2023届宁夏银川一中高三下学期第五次月考数学（理）试题含解析

2023届宁夏银川一中高三下学期第五次月考数学（理）试题

一、单选题

1．集合的真子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【解析】先化简集合，再列举出所有真子集，从而可得答案．

【详解】因为，

所以A的真子集为

可得真子集的个数为，

故选：．

2．复数z满足i（i为虚数单位），则z的虚部是（    ）

A．1 B．－1 C．i D．－i

【答案】A

【分析】根据题意复数的除法运算可得可得，再结合虚部的概念即可得解.

【详解】由，可得，

故虚部为，

故选：A

3．如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.

【详解】当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；

当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分，

综上所述：与的函数关系的图象大致是选项D，

故选：D

4．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求出，，，再根据余弦定理求出，最后由二倍角的余弦公式可求出结果.

【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，

因为为的中点，所以，

当伞完全收拢时，，所以，

在中，，

所以.

故选： A

5．若m，，且则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由可得：，由方程表示焦点在轴上的椭圆可得，然后根据必要不充分条件的概念即可判断.

【详解】由可得：，根据指数函数单调性得，

又因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，

由不能推出，但由一定能推出，

所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，

故选：B.

6．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】C

【分析】对于A项，过直线找一个平面与平面相交，设交线为，按照此途径解决.

对于B项，讨论直线与平面的位置关系.

对于D项，设，作直线，按照此途径解决

对于C项，分和当时两种情况证明.

【详解】对于A项，过直线找一个平面与平面相交，设交线为，根据线面平行的性质定理可得，又因为，所以，所以，故A不正确.

对于B项，若，，则或，故B不正确.

对于D项，若，设，作直线，则，，故D不正确.

对于C项，因为并且所以，或者；

当时，又因为根据面面垂直得判定定理可得，

当时，过作平面，根据线面平行的性质定理可得：

又因为所以，又因为 ，所以，

综上若，则，所以C正确.

故选：C

7．已知直线与圆相交于两点，且的长度始终为，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用圆的标准方程及点在直线上，结合基本不等式即可求解.

【详解】由，得圆的圆心坐标为，半径为，

由题意可知，直线经过圆的圆心，

所以，即，

又因为，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

故选：C.

8．有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为2，在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（    ）

A．平均数和中位数 B．中位数和方差

C．方差和极差 D．平均数和极差

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的定义判断即可.

【详解】解：新样本的平均数为，方差；因为加入的2是原样本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．

故选：D．

9．2022年4月8日（当地时间），美国富豪马斯克的太空探索公司“SpaceX”首次用“龙”飞船将4人送上太空站，某班物理老师依此事实为基础，在班里举行了太空知识讲座，老师抽取了班里的10名同学（其中男生6名，女生4名）进行了相关问题的提问，然后，又从这10名同学中随机抽取4人在班里轮流发言，则抽取的女生人数不低于男生人数，且第一个发言的为男生的不同情况有（    ）

A．540种 B．1080种 C．1208种 D．1224种

【答案】D

【分析】现根据题目要求分成两类1男3女或者2男2女，然后再将选出的按要求进行排序.

【详解】从男生6名，女生4名共10人中，抽取4人，抽取的女生人数不低于男生人数的情况有：1男3女或者2男2女.

1男3女且第一个发言的为男生发言共有：种；

2男2女且第一个发言的为男生发言共有：；

抽取的女生人数不低于男生人数，且第一个发言的为男生的不同情况有：种.

故选：D.

10．已知的外接圆的圆心为，半径为1，，在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先根据条件得为直角三角形，再根据投影向量的公式可得，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算可得答案.

【详解】解：，则为中点，又是外接圆圆心，

则为直角三角形，为在上的投影向量，

，∴，

∴，∴

，，

的外接圆半径为1，∴，∴，

∴，

故选：B.

11．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知条件和双曲线的定义可得， ，，，由，应用余弦定理，化简可得

【详解】由双曲线定义和题设条件，得，，．

如图所示，因为，所以．

又由双曲线定义，得,因为，所以．

在和中，，有，

应用余弦定理，得，

得，化简得，所以．

故选：B．

12．已知函数，若且满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】作出函数图形，结合题干和图形可得，然后将代换为，令，利用导数求出函数的值域即可求解.

【详解】由题意可知：且满足，

结合图象可知：，则有.

因为，所以，解得：.

，

令，则，

因为，所以，，则，

所以函数在上单调递减，所以，

也即，

故选：.

二、填空题

13．抛物线的准线方程为_______.

【答案】

【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案.

【详解】因为抛物线方程为，

所以，

又因为抛物线焦点在轴上，

所以抛物线的准线方程为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题.

14．函数与函数的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是______．

【答案】

【分析】画出函数图象，利用定积分，计算出图形的面积.

【详解】解：的图象如下所示：

故两函数围成一个封闭图形的面积.

故答案为：.

15．观察下面数阵：

则该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是______.

【答案】285

【分析】用等比数列的求和公式求出该数阵中前行共有项，确定该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是等差数列的第项，再根据等差数列的通项公式可求出结果.

【详解】该数阵中前行共有个数，

所以该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是等差数列的第项，所以该数为.

故答案为：.

16．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，则下列说法正确的是________.（填写所有正确说法的序号）

①平面截正方体所得截面图形的周长为；

②点B到平面的距离为；

③平面将正方体分割成两部分，较小一部分的体积为；

④三棱锥的外接球的表面积为.

【答案】③④

【分析】作出截面并计算截面图形的周长判断①；利用等体积法判断②；将体积进行分割计算判断③；根据棱锥的特点求出外接圆半径并计算体积判断④.

【详解】由题意，知平面截正方体所得截面图形为，如图，易得，，所以，

，所以所求周长为，故①错误；

设点B到平面的距离为h，由题意，得，，，所以，所以，即﹐故②错误；

正方体的体积为﹐其中一部分的体积

，

则另一部分的体积为，所以平面将正方体分割成两部分，较小一部分的体积为，故③正确；

对于三棱锥，先找到的外接圆的圆心，即为EF中点，设为M，过点M作，

交于点N，则外接球球心在直线MN上，设球心为O，外接球半径为R，，所以，所以，，球O的表面积，④正确.

故答案为：③④.

三、解答题

17．在等比数列{}中，．

(1)求{}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Sn．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；

（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．

【详解】（1）由题设，，则的公比，

所以.

（2）由（1）知：，

所以.

18．人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当.在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标"），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；

①参考数据：；

②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；

（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.

③参考临界值表：

【答案】(1)，与线性相关较强

(2)认为购买电动汽车与车主性别有关

【分析】(1)利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；

(2)直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；

【详解】（1）相关系数为

故与线性相关较强.

（2）零假设为：购头电动汽车与车主性别相互独立，

即购买电动汽车与车主性别无关.

所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

19．已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折得到四面体，且.

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题干数据，先可以证明面，然后利用等体积法求距离即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.

【详解】（1）由题意可得，

又，面，故面.

设点到平面的距离为，

利用等体积法：，

所以解得；

（2）

以点为原点，为轴，为轴，过平行与的射线为轴建立空间直角坐标系，，，，.

设平面法向量为，平面法向量为，

，取则，

故为平面的一个法向量；

，取则，

故为平面的一个法向量；

，

结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角的余弦值为，该角大小为.

20．已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．

【答案】(1) ；（2）

【详解】试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

再结合韦达定理即可得的值.

试题解析：（1）由已知得：，，所以

又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.

（2）椭圆方程化为.

设T点的坐标为，则直线TF的斜率.

当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是

当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.

将代入椭圆方程得：.

其判别式.

设，

则.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

所以，解得.

此时四边形OPTQ的面积

.

【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.

21．已知函数，．

(1)若的最值和的最值相等，求m的值；

(2)证明：若函数有两个零点，，则．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)分别对函数求导，利用导数求出函数的最值，结合最值相等即可求解；

(2) 设，，根据有两个零点，，可得：函数是增函数，则，进而将要证明的不等式转化为证，只需证，构造函数，利用导数取出函数的单调性即可证明结论.

【详解】（1）对函数求导可得：，令，可得：，

所以函数在上递增，在上递减，

则，又，所以，，

令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，

则，

由题意可知：，，

所以m的值为．

（2）若有两个零点，，不妨设，

，设，，

由，得，

因为函数是增函数，所以，

则，设，则，，

欲证，即证，即证，

只需证（*）

设，，

，在上，，单调递减，

所以，所以，

令即得（*）成立，

从而，命题得证．

【点睛】思路点睛：根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.

(1)求直线的普通方程与圆的极坐标方程；

(2)若射线分別与圆和直线交于点（点异于坐标原点），求线段长.

【答案】(1)直线普通方程为，圆的极坐标方程为

(2)

【分析】（1）消去得直线方程，确定圆心和半径，计算极坐标方程得到答案.

（2）将代入圆和直线的极坐标方程，计算即可.

【详解】（1），消去得，

圆C经过极点，且其圆心的极坐标为，圆是以为圆心，半径为2的圆.

其方程是，即，极坐标方程为；

（2）将代入得，

直线的极坐标方程是，即，

将代入得，故.

23．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.

【详解】（Ⅰ）由，，得：

，

由题设得，

即，

所以，即.

（Ⅱ）因为，，，

所以，

即，

所以.

本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.