
∵∠OEM+∠BEO=180°，
∴∠OEM=∠BFO，
∵∠OME=90°=∠ONF，
∴△OEM∽△OFN，
∴OEOF=OMON，
∵OM//AD，ON//CD，
∴OMAD=OBBD=ONCD，
∴OMa=ONb，
∴OMON=ab，
∴OEOF=ab；
(3)题(1)中的结论①正确，结论②重叠部分的面积等于四边形ABCD面积的12sin2α2，结论③BE+BF=BD⋅sinα2；证明如下：
证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图：
∵菱形ABCD和菱形OA′B′C′全等，
∴∠CBA=∠A′，∠EOF+∠A′=180°，OM=ON，
∴∠EBF+∠EOF=180°，
∴∠BFO+∠OEB=180°，
∴∠OEB=∠OFC，
∴△OEM≌△OFN(AAS)，
∴OE=OF，EM=FN，
由题意∠EOF=∠MON=α，△OBM≌△OBN(AAS)，
∴BM=BN，∠MOB=∠NOB=α2，
∴BE+BF=BM+BN=2BM=2BO⋅sinα2=BD⋅sinα2；
重叠部分的面积S四边形BMON
=2S△OBM
=2×12×BM⋅OM
=BM⋅OM
=OB⋅sinα2⋅OA⋅sinα2
=12BD⋅sinα2⋅12AC⋅sinα2
=14BD⋅ACsin2α2
=14×2×S菱形ABCD⋅sin2α2
=12sin2α2⋅S菱形ABCD．
(1)证明△EOB≌△FOC(SAS)，可得OE=OF，故①正确，可得S△EOB=S△FOC，BE=CF，故重叠部分的面积S四边形OEBF=S△BOC=14S四边形ABCD，②正确；且BE+BF=CF+BF=BC=22BD，故③正确；
(2)过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证明△OEM∽△OFN，得OEOF=OMON，而OMAD=OBBD=ONCD，即可得OEOF=ab；
(3)过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证明△OEM≌△OFN(AAS)，得OE=OF，EM=FN，又∠EOF=∠MON=α，△OBM≌△OBN(AAS)，故BM=BN，∠MOB=∠NOB=α2，可得BE+BF=BM+BN=2BM=2BO⋅sinα2=BD⋅sinα2；S四边形BMON=2S△OBM=12sin2α2⋅S菱形ABCD，即可得到答案．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
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