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2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷
一、选择题。（每小题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
2．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．180゜ B．270゜ C．360゜ D．540゜
5．（3分）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（3分）下列调查中，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全班同学每周进行体育锻炼的时间
B．对旅客上飞机前进行的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（3分）把a3﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）2 D．a（a2﹣4）
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
11．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD边上的一个动点，若点C的坐标是（0，﹣1），则PA+PC的最小值是（ ）
A．19 B． C． D．18
二、填空题。（每小题3分，共6小题，共18分）
13．（3分）如果+5℃表示零上5℃，那么零下8℃可记为 ．
14．（3分）计算的结果是 ．
15．（3分）一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ．
16．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，则阴影部分面积是 ．
17．（3分）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 m．
18．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 （填序号）．
三、解答题。（本大题共8小题，满分66分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|．
20．（6分）解方程：．
21．（8分）如图，点B、E、C在一条直线上，线段AB＝CD，AB∥CD．
（1）尺规作图：在线段BC上取一点F，连接AF，使得△ABF≌△DCE；
（2）根据已知及（1）中你的作图条件证明△ABF≌△DCE．
22．（8分）在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
23．（8分）我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．
（1）接受这次调查的家长人数为 人；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为 ；
（3）表示“无所谓”的家长人数为 ；
（4）在四名（三男一女）持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（a≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AD∥y轴于点D，点O是线段CD的中点，AC＝，sin∠ACD＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）求△ABD的面积．
（3）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
25．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的☉O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作☉O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CE交AB的延长线于G．
（1）求证：CG是☉O的切线；
（2）若FB＝FE＝2，求☉O的半径．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题。（每小题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
【分析】利用相反数的定义做题即可．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：B．
2．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．（3分）信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：A．
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．180゜ B．270゜ C．360゜ D．540゜
【分析】根据任意多边形的外角和等于360度，即可求解．
【解答】解：∵∠1，∠2，∠3分别为△ABC的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：C．
5．（3分）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从正面看得到的平面图形是从上到下为等腰三角形，长方形．
【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆柱，上面是圆锥的组合图形．
故选：C．
6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝120°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
7．（3分）下列调查中，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全班同学每周进行体育锻炼的时间
B．对旅客上飞机前进行的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：了解全班同学每周进行体育锻炼的时间适合采用全面调查方式，A错误；
对旅客上飞机前进行的安检适合采用全面调查方式，B错误；
学校招聘教师，对应聘人员进行面试适合采用全面调查方式，C错误；
了解全市中小学生每天的零花钱不适合采用全面调查方式，D正确，
故选：D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】利用平行线的判定，点到直线的距离的定义，线段的定义，垂线的定义对各说法进行分析即可．
【解答】解：A、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，故A说法错误，不符合题意；
B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故B说法错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，故C说法正确，符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）把a3﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）2 D．a（a2﹣4）
【分析】提取公因式后，利用平方差公式．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
11．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
【分析】根据猴山（﹣2，2）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定熊猫馆的位置．
【解答】解：如图所示：
熊猫馆的点的坐标是（1，3），
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD边上的一个动点，若点C的坐标是（0，﹣1），则PA+PC的最小值是（ ）
A．19 B． C． D．18
【分析】过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是．
【解答】解：如图，过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵∠BOE＝90°﹣60°＝30°，OB＝2，
∴BE＝，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0，﹣1），
∴OC＝1，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝＝＝，
即PA+PC的最小值是，
故选：C．
二、填空题。（每小题3分，共6小题，共18分）
13．（3分）如果+5℃表示零上5℃，那么零下8℃可记为 ﹣8℃ ．
【分析】正数和负数表示相反意义的量，零上记为正，可得零下的表示方法．
【解答】解：如果零上5℃记作+5℃，那么零下8℃记作﹣8℃，
故答案为：﹣8℃．
14．（3分）计算的结果是 6 ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝2
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
15．（3分）一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 2 ．
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据6，8，10，x的平均数是8，
∴（6+8+10+x）÷4＝8，
解得：x＝8，
∴这组数据的方差是[（6﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2]＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，则阴影部分面积是 2π﹣4 ．
【分析】根据圆内接正方形的性质可得AD＝4，∠AOD＝90°，OA＝OD，求出OA的长，阴影部分的面积为求解即可．
【解答】解：∵边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，
∴AD＝4，∠AOD＝90°，OA＝OD，
根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2，
即2OA2＝16，
解得OA＝或OA＝﹣（舍去），
∴OD＝，
∴阴影部分的面积为＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
17．（3分）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 12 m．
【分析】根据坡度和坡角的关系求出∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2×6＝12（m），
故答案为：12．
18．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 ①②④ （填序号）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵顶点在x轴的上方，
∴，即，故正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确；
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故答案为：①②④．
三、解答题。（本大题共8小题，满分66分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|．
【分析】先算乘方，绝对值，括号里的运算，再算乘法与除法，最后算加减即可．
【解答】解：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|
＝9﹣（﹣3）×÷2
＝9+1÷2
＝9+
＝9．
20．（6分）解方程：．
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解：
①﹣②得：
﹣y＝﹣3，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：
x+3＝1，
解得：x＝﹣2，
即原方程组的解为：．
21．（8分）如图，点B、E、C在一条直线上，线段AB＝CD，AB∥CD．
（1）尺规作图：在线段BC上取一点F，连接AF，使得△ABF≌△DCE；
（2）根据已知及（1）中你的作图条件证明△ABF≌△DCE．
【分析】（1）在线段AB的下方作∠BAF＝∠D，AF交BC于点F，点F即为所求；
（2）根据ASA证明三角形全等即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
由作图可知∠A＝∠D，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA）．
22．（8分）在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，根据数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过7200元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1.5＝4．
答：A型口罩的单价是4元，B型口罩的单价是2.5元．
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：4y+2.5×2y≤7200，
解得：y≤800．
答：增加购买A型口罩的数量最多是800个．
23．（8分）我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．
（1）接受这次调查的家长人数为 200 人；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为 162° ；
（3）表示“无所谓”的家长人数为 40人 ；
（4）在四名（三男一女）持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．
【分析】（1）由“赞同”的家长人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以“不赞同”的家长所占的比例即可；
（3）由接受这次调查的家长人数乘以表示“无所谓”的家长人数所占的百分比即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）接受这次调查的家长人数为：50÷25%＝200（人），
故答案为：200；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为：360°×＝162°，
故答案为：162°；
（3）表示“无所谓”的家长人数为：200×20%＝40（人），
故答案为：40人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有6种，
∴恰好抽到一男一女家长的概率为＝．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（a≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AD∥y轴于点D，点O是线段CD的中点，AC＝，sin∠ACD＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）求△ABD的面积．
（3）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出DC的长，由点O是线段CD的中点得出A点横坐标，再根据勾股定理得出A点坐标，将A点坐标代入，求出反比例函数解析式；进而将A、B两点坐标代入y＝kx+b，即可得出一次函数解析式；
（2）根据三角形面积公式列式即可得出△ABD的面积；
（3）观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵AD∥y轴于点D，AC＝2，sin∠ACD＝，
∴＝，
∴AD＝4，
∴DC＝＝2，
∵点O是线段CD的中点，
∴DO＝CO＝1，
∴A（﹣1，4），
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
将B的坐标（m，﹣2）代入得：m＝2，
∴B（2，﹣2），
将A（﹣1，4），B（2，﹣2）代入y＝kx+b得：
，
解得．
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+2；
（2）由（1）知：DC＝2，A（﹣1，4）、B（2，﹣2），
∴△BCD的面积为：×2×2＝2，△ACD的面积为：×2×4＝4，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6；
（3）kx+b的x取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
25．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的☉O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作☉O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CE交AB的延长线于G．
（1）求证：CG是☉O的切线；
（2）若FB＝FE＝2，求☉O的半径．
【分析】（1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF＝DF＝BF即可．
（2）只要证明∠FCB＝∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
（2）解法一：由EF＝FC，推出∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，由切割线定理得出（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2＝FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12＝0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解决问题．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．利用相似三角形的性质求出AE，AF，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵E为CH中点，
∴EC＝EH，
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC＝∠CAB，
∵OC＝OA，CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠FCB＝∠CAB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠FCB+∠BCO＝90°，
即OC⊥CG，
∵OC是半径，
∴CG是⊙O切线，
（2）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝2，
∴EF＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠AHE＝∠CHG＝90°，
∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，
∵∠AEH＝∠CEF，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵FB⊥AG，
∴AB＝BG，
∵∠GCB＝∠GAC，∠G＝∠G，
∴△GBC∽△GCA，
∴＝，
∴（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12＝0，
解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB＝BG＝＝4，
∴⊙O的半径是2．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．
∵FC＝FE，FJ⊥CE，
∴CJ＝JE，
∵CE＝EH，
∴EH＝2JE，
∵FJ∥AH，
∴△FJE∽△AHE，
∴＝＝，
∴AE＝2EF＝4，
∴AF＝AE+EF＝6，
∵BF＝2，∠ABF＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得抛物线的顶点M（﹣1，4），即知AC2+CM2＝AM2，故△ACM是直角三角形；
（3）设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），由三角形的面积公式可表达△PAB的面积，建立关于t的方程，求出t即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
则函数关系式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）△ACM是直角三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点M（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC2＝18，AM2＝20，CM2＝2，
∴AC2+CM2＝AM2，
∴△ACM是直角三角形；
（3）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
∴△PAB的面积为：AB•yP＝8，
∴×4×（﹣t2﹣2t+3）＝8，
解得t＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，4）．
2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷
一、选择题。（每小题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
2．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．180゜ B．270゜ C．360゜ D．540゜
5．（3分）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（3分）下列调查中，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全班同学每周进行体育锻炼的时间
B．对旅客上飞机前进行的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．（3分）把a3﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）2 D．a（a2﹣4）
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
11．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD边上的一个动点，若点C的坐标是（0，﹣1），则PA+PC的最小值是（ ）
A．19 B． C． D．18
二、填空题。（每小题3分，共6小题，共18分）
13．（3分）如果+5℃表示零上5℃，那么零下8℃可记为 ．
14．（3分）计算的结果是 ．
15．（3分）一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ．
16．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，则阴影部分面积是 ．
17．（3分）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 m．
18．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 （填序号）．
三、解答题。（本大题共8小题，满分66分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|．
20．（6分）解方程：．
21．（8分）如图，点B、E、C在一条直线上，线段AB＝CD，AB∥CD．
（1）尺规作图：在线段BC上取一点F，连接AF，使得△ABF≌△DCE；
（2）根据已知及（1）中你的作图条件证明△ABF≌△DCE．
22．（8分）在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
23．（8分）我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．
（1）接受这次调查的家长人数为 人；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为 ；
（3）表示“无所谓”的家长人数为 ；
（4）在四名（三男一女）持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（a≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AD∥y轴于点D，点O是线段CD的中点，AC＝，sin∠ACD＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）求△ABD的面积．
（3）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
25．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的☉O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作☉O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CE交AB的延长线于G．
（1）求证：CG是☉O的切线；
（2）若FB＝FE＝2，求☉O的半径．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年广西贵港市港南区中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题。（每小题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．
【分析】利用相反数的定义做题即可．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：B．
2．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．（3分）信息技术发展的今天，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm，已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8m B．2.8×10﹣9m C．28×10﹣9m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：A．
4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．180゜ B．270゜ C．360゜ D．540゜
【分析】根据任意多边形的外角和等于360度，即可求解．
【解答】解：∵∠1，∠2，∠3分别为△ABC的三个外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：C．
5．（3分）如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从正面看得到的平面图形是从上到下为等腰三角形，长方形．
【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆柱，上面是圆锥的组合图形．
故选：C．
6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝120°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
7．（3分）下列调查中，不适合采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全班同学每周进行体育锻炼的时间
B．对旅客上飞机前进行的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：了解全班同学每周进行体育锻炼的时间适合采用全面调查方式，A错误；
对旅客上飞机前进行的安检适合采用全面调查方式，B错误；
学校招聘教师，对应聘人员进行面试适合采用全面调查方式，C错误；
了解全市中小学生每天的零花钱不适合采用全面调查方式，D正确，
故选：D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两直线一定是平行线
B．点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】利用平行线的判定，点到直线的距离的定义，线段的定义，垂线的定义对各说法进行分析即可．
【解答】解：A、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，故A说法错误，不符合题意；
B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故B说法错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，故C说法正确，符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）把a3﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）2 D．a（a2﹣4）
【分析】提取公因式后，利用平方差公式．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
11．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
【分析】根据猴山（﹣2，2）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定熊猫馆的位置．
【解答】解：如图所示：
熊猫馆的点的坐标是（1，3），
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD边上的一个动点，若点C的坐标是（0，﹣1），则PA+PC的最小值是（ ）
A．19 B． C． D．18
【分析】过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是．
【解答】解：如图，过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵∠BOE＝90°﹣60°＝30°，OB＝2，
∴BE＝，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0，﹣1），
∴OC＝1，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝＝＝，
即PA+PC的最小值是，
故选：C．
二、填空题。（每小题3分，共6小题，共18分）
13．（3分）如果+5℃表示零上5℃，那么零下8℃可记为 ﹣8℃ ．
【分析】正数和负数表示相反意义的量，零上记为正，可得零下的表示方法．
【解答】解：如果零上5℃记作+5℃，那么零下8℃记作﹣8℃，
故答案为：﹣8℃．
14．（3分）计算的结果是 6 ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝2
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
15．（3分）一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 2 ．
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据6，8，10，x的平均数是8，
∴（6+8+10+x）÷4＝8，
解得：x＝8，
∴这组数据的方差是[（6﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2]＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，则阴影部分面积是 2π﹣4 ．
【分析】根据圆内接正方形的性质可得AD＝4，∠AOD＝90°，OA＝OD，求出OA的长，阴影部分的面积为求解即可．
【解答】解：∵边长为4的正方形ABCD是圆O的内接四边形，
∴AD＝4，∠AOD＝90°，OA＝OD，
根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2，
即2OA2＝16，
解得OA＝或OA＝﹣（舍去），
∴OD＝，
∴阴影部分的面积为＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
17．（3分）如图，河坝的横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝6m，则坡面AB的长度是 12 m．
【分析】根据坡度和坡角的关系求出∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2×6＝12（m），
故答案为：12．
18．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 ①②④ （填序号）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵顶点在x轴的上方，
∴，即，故正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确；
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故答案为：①②④．
三、解答题。（本大题共8小题，满分66分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|．
【分析】先算乘方，绝对值，括号里的运算，再算乘法与除法，最后算加减即可．
【解答】解：32﹣（1﹣4）×÷|﹣2|
＝9﹣（﹣3）×÷2
＝9+1÷2
＝9+
＝9．
20．（6分）解方程：．
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解：
①﹣②得：
﹣y＝﹣3，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：
x+3＝1，
解得：x＝﹣2，
即原方程组的解为：．
21．（8分）如图，点B、E、C在一条直线上，线段AB＝CD，AB∥CD．
（1）尺规作图：在线段BC上取一点F，连接AF，使得△ABF≌△DCE；
（2）根据已知及（1）中你的作图条件证明△ABF≌△DCE．
【分析】（1）在线段AB的下方作∠BAF＝∠D，AF交BC于点F，点F即为所求；
（2）根据ASA证明三角形全等即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
由作图可知∠A＝∠D，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA）．
22．（8分）在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，根据数量＝总价÷单价，结合用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过7200元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1.5＝4．
答：A型口罩的单价是4元，B型口罩的单价是2.5元．
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：4y+2.5×2y≤7200，
解得：y≤800．
答：增加购买A型口罩的数量最多是800个．
23．（8分）我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．
（1）接受这次调查的家长人数为 200 人；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为 162° ；
（3）表示“无所谓”的家长人数为 40人 ；
（4）在四名（三男一女）持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．
【分析】（1）由“赞同”的家长人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以“不赞同”的家长所占的比例即可；
（3）由接受这次调查的家长人数乘以表示“无所谓”的家长人数所占的百分比即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）接受这次调查的家长人数为：50÷25%＝200（人），
故答案为：200；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为：360°×＝162°，
故答案为：162°；
（3）表示“无所谓”的家长人数为：200×20%＝40（人），
故答案为：40人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有6种，
∴恰好抽到一男一女家长的概率为＝．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（a≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AD∥y轴于点D，点O是线段CD的中点，AC＝，sin∠ACD＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）求△ABD的面积．
（3）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出DC的长，由点O是线段CD的中点得出A点横坐标，再根据勾股定理得出A点坐标，将A点坐标代入，求出反比例函数解析式；进而将A、B两点坐标代入y＝kx+b，即可得出一次函数解析式；
（2）根据三角形面积公式列式即可得出△ABD的面积；
（3）观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵AD∥y轴于点D，AC＝2，sin∠ACD＝，
∴＝，
∴AD＝4，
∴DC＝＝2，
∵点O是线段CD的中点，
∴DO＝CO＝1，
∴A（﹣1，4），
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
将B的坐标（m，﹣2）代入得：m＝2，
∴B（2，﹣2），
将A（﹣1，4），B（2，﹣2）代入y＝kx+b得：
，
解得．
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+2；
（2）由（1）知：DC＝2，A（﹣1，4）、B（2，﹣2），
∴△BCD的面积为：×2×2＝2，△ACD的面积为：×2×4＝4，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6；
（3）kx+b的x取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
25．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的☉O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作☉O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CE交AB的延长线于G．
（1）求证：CG是☉O的切线；
（2）若FB＝FE＝2，求☉O的半径．
【分析】（1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF＝DF＝BF即可．
（2）只要证明∠FCB＝∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
（2）解法一：由EF＝FC，推出∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，由切割线定理得出（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2＝FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12＝0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解决问题．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．利用相似三角形的性质求出AE，AF，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵E为CH中点，
∴EC＝EH，
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC＝∠CAB，
∵OC＝OA，CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠FCB＝∠CAB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠FCB+∠BCO＝90°，
即OC⊥CG，
∵OC是半径，
∴CG是⊙O切线，
（2）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝2，
∴EF＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠AHE＝∠CHG＝90°，
∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，
∵∠AEH＝∠CEF，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵FB⊥AG，
∴AB＝BG，
∵∠GCB＝∠GAC，∠G＝∠G，
∴△GBC∽△GCA，
∴＝，
∴（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12＝0，
解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB＝BG＝＝4，
∴⊙O的半径是2．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．
∵FC＝FE，FJ⊥CE，
∴CJ＝JE，
∵CE＝EH，
∴EH＝2JE，
∵FJ∥AH，
∴△FJE∽△AHE，
∴＝＝，
∴AE＝2EF＝4，
∴AF＝AE+EF＝6，
∵BF＝2，∠ABF＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得抛物线的顶点M（﹣1，4），即知AC2+CM2＝AM2，故△ACM是直角三角形；
（3）设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），由三角形的面积公式可表达△PAB的面积，建立关于t的方程，求出t即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
则函数关系式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）△ACM是直角三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点M（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC2＝18，AM2＝20，CM2＝2，
∴AC2+CM2＝AM2，
∴△ACM是直角三角形；
（3）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
∴△PAB的面积为：AB•yP＝8，
∴×4×（﹣t2﹣2t+3）＝8，
解得t＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，4）．
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