2023年广东省东莞市黄江育英中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市黄江育英中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，深圳户籍人口约为人，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 圆 C. 矩形 D. 平行四边形

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的决定．(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6.  已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知是直径，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在四边形中，，与相交于，且．
；≌；；．
其中真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  因式分解______．

11.  八边形的内角和是外角和的______倍．

12.  代数式有意义时，应满足的条件是          ．

13.  已知∽，若与的相似比为：，则与对应边上中线的比为______．

14.  如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，再求值：，中．

17.  本小题分
如图，在中，．
用直尺和圆规作的平分线交于保留痕迹；
若，求的度数．

18.  本小题分
某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

在这次研究中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有______名．
补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是______度．
若该校九年级爱好阅读的学生有人，估计九年级有多少学生？

19.  本小题分
如图，在中，，是的中点，，若，；
求证：四边形是平行四边形．
求的长．

20.  本小题分
“冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费元，订购“雪容融”花费元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的倍．
求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；请列分式方程作答
该文旅店以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打折销售，对剩余的“雪容融”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最小值．

21.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段的长．

22.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
求抛物线的解析式．
连接，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键，属于基础题．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
【解答】
解：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B.圆是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C.矩形是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D.平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
直接利用幂的乘方与积的乘方法则以及合并同类项、同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及合并同类项、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，
故最值得关注的是众数．
故选：．
班长最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
又，，，
，
，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意，
，
故D符合题意，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式分别判断即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，。
原式。
故选：。
先依据非负数的性质求得、的值，然后再代入求解即可。
本题主要考查的是偶次方的性质，熟练掌握偶次方的性质是解题的关键。
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在四边形中，与不一定相等，
故；≌都不一定成立，
，
中，；
中，；
中，；
中，；
，故正确；
，
，
又，
等腰中，，
等腰中，，



，故正确．
综上所述，真命题的个数是个，
故选：．
依据，运用勾股定理即可得到，依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到．
本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后，再利用完全平方公式进行计算即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是的结构特征是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：八边形的内角和为，外角和为，
，
故答案为：．
根据多边形内角和公式可知八边形的内角和为，八边形的外角和为，进而可得出结论．
本题考查的是多边形的外角和及内角和定理，解答此题的关键是利用题目中所给的条件沟通此多边形内角与外角的关系．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数，属于基础题．
直接利用分式、二次根式的定义求出的取值范围．
【解答】
解：代数式有意义时，
，解得：．
故答案为：．  

13.【答案】： 

【解析】解：∽，与的相似比为：，
与对应边上中线的比是：，
故答案为：：．
相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．由旋转的性质得到，，再由，等量代换得到，即三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，即为的长．
【解答】
解：由旋转得：，，，
，
，即为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：，
则，
故答案为：  

15.【答案】解：


． 

【解析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．
 

16.【答案】解：原式


      当时，
原式 

【解析】先化简，后代入求值，特别注意分母有理化．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求．


，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及直角三角形的性质．
根据角平分线的尺规作图即可得；
由知，再由角平分线知，结合可得答案．
 

18.【答案】     

【解析】解：总人数名，
若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生有名．
故答案为，．

圆心角，
条形图如图所示：

故答案为．

名，
答：估计九年级有名学生．
根据娱乐的人数以及百分比求出总人数即可．
求出阅读的人数，画出条形图即可，利用百分比取圆心角．
根据总人数，个体，百分比之间的关系解决问题即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：证明：，，

又
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形．
．
在中，由勾股定理得．
是的中点，
． 

【解析】先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得，又，所以四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，可得由勾股定理和中线的定义得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求和的长的方法和途径是解题的关键．
 

20.【答案】解：文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是个，订购“雪容融”的数量是个；
由题意得：，
解得：，
答：的最小值为． 

【解析】文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，由题意：某文旅店订购“冰墩墩”花费元，订购“雪容融”花费元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元，列出分式方程，解方程即可；
由题意：要保证文旅店总利润不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

，
，
，
，
，，
，
∽，

是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
先判断出，再判断出，即可得出结论；
先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用∽得出比例式求解即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出∽是解本题的关键．
 

22.【答案】解：将，代入，
，
解得，
；
抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
、点关于直线对称，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
，，
的周长的最小值为；
设，，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得舍或，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得舍或，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
或；
综上所述：点横坐标为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
当、、三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，，可得的周长的最小值为；
设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出点的横坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键．