河北省唐山市2023届高三下学期3月一模试题+数学+Word版含答案

唐山市2023届普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练

数  学

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若复数满足，则的虚部是（    ）

A.i B.1 C. D.

3.下表是足球世界杯连续八届的进球总数：

则进球总数的第40百分位数是（    ）

A.147 B.154 C.161 D.165

4.将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（    ）

A.120种 B.240种 C.480种 D.960种

5.（    ）

A. B. C. D.

6.在四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

7.已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（    ）

A. B.12 C. D.

8.已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ）

A.1为的周期  B.的图象关于点对称

C.  D.的图象关于直线对称

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数，（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（    ）

A. B. C. D.

10.在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A.  B.平面

C.平面与平面相交 D.点到平面的距离为

11.已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点.若，，构成以为公差的等差数列，则（    ）

A.的最大值是

B.当时，

C.当，在轴的同侧时，的最大值为

D.当，在轴的异侧时（，与不重合），

12.已知，函数，则（    ）

A.对任意，，存在唯一极值点

B.对任意，，曲线过原点的切线有两条

C.当时，存在零点

D.当时，的最小值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知是等比数列的前项和，，，则______.

14.某种食盐的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有______袋.（质量单位：g）

附：若随机变量服从正态分布，则，

，.

15.已知，，且，则的最小值为______.

16.已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列的前项和为，满足.

（1）求；

（2）令，证明：，.

18.（12分）

如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值.

19.（12分）

如图，在平面四边形中，，，.

（1）若，求的面积；

（2）若，求.

20.（12分）

为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛.规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为.

（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；

（2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；

（3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率.

21.（12分）

已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4.

（1）求的方程；

（2）过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）.设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值.

22.（12分）

已知，证明：

（1）；

（2）.

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数学参考答案

一.选择题：1~4.BDCB 5~8.AABC

二.选择题：9.BD   10.BCD   11.ABC   12.ABD

三.填空题：13.   14.8186   15.   16.

四.解答题：（若有其他解法，请参照给分）

17.解：（1）由，得，…2分

所以，…2分

. …2分

（2），当时，. …1分

当时，，…2分

故. …1分

综上，，.

18.解：（1）因为侧面、侧面均为正方形，

所以，，，又，所以，平面，…1分

又，所以，平面，又平面，所以. …2分

由，为棱的中点，所以，，…1分

又，因此，平面；…1分

又平面，故平面平面. …1分

（2）由（1）得是与侧面所成角，即，…1分

不妨令，所以，又，所以，，所以，. …1分

以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，由题意可得，，.所以，. …1分

设是平面的法向量，则即取. …1分

由题意知是平面的一个法向量，…1分

则.所以，平面与平面的夹角的余弦值为. …1分

19.解：（1）在中，由余弦定理可得. …2分

，…2分

所以. …2分

（2）设，则，，

在中，由正弦定理可得，…2分

即，所以，. …2分

于是，解得或（舍）.

所以，因此. …2分

20.解：（1）设“第场甲队获胜”，“球员第场上场比赛”，，2，3.

由全概率公式…2分

. …2分

（2）的可能取值为2，3.

，…1分

，…2分. …1分

（3），…1分

…1分

…1分.…1分

21.解：（1）双曲线的两顶点为，所以，，即，…2分

将代入的方程可得，，故的方程为. …2分

（2）依题意，可设直线，，.

与联立，整理得，…1分

所以，，解得，且，

，，…1分所以. …（*）…1分

又，所以，的坐标为，…1分

由可得，，

从而可得的纵坐标

，…1分

将（*）式代入上式，得，即. …1分

所以，，…1分

将（*）式代入上式，得. …1分

22.证明：（1）令，则，，…1分

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，…1分

所以，等号仅当时成立，即，…1分

从而，所以. …1分

综上，. …1分

（2）显然时，，即成立. …1分

令，，则，，…1分

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，等号仅当时成立，…1分

从而可得，，所以在和上单调递减. …1分

由（1）知，时，；时，，

所以，即. …2分

又当且时，，所以.

故时，. …1分