2023年河南省焦作市沁阳市中考数学一检试卷（含解析）

2023年河南省焦作市沁阳市中考数学一检试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )A. 中国探火 B. 中国火箭
C. 中国行星探测 D. 航天神舟2.  下列事件中，正确的是(    )A. 事件发生的可能性越大，概率越接近
B. 某种彩票中奖的概率是，买张该种彩票一定能中奖
C. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率是
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件．3.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，内接于圆，是的直径，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 5.  在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  一个三角形的一边长为，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是(    )A.  B.  C.  D. 7.  某热门电影上映的第一天票房约为亿元，第二天、第三天持续增长，三天累计票房亿元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平均每天票房的增长率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，中，，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 9.  已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；方程有两个相等的实数根其中正确的结论有(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）10.  请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式        ．11.  在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是______ ．
 12.  为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙墙长和长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地如图所示要使围成的两块矩形总种植最大，则应设计为       
13.  如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，与交于点若，，则阴影部分的面积为        ．
 14.  如图，在等边三角形中，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为        ．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
解方程：
；
．16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕原点顺时针旋转后得到．
作出，并写出、、三点的坐标：
       ，        ，        ；
求点旋转到点的弧长．
作关于原点对称的图形．
17.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，求的值及．18.  本小题分
中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了弘扬优秀传统文化，某校团委组织了一次诗词大赛，八班准备从甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中任选人代表班级参加比赛．
如果已经确定女生甲参加比赛，再从其余的候选人中随机选取一人，则男生丙被选中的概率是        ；
求所选代表恰好为一名男生和一名女生的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程19.  本小题分
同学们在操场上玩跳大绳的游戏，跳大绳时，绳甩到最高处的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，距甲同学拿绳的手的水平距离为以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
求此抛物线的解析式；
如果身高为的嘉嘉站在之间，当绳子甩到最高处，求嘉嘉站在距点的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方．
20.  本小题分
中国级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点处，水沿水槽流到田地，与水面交于点，，且点，，在同一直线上，且，若点到点的距离为，立式水轮的最低点到水面的距离为连接，．
求证：是的切线；
请求出水槽的长度．
21.  本小题分
年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品某商家以每套元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件若该产品每套的售价是元时，每天可售出套；若每套售价提高元，则每天少卖套．
设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？
如果每天的利润要达到元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？22.  本小题分
如图，抛物线与直线交于点和点，且点在轴上．
求抛物线的解析式．
点与点是抛物线上两点若，求的取值范围．
点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 2.【答案】 【解析】解：、事件发生的可能性越大概率越接近，正确，符合题意；
B、某种彩票中奖的概率是，买张该种彩票不一定能中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率大于，故原命题错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用概率公式及随机事件的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了概率的求法及随机事件的定义，解题的关键是了解有关的定义及计算方法，难度较小．
 3.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
则的最大整数值是．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 4.【答案】 【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：点关于原点的对称点为，
，，
解得：，，
则的值为：．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而代入得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
或，
，，
这个三角形的三边长为：，，，
，，
，
这个三角形是直角三角形，
这个三角形外接圆的直径是，
这个三角形外接圆的半径是，
故选：．
先解一元二次方程，从而可得这个三角形的三边长为：，，，然后再利用勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的直径等于斜边长，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，根与系数的关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径等于斜边长是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设平均每天票房的增长率为，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
平均每天票房的增长率为．
故选：．
设平均每天票房的增长率为，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据三天累计票房亿元，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于点．

，
，
由旋转的性质可知，，，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
故选：．
如图，过点作轴于点证明是等边三角形，解直角三角形求出，，可得结论．
本题考查作图旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，与异号，
，
与轴交于正半轴，
，
，
故错误；
二次函数图象与轴交于不同两点，则．
．
故正确；
，
．
又当时，．
即．
．
．
．
故正确；
时函数有最大值，，

，
故正确．
将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有个交点，
方程有个实数根．，
故错误．
综上：正确，
故选：．
由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；由二次函数图象与轴交于不同两点，即可判断；由，得，当时，，所以，把替换成计算，即可判断；根据函数的最值即可判断；将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有个交点，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．
 10.【答案】答案不唯一． 【解析】解：抛物线的开口向上、顶点坐标为，
故答案为：答案不唯一．
写出一个抛物线开口向上，顶点为已知点坐标即可．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：三个开关分别用，，表示，根据题意画树状图得：

共有种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有种情况，
则有一个灯泡发光的概率是．
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 12.【答案】 【解析】解：设围成两块矩形的面积之和为，边的长为，则边的长为，
根据题意得：，
．
，
．
，，
当时，取得最大值，最大值，
要使围成的两块矩形总种植最大，则应设计为．
故答案为：．
设围成两块矩形的面积之和为，边的长为，则边的长为，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，结合的长非负及墙长，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的最值以及解一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作，

设，
在中，，则，，
根据平移的性质得：，
在中，，
，或舍去，
，
，

，
．
故答案为：．
连接，过点作，设，则，，在中根据勾股定理可列方程，即可求出，进而得到长，利用计算即可．
本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
 14.【答案】或 【解析】解：为等边三角形，点为的中点，
，即，
可分两种情况，当点在上时或当点在的反向延长线上时，
当点在上时，如图，

在等边三角形中，，点为的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
，
在中，由勾股定理得；
当点在的反向延长线上时，如图，

在等边三角形中，，点为的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
，
在中，由勾股定理得；
综上，的长为或．
故答案为：．
根据题意可分两种情况讨论：当点在上时，先根据勾股定理求出，再由旋转的性质可得，则，再根据勾股定理即可求解；当点在的反向延长线上时，先根据勾股定理求出，再由旋转的性质可得，则，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键是理解题意，利用分类讨论思想解决问题．
 15.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，；
，
，
，
，
，
则或，
解得：，． 【解析】直接移项，再利用因式分解法解方程即可；
直接移项，提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
 16.【答案】     【解析】解：如图，即为所求．
，，．
故答案为：；；．
，
点旋转到点的弧长为．
如图，即为所求．
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称、弧长公式，熟练掌握旋转、中心对称的性质以及弧长公式是解答本题的关键．
 17.【答案】解：由题意可知：且，
且，
且；
把代入方程得，，
，
方程为，
，
，
． 【解析】根据根的判别式即可求出答案．
把代入方程即求得的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出．
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
 18.【答案】 【解析】解：已经确定女生甲参加比赛，
剩下的参赛人员为：女生乙，男生丙，男生丁，
男生丙被选中的概率是．
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选代表恰好为名女生和名男生的结果有种，
所选代表恰好为名女生和名男生的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】解：由题可知：，顶点，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
当时，
，
解得：，，
答：聪聪站在距离点的水平距离为米或米时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【解析】依题意求得点与顶点的坐标，利用待定系数法解答即可；
令，，求得的值即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法和二次函数的性质，由题意得到相应点的坐标是解题的关键．
 20.【答案】证明：连接，并延长交于，连接，则，

，
，，
，
，
是半径，
与相切，
解：如图，于点，且米，

米，
米，
连接，
米，
米，
米，
米，
，，
∽，
，
，
米． 【解析】连接，并延长交于，连接，则，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
由勾股定理求出米，证明∽，得出，可求出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 21.【答案】解：根据题意，得
，
与之间的函数关系式：；
根据题意，得：
，，
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，；
，
或，
因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为元． 【解析】根据题意，得，化简即可；
根据题意，得，化成顶点式，
根据题意，确定每套的售价即可．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 22.【答案】解：将点代入得：
，
解得：，
，
在中，令得，
，
将 代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
点在抛物线上，
，
在中，令得，
解得，，
，且抛物线开口向上，
或；
如图：

，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，
到对称轴的距离分别为个单位长度，到对称轴的距离为个单位长度，点在点的左侧，
或，，
由图可得：
当为时，；
当为时，． 【解析】将点代入得，，即可得，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
由点在抛物线上，知，在中，令得，，又抛物线开口向上，故或；
根据，得抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，又到对称轴的距离分别为个单位长度，到对称轴的距离为个单位长度，点在点的左侧，可得或，，画出图象即可观察得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数的增减性等，解题的关键是掌握二次函数的性质．