2023年江苏省锡山高级中学实验学校九年级下学期第一次适应性练习数学试题（含详细答案）

这是一份2023年江苏省锡山高级中学实验学校九年级下学期第一次适应性练习数学试题（含详细答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省锡山高级中学实验学校九年级下学期第一次适应性练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．- D．
2．函数y＝中自变量x的取值范围为（　　）．
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
3．已知一组数据：，，，，，，这组数据的平均数和极差分别是（    ）
A．0，8 B．，7 C．0，7 D．，8
4．已知x、y满足方程组，则（    ）
A．－3 B．3 C．2 D．0
5．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ）
A．球体 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
7．如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，点A是反比例函数图像上一动点，连接AO并延长交图像另一支于点B．又C为第一象限内的点，且，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动．则∠CAB的正切值为（    ）

A．2 B．4 C． D．
9．如图，中，，点O是边上的一点，与分别相切于点A、E，点F为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（    ）

A． B．2 C． D．

二、填空题
11．分解因式： _______．
12．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000科学记数法表示为_________．
13．已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm2．
14．命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．

16．如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的面积之比是_______．

17．如图，在中，，D为的中点，E为边上一点，将沿着翻折，得到，连接．当时，则的度数为______．

18．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______；
如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______．

三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)
20．（1）解方程：；    
（2）解不等式组：．
21．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．

(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
22．明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______．
(2)用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
23．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
(1)______；______．
(2)补全条形统计图：在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是______度；
(3)若该公司新招聘600名毕业生，请估计“总线”专业的毕业生有多少名．
24．如图，在中，．

(1)在图1中求作，使经过B、C两点，且与直线、相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)已知，则的半径为______．（如需画草图，请使用图2）
25．如图，在中，，以上一点O为圆心，的长为半径作，交分别于，两点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
26．某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）


销售量（件）
100


①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
27．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．

(1)如图1，当点落在的延长线上时，则的长为______；
(2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求BM的长；
(3)如图3，连接，，直线交于点D，若，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值：若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P为线段上一点，过P作轴交抛物线于点B，过B作轴交抛物线于点C，连接交于点D

(1)如图1，若点A的横坐标为
①求抛物线的解析式；
②当时，求点P的坐标；
(2)若，点Q为线段上一点，点N为x轴上一点，且，将沿直线翻折得到，所在的直线交x轴于点M，且，求点Q的纵坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．B
【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x−2≥0
解得：x≥2
故选：B．
【点睛】本题考查自变量的取值范围．掌握二次根式有意义的条件被开方数大于等于0是解题关键．
3．A
【分析】根据平均数和极差的算法计算，即可求解．
【详解】解：这组数据的平均数为，
极差为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求平均数和极差，熟练掌握平均数和极差的算法是解题的关键．
4．B
【分析】将方程组得两方程左右两边分别相减，然后再整理即可解答．
【详解】解：，
①－②得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键．
5．C
【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误．
故答案为C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．
6．A
【分析】根据简单几何体的三视图进行逐一判断即可．
【详解】解：A、球三视图都为相同的圆，故此选项符合题意；
B、圆柱主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故此选项不符合题意；
C、三棱锥的三视图如下所示：

故此选项不符合题意；
D、三棱柱的正视图为一个矩形里面有一条竖直的实线，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解几何体的特征并熟知三视图的定义是解题的关键．
7．A
【分析】设最大圆圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，可得正方形OMDN，再利用OM∥CD得到线段比计算即可．
【详解】设最大圆半径为r，圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，如图：

∴OM=ON，且OM⊥AD，ON⊥CD
∵∠D=90°
∴四边形OMDN是正方形，
∴
∵矩形纸片，
∴
∴
∵OM∥CD
∴
∴
解得
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是确定最大圆与两个直角三角形的四条直角边都相切．
8．A
【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：根据轴对称的性质得到．根据等腰三角形的性质得到．根据相似三角形的性质得到，得到，，即可得到结论．
【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
．
又，
．
，，
，
又，，
，
，
，，
，，
，
（负值舍去），
的正切值为，
故选：A．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
9．A
【分析】根据菱形的性质得，根据圆周角定理得，根据切线性质得，求出，然后根据直角三角形性质、扇形面积公式计算，最后得到答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
由圆周角定理得：，
与分别相切于点A、E，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
阴影部分面积==．
故选A．
【点睛】此题考查了切线的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握并运用相关性质是解题的关键．
10．D
【分析】过点C作于点E，则，可得是等腰直角三角形，，再由勾股定理可得，再证明，可得，设，则，可得，可求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点E，则，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得到是解题的关键．
11．
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．
12．
【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解．
【详解】解：1412000000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
13．24π
【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．
【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，
∴侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故答案为：24π．
【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．
14．真
【分析】写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：逆命题为：全等三角形的对应边相等，是真命题．
故答案为：真
【点睛】本题主要考查了逆命题，判断命题的真假，全等三角形的性质，准确写出原命题的逆命题是解题的关键．
15．20
【分析】根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
【详解】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，掌握相关性质是解题的关键．
16．
【分析】根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，
∴与的面积之比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．##20度
【分析】结合题意，由翻折易证为等边三角形得到，然后利用三角形内角和定理和外角进行角的加减计算和求解．
【详解】解：D为的中点，
，
有翻折可知：，，，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的证明和性质的应用，三角形内角和定理以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，角的计算；解题的关键是证明为等边三角形得到．
18．         
【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答．
【详解】解：如图①，延长交于点H，

∵四边形与四边形都为正方形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是“等垂四边形”；
如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接

∴
∴．
∴
∴,
∴．
延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，

则，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】（1）解：



（2）解：



【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，二次根式的混合运算，分式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（1）　（2）
【分析】（1）利用配方法求此一元二次方程即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法分别解不等式组中的不等式，再求不等式组的解集．
【详解】（1）
解：


或
即：
（2）
解：由①移项合并得：
由②去括号得：
移项合并得：
解得：
∴该不等式的解集为
【点睛】本题主要考查一元二次方程和不等式组的解法，熟练掌握配方法及求不等式组解集的方法是解决本题的关键．
21．(1)见解析
(2)DE=3

【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择不同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同，
∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：

A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D

由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择不同入口进入植物园的结果数有4种，
∴她们两人选择不同入口进入植物园的概率．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)50；10
(2)图形见解析；72
(3)180

【分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，进而得到n的值；
（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
【详解】（1）由题意可得，；
，
∴；
故答案为：50；10
（2）“硬件”人数为（名），
补全的条形统计图如图所示；

在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是，
故答案为：72；
（3）（名），
答：估计“总线”专业的毕业生有180名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．(1)见解析
(2)3

【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点Ｏ，以点Ｏ为圆心，为半径作即可；
（2）在中，利用余弦函数求得的长，再在中，利用正切函数求得的长，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）解：设交于点E，则，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
则的半径为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及解直角三角形；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
25．(1)见解析
(2)

【分析】（1）添加辅助线，通过证补角为来证明为直角
（2）通过证明，得到对应线段成比例，从而得出对应边的长度．
【详解】（1）
如图，连接，
∴，
又且，
∴，
∴，
∴是⊙O的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握判定方法是关键．
26．(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32

【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
27．(1)8
(2)
(3)1

【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长；
（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．
（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出即点D为中点．再由可知点E是线段的中点，即DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．
【详解】（1）解：在中，．
根据旋转性质可知，即为等腰三角形．
∵，即，
∴，
∴．
（2）解：如图，作交于点D，作交于点E．

由旋转可得，．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，即，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
（3）解：如图，作且交延长线于点P，连接．
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴在和中
，
∴，
∴，即点D为中点．
∵
∴,
∴点E为AC中点，
∴
∴DE为的中位线，
∴，即要使DE最小，最小即可．
根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．
∴此时，即DE最小值为1．

【点睛】本题属于旋转综合题，主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、中位线的判定和性质、三角形三边关系等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的难点，也是解答本题的关键．
28．(1)①；②
(2)2或3

【分析】（1）①将A点坐标代入抛物线方程即可得出抛物线的解析式；②设C点坐标为，即有，根据∠BCA=45°，，可得出，即有，即有，即，联立方程可求出a、b即可得到C点坐标为，再利用，得到B点的纵坐标与C点的纵坐标相等，即有可得到B点的纵坐标，进而求出B点的坐标，则得到的长度，即可求得P点的坐标；
（2）如图：过作交于，作轴交于，过作分别交，于点，，作轴交于，利用平行证明 ，，再利用翻折的性质得到≌，利用轴对称的性质得到边的关系，再根据二次函数的性质和相似三角形的性质得到，求解这个一元二次方程即可得到Q的纵坐标．
【详解】（1）解：①根据A点的横坐标为，则A点坐标为(,0)， ，
将A点坐标代入，有：，解得，
则有抛物线的解析式为：，
②过C点作于E点，如图，

设C点坐标为，即有，
则有，
又∵，，
∴，
∴在中，有，即有，
∴，即，
联立，解得：，（不合题意，舍去），
∴C点坐标为，
∵，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∴B点的纵坐标为，
将B点的纵坐标代入到抛物线方程，可得B点的横坐标为，
则B点的坐标为
∴，
则P点的坐标为．
（2）解：如图：过作交于，作轴交于，过作分别交，于点，，作轴交于

∵
∴，，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
由翻折可得：≌
∴
∴
∵
∴,则
∵与关于对称轴对称，与关于对称轴对称
∴
∴时，
∴
∵当时，,得：（舍去），
∴（，0）
∴
∴
∴
设，则
∵
∴
∵∽
∴，即
∴，解得或
∴或2
∴点纵坐标为3或2．
【点睛】本题属于次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求解析式、平行形的性质、勾股定理和解一元二次方程等知识，掌握分类讨论思想答本题的关键．