贵州省六校联盟2022-2023学年高三下学期3月适应性考试（三）+数学（文）+Word版含解析

秘密★启用前

文科数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，集合，则

A．    B．    C．    D．

2．设，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．高三某班级体温检测员对甲、乙两名同学1至7日的体温进行了统计，其结果如图1所示，则下列结论不正确的是

A．甲同学的体温的极差为0.5℃     B．甲同学的体温的众数为36.3℃

C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定    D．乙同学的体温的中位数与平均数不相等

4．若某程序框图如图2所示，已知该程序运行后输出S的值是，则判断框的条件可能是

A．    B．    C．    D．

5．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图3甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为

A．2：3     B．2：1     C．3：1     D．3：2

6．已知数列中，，则

A．    B．    C．    D．

7．已知函数的最小正周期为π，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象经过原点，则的最小值为

A．     B．     C．     D．

8．在如图4的正方形ABCD中，利用“四个全等的直角三角形和一个小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“赵爽弦图法”．设，在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自小正方形中的概率是

A．     B．     C．     D．

9．已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为

A．    B．    C．    D．

10．已知，则的最大值为

A．1     B．2     C．    D．4

11．已知双曲线E的焦点为，，过的直线l与E的左支相交于P，Q两点，点P在以为直径的圆上，，则E的方程为

A．  B．  C．   D．

12．已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数a的取值范围是

A．    B．  C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知单位向量和，满足，则和的夹角θ等于            ．

14．已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为            ．

15．已知动点M到点和点的距离之比为1：3，若至少存在3个点M到直线l：的距离为，则k的取值范围为            ．

16．如图5，若正方体的棱长为2，点P是正方体的上底面上的一个动点（含边界），E，F分别是棱BC，上的中点，有以下结论：

①△PAE在平面上的投影图形的面积为定值；

②平面AEF截该正方体所得的截面图形是五边形；

③的最小值是；

④三棱锥P－AEF体积的最小值为．

其中正确的是            ．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为“合格”，作出茎叶图如图6：

（1）分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；

（2）根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？

附：

18．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．

（1）求的值；

（2）若点M，N分别在边AB和AC上，且△AMN与△ABC的面积之比为，求MN的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图7甲，已知四边形ABCD是直角梯形，E，F分别为线段AD，BC上的点，且满足，，，．将四边形CDEF沿EF翻折，使得C，D分别到，的位置，并且，如图乙．

（1）求证：；

（2）求点E到平面的距离．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在处的切线l的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线l的上方；

（2）当时，证明不等式，在上恒成立．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点在x轴上，中心为原点，，分别为椭圆的左、右焦点，D为上顶点，，焦距为．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）写出直线的直角坐标方程和C的一个参数方程；

（2）已知不过第四象限的直线：与C有公共点，求z的最大值与最小值．

23．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，求实数a的取值范围．

2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（三）

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由，得，故选D．

【考查目标】本题主要考查集合的交集运算，考查学生数学运算的核心素养．

2．，故，故选A．

【考查目标】本题主要考查复数的四则运算和几何意义，考查学生数学运算的核心素养．

3．对于A：甲同学的体温的极差为36.6－36.1＝0.5℃，故A选项正确；对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；对于C：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C选项正确；对于D：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，D选项错误，故选D．

【考查目标】本题主要考查统计图形中的样本数字特征，考查学生逻辑推理和数据分析的核心素养．

4．假设先执行若干次循环：，；，；，；…，，；，，结束循环，再分析选项，只有B符合题意，故选B．

【考查目标】本题主要考查程序框图与数列裂项求和，考查学生数学运算的核心素养．

5．设圆柱的高为h，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱侧面的表面积之和，即，解得，所以圆柱的高和球的半径的比为2∶1，故选B．

【考查目标】本题主要考查空间立体几何圆柱与球，考查学生数学抽象与数学运算的核心素养．

6．当时，，当时，∵①，∴②，①－②得：，当时也成立，故，，，…，，构成首项是，公差的等差数列，所以，故选A．

【考查目标】本题主要考查等差数列基本量的运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养．

7．∵函数的最小正周期为，∴，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为．因为其图象经过原点，所以，所以，解得，．又，所以的最小值为，故选C．

【考查目标】本题主要考查三角函数图象的变换，考查学生逻辑推理、数学运算的核心素养．

8．如图1，，，不妨设，则，，∴，正方形ABCD的面积，小正方形EFMN的面积，故所求概率为，故选B．

【考查目标】本题主要考查几何概型，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养．

9．，要使函数在处取得极小值，则，故选C．

【考查目标】本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养．

10．可变形为，因为，所以，解得，当且仅当时，取到最大值4，故选D．

【考查目标】本题主要考查不等式的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养．

11．不妨设，，因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．因为Q在C的左支上，所以，即，解得，则．因为，所以，即，故，所以，又因为，，，双曲线的方程为，故选B．

【考查目标】本题主要考查双曲线的性质和方程，考查学生逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养．

12．问题转化为方程：有三个大于0的根，即等价于与在上有三个交点，如图2所示，显然，当时，不符合题意．当时，，只需满足且方程：有两根，即可（需验算两根均大于a，验算根符合条件的过程略）．，故选C．

【考查目标】本题主要考查函数的性质综合，考查学生数学抽象数学运算和数学建模的核心素养．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．依题意有，，解得，故．

【考查目标】

本题主要考查平面向量，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养．

14．∵，则．

【考查目标】本题主要考查等比数列和指、对数运算，考查学生逻辑推理与数学运算的核心素养．

15．设点M的坐标为，有，整理得，所以M为圆上的点，直线l：过定点，点在圆上，设d为圆心，到直线l的距离，令，解得，故．

【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养．

16．①△PAElla在平面上的投影图形为底为2高为2的三角形，故投影图形的面积为定值2，故①正确；②如图3，取的四等分点M，则EM∥AF，平面AEF截该正方体所得的截面图形是AEMF，为四边形，故②错误；③如图，延长，使得，连接EN交上底面于点P，则，当E，P，N三点共线时，其和最小为EN，且，ND＝3，∴，的最小值是，故③正确；④如图，分别取、、的中点Q、I、H，连接FQ、QI、IH、HF，易知平面FQIH∥平面，所以平面内到平面AEF的距离最小，故三棱锥P－AEF体积的最小值为，又∵，故④正确．

【评分标准】有错选不得分，漏选给2分，全对给5分．

【考查目标】本题主要考查立体几何综合问题，考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：

（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为，则，

工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为，则．

（2）根据茎叶图得列联表如下：

，

故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关．

【考查目标】本题主要考查茎叶图与独立性检验，考查学生逻辑推理、数学运算与数据分析的核心素养．

18．（本小题满分12分）

解：

（1）∵，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（2）设，，

由（1）知，

∴，

又∵，

∴，

∴，

所以MN的最小值为．

【考查目标】本题主要考查正余弦定理与最值问题，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养．

19．（本小题满分12分）

（1）证明：

∵在图甲中，AB∥CD∥EF，AB＝2EF＝4CD＝4，AB⊥BC，

∴在图乙中有，，，

又∵与BF是平面内的交线，

∴EF⊥平面，

∴，

如图4，分别过，E作，，垂足分别是M，N，

易知，

∴，

又，

∴，

同理∵，又，

∴，

∵，

又EF与是平面内的交线，

∴平面，

∴．

（2）解：

由（1）知，，，

过点作，垂足为Q，

又由（1）易知，BF与EF是平面ABF内的交线，

∴平面，，

由，得，

，

∴点E到平面的距离为1．

【考查目标】本题主要考查异面直线的垂直的判定、立体几何的体积，考查学生逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养．

20．（本小题满分12分）

解：

（1）因为点，在抛物线C：上，

所以，

由抛物线的性质得：，

解得，即抛物线C的方程为．

（2）由题意可设，，，

因为，所以，即，

故，整理得，

设点，同理可得，

则直线AB方程为：，

令得，即点，

因为直线NF与直线AB垂直，

所以直线NF方程为：，

令得，即点，

∴，

当且仅当时，时上式等号成立，

联立，得，

∴，，，

，

∴．

【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的综合问题，考查学生数学运算的核心素养．

21．（本小题满分12分）

（1）解：

，，即切点为，

该点处的斜率，

故切线l：，

证明除了切点以外都在l的上方，

即证恒成立，当且仅当时取等号，

令，则，

当x≥0时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

故，当且仅当时取等号，

∴除了切点以外都在l的上方．

（2）证明：令，，

∵，

当时，要证，

即证，

即证，

令，，，

由（1）可知，

故在区间上单调递增，

∴，

∴，

显然，

即在时取等号成立．

【考查目标】本题主要考查利用导数求切线方程与证明，考查学生数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养．

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：

（1）直线的直角坐标方程为，

由题可知，

因为，

所以，

又，

解得，

∴，

则椭圆C的一个参数方程为，（为参数）．【答案不唯一，酌情给分】

（2）已知直线：，得，

因为直线与椭圆C有公共点，

设是椭圆C上的点，

则，

因为，所以，

又因为直线不经过第四象限，所以z的最大值为0，最小值为－5．

【考查目标】本题主要考查椭圆的参数方程、直线与椭圆的综合问题，考查学生直观想象与数学运算的核心素养．

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：

（1）由题得，，

则的图象如图5，

令，解得；

令，解得，

由图可知，不等式的解集为．

（2）如图6，在同一坐标系中画出与的图象，

当点在的图象上时，代入点，

可得，解得或（舍去），

当点在的图象上时，

可得，解得，

数形结合可得或，

即实数a的取值范围是．

【考查目标】本题主要考查双绝对值不等式求解和函数图象的应用，考查学生直观想象与数学运算的核心素养．