2023年湖北省仙桃市荣怀学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省仙桃市荣怀学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，：：，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4.  抛物线的对称轴是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，是的直径，，两点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，的顶点是正方形网格的格点，则是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间下列结论中：；；；，则正确的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  某药店一月份销售口罩包，一至三月份共销售口罩包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程        ．

12.  已知圆锥底面圆的周长为，圆锥的母线为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为        ．

13.  在一个不透明的盒子中装有张卡片，分别标有数字，，，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是        ．

14.  如图，是半圆的直径，以为圆心，长为半径的半圆交于，两点，弦切小半圆于点已知，，则图中阴影部分的面积是______．

15.  如图，正方形的边长是，是边上一点且，为边上的一个动点，连接，以为边向右作等边三角形，连接，则长的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
如图，、是以线段为直径的上的两点，且四边形是菱形，连接．
在图中，用无刻度的直尺作出的中线；
在图中，用无刻度的直尺作出的中线．

18.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
求实数的取值范围；
若，求的值．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
根据图象，直接写出满足的的取值范围；
求这两个函数的表达式；
点在线段上，且：：，求点的坐标．

20.  本小题分
如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处；乙船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处．求：
甲船与灯塔之间的距离；
两艘货船之间的距离．

21.  本小题分
如图，点为上的一点，点在直径的延长线上，并且．
求证：是的切线；
过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的长．

22.  本小题分
大学生小张利用暑假天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为元件的新型商品，此类新型商品在第天的销售量件与销售的天数为整数的关系如表：

销售单价元件与满足：当时，；当时，．
直接写出销售量与的函数关系．
这天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
求出该超市暑假期间利润不低于元的天数．

23.  本小题分
已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．
如图，连接、，求的值；
当正方形旋转至图位置时，连接、，分别取、的中点、，连接，试探究：与的关系，并说明理由．

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接．

求抛物线的解析式；
如图，点是直线下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
如图，将抛物线沿射线方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，即，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：．
代入数据求出根的判别式的值，根据的正负即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：．
由的对称轴是直线可得答案．
本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，，
，
，
故选：．
根据，求出即可解决问题．
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，进而即可求得的度数．由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，则．
根据图形可知：，，

，
，
故选：．
连接，则，根据勾股定理求出，在中，根据锐角三角函数定义求出即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
过作轴于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故选：．
过作轴于，根据正方形的性质得到，，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，

∽，
：：：：，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：．
根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数图象开口向上，
，
对称轴在轴右侧，则与异号，
，
函数图象与轴交负半轴，
，故，故正确；
顶点坐标，则对称轴为直线，
，，
点关于对称轴直线对称的点为，
当时，，
则，
，
，
，故错误；
当时，，
，故正确；
当时，，
，，
，
，
又，
，即，故错误．
故选B．
根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得，的正负和关系，函数图象与轴的交点可判断的取值范围，当时，进行判断即可，依据顶点坐标可得，，再根据即可得．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数与一元二次方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得：，
故答案为：．
根据题意列出方程即可作答．
本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，
由题意得，，
，
该圆锥的侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
根据圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长进行求解即可．
本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有种情况，
两次两次抽取的卡片上数字之和是偶数的概率为，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

弦切小半圆于点，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积

，
故答案为：．
连接、，如图，根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，利用三角函数求出，计算计算出，，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
本题考查的是切线的性质、扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质、扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，

将绕点旋转，使与重合，得到≌，
，，，
为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，

，
，
则，
长的最小值为．
故答案为：．
由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
 

16.【答案】解：原式


；
，
，
，
，
或，
解得． 

【解析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查的是解一元二次方程及特殊角三角函数值，熟知相关计算方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求；

连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
，
为的中点，
，
为的中点，
即为所求；
连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求，如图所示：

由知：为中点，，
四边形是菱形，
为中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
即为所求． 

【解析】连接，交于点，连接即为所求；
连接，交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，即为所求．
本题考查画三角形的中线，菱形的性质，平行线分线段成比例，掌握三角形的中线，菱形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
 

18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根和，
，
，
，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，，
由知道，
． 

【解析】根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围；
首先根据根与系数关系的关系得到，，然后得到，求出的值即可．
本题考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是把转化为关于的一元二次方程，此题还要掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个的实数根．
 

19.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为．
由图象可得：的的取值范围是或；
反比例函数的图象过点，

，，

一次函数的图象过点，点

解得：，
直线解析式，反比例函数的解析式为；
设直线与轴的交点为，

，
，
，
：：，
，
，，
，
，
点在线段上，
，
 

【解析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求的取值范围；
将点，点坐标代入两个解析式可求，，，的值，从而求得解析式；
先求出和的面积，根据：：，得，求出，从而求出，计算即可得答案．
 

20.【答案】解：连接，

，，
是等边三角形，
，
答：甲船与灯塔之间的距离是；
过作于，

由得，，，，
中，，
，
，
，
答：两艘货船之间的距离是． 

【解析】连接，由图可得，是等边三角形，进而可得的长度；
过作于，根据角的余弦求出，再根据勾股定理可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

21.【答案】证明：连，，如图，
为直径，
，即，
又，
而，
，
，即，
是的切线；

解：为的切线，是切线，
，，
，
，，
，
．
而，
，
∽，证明：连，，如图，
为直径，
，即，
又，
而，
，
，即，
是的切线；
，
，
在中，设，
，
解得．
即的长为． 

【解析】连，，根据圆周角定理得到，而，，于是；
根据切线的性质得到，，则，得到，易证∽，得到，求得，然后在中，运用勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，熟练应用切线判定是解题的关键．
 

22.【答案】解：设销售量件与销售的天数的函数解析式为，
代入，得，，
解得，
因此销售量件与销售的天数的函数解析式为；
设销售利润为元，
当时，，
即：，
当时，最大为；
当时，，
当时，最大为；
所以超市第天获得利润最大，最大利润元；
求出该超市暑假期间利润不低于元的天数，
令，
当时，，
即有：，
解得，，
又，抛物线开口向下，
，即此时共天；
当时，，
即有：，
解得：，
又，且随 的增大而减小，
，
此时有天，
一共有天． 

【解析】设销售量件与销售的天数的函数解析式为，利用待定系数法即可求解；
设销售利润为元，当时，可得；当时，，根据二次函数的图形与性质以及一次函数的图象与性质即可作答；
求出该超市暑假期间利润不低于元的天数，令，当时，；当时，，解一元二次方程以及一元一次不等式，即可作答．
本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，明确题意，正确列式、列方程是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，连接，，

四边形和四边形都是正方形，
，
，
∽，
；
解：，，
理由如下：如图，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，

，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，点是中点，
，，
，． 

【解析】如图，连接，，由正方形的性质得到证明∽，即可得到；
如图，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，证明≌，得到，，则，再证明，即可证明≌，得到，，则，由三角形中位线定理得到，，即可证明，．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设，
把代入得：，
，
；
如图，延长交轴于点，

设点，的周长是，
，，
，，
，
的周长是，
设直线的解析式为，
把，，代入得：，解得：，
直线的解析式是：，
，
，
，
，
轴，
，
∽，
，
，
，
当时，，即周长的最大值为，
当时，，
；
如图，设原抛物线的顶点为，平移后的抛物线的顶点为，连接，

，
，
设直线的解析式为，
把点，，代入得：，解得：，
直线的解析式为，
，
可设直线的解析式为，
把点，代入得：，解得：，
直线的解析式为，
设点，
新抛物线解析式是，
平移后的抛物线与原抛物线相交于点，
，
或舍去，
新抛物线对称轴是直线，
设点，
当时，
，
，
当时，
，
或，
当时，
，
，
或或或或 

【解析】设抛物线解析式为交点式，把点代入即可；
设点坐标，表示出的长，根据∽，进而根据求二次函数的最值求得；
设原抛物线的顶点为，平移后的抛物线的顶点为，连接，则，再求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，可设点，从而得到新抛物线解析式是，将点坐标代入，求出新抛物线的对称轴，进而分为，和，列出方程求得．
本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．