第18讲 空间几何体表面积和体积（原卷版+解析版）-2023年高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第十八讲：空间几何体的表面积及体积【考点梳理】空间几何体的表面积与体积公式【典型题型讲解】考点一：空间几何体的表面积【典例例题】例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（    ）A．8π B．4π C．8 D．4【答案】．A【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径r=2，高h=2，故其侧面积为.故选：A例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高.故选：D.例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.【答案】2【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为，圆台的侧面积为，所以.故答案为：2例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】A【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：.例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】．C【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以．故选：C【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.【变式训练】1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.【答案】【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的底面半径，所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积.故答案为：.2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】【详解】如图所示：设CD=x，由题意得：，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：，所以外接球的表面积为 ，故答案为：3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（    ）A．外接球的表面积为B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为【答案】．AD【详解】因为，解得，即圆锥母线长为2，则高，设圆锥外接球半径为，如图，则对由勾股定理得，即，外接球面积为，故A正确；设内切球的半径为垂直于交于点D，如图，则对，即，解得，故B项错误；过点P作平面截圆锥的截面面积的最大时，如图，因为，故恰好为等腰直角三角形时取到，点C在圆锥底面上，，故C项错误；设圆锥有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为，如图，则，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，长方体体积为，当时，时，，故，故D正确，故选：AD4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.【答案】．【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又，，所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；所以最长弧的弧长为.故答案为：.5.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】【解析】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，因为，，则，，故，因为平面，平面，，所以，为直线、的公垂线，故，因为，，，所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，因此，该圆锥的侧面积为.故答案为：.6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图， 设圆台上底面圆的半径，则所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，所以母线长，所以，故选：C.考点二：空间几何体体积【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】．C【详解】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，，则正八面体体积为.故选：C例2.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（       ）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】解：如图所示：连接，因为，，且，所以平面，所以，，故选：D例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，设，则，.过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，所以，，，因为，，，所以，，所以，，所以，，所以等腰梯形的面积为，得.所以，，，故方亭的体积为.故选：C.【方法技巧与总结】熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图【变式训练】1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（       ）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为【答案】AC【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.【答案】【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的底面半径，所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积.故答案为：.3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.【答案】【详解】解：设的外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，球心为，底面为直角三角形，故其外接圆圆心在斜边中点处，则，又，在中，.故答案为：.4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.【答案】【详解】解：设的外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，球心为，底面为直角三角形，故其外接圆圆心在斜边中点处，则，又，在中，.故答案为：.5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.【答案】【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，则四面体的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R则，所以,则，解得，所以.故答案为：6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．不确定7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】【详解】如图所示：设CD=x，由题意得：，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：，所以外接球的表面积为 ，故答案为：8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.【答案】．【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，则四面体的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R则，所以,则，解得，所以.故答案为：9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体中，，P为的中点，过的平面分别与棱交于点E，F，且，则平面截长方体所得上下两部分的体积比值为_________；所得的截面四边形的面积为___________．【答案】3     【详解】如图，过点B作的平行线分别与的延长线交于G，H，连接，并分别与交于E，F，因为GH，且平面，平面所以平面，所以平面即平面．因为，所以，所以．因为四边形为菱形，且，所以．故答案为：3；.【巩固练习】一、单选题1．已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（       ）A．2 B． C． D．3【答案】D【解析】如图是圆锥的轴截面，由题意母线，高，则，是锐角，所以，于是得轴截面顶角，设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，故选：D.2．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：所以，，所以，，为矩形，设，所以，所以，所以，即，即，解得.故选：C.3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，所以圆锥的体积为.故选：D4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（       ）A．cm B．1cm C．cm D．cm【答案】D【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，则，，解得，．所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，即,过点作,为垂足，所以， 该圆台形容器的高为，故选：D．5．已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（       ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】设该圆锥底面圆的半径为，则，故，即，解得故选：B6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（       ）A．56 B． C． D．【答案】B【解析】如图所示， 在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.故选：B.7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．二、多选题8．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（       ）A．的最小值为B．的最小值为C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为【答案】BCD【解析】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离，故A错误；对于B，将平面翻折到平面上，如图，连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，在三角形ADC中，,，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，，，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为，故正确．故选：BCD.9．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（       ）A． B．C． D．【答案】CD【解析】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（       ）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为【答案】AC【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．　　　　名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)球