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2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷（含答案）
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这是一份2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷（含答案），共24页。
2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷
一.选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离PO＝8cm，则点P的位置是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
3．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
4．（3分）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3）绕着点O旋转180°后得到点B（﹣2，n），则n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
8．（3分）把二次函数y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣3 B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x﹣2）2﹣5
9．（3分）已知点A（3，y1），B（4，y1）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
10．（3分）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C． D．
11．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（ ）
A．2+ B．2﹣ C．1 D．2
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分.请将答案直接写在题中横线上）
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a＝0有实数根，则a的取值范围为 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠B＝115°，则∠D的度数为 ．
15．（2分）为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是 ．
16．（2分）如图，某学生利用一根长1米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 ．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ ．
18．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ．（填序号）
三.解答题（本大题共8个小题，满分72分）.
19．（6分）解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
20．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形．
（2）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
22．（10分）如图所示的方格地面上，标有编号A、B、C、D的四个小方格地面是空地，另外5个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的9个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是 ．
（2）现从4个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取编号为A和C的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明．
23．（10分）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为18m的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为30m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为AB为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）如果要围成面积为63m2的隔离区，那么AB的长为多少？
（3）求隔离区ABCD面积的最大值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
25．（10分）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，求的值．
26．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当∠ADM＝45°时，求点M的坐标．
2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）若⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离PO＝8cm，则点P的位置是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
【解答】解：∵OP＝8cm＞6cm，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
3．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故选：B．
4．（3分）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3）绕着点O旋转180°后得到点B（﹣2，n），则n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【解答】解：点A（2，﹣3）°绕着点O旋转180°后得到的对应点的坐标是（﹣2，n），
∴n＝3，
故选：A．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件
【解答】解：A、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；
B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
C、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，本选项说法不正确，符合题意；
D、“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ABC与△ADE的面积之比＝（）2＝4：1．
故选：B．
8．（3分）把二次函数y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣3 B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x﹣2）2﹣5
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣5），所以新抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
9．（3分）已知点A（3，y1），B（4，y1）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+3，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵3＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
10．（3分）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C． D．
【解答】解：设有x个站点，则
x（x﹣1）＝132．
故选：B．
11．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12
【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，
∵AB＝2BC，
∴S△ABO＝2S△OBC＝3，
即﹣n＝，解得n＝﹣3
∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9，
∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．
故选：D．
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（ ）
A．2+ B．2﹣ C．1 D．2
【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4﹣1，
∴OM＝CD＝2﹣，即OM的最小值为＝2﹣，
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分.请将答案直接写在题中横线上）
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a＝0有实数根，则a的取值范围为 a≤ ．
【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4a≥0，
解得a≤．
故答案为：a≤．
14．（2分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠B＝115°，则∠D的度数为 65° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝115°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝65°，
故答案为：65°．
15．（2分）为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是 95% ．
【解答】解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%，
故答案为：95%．
16．（2分）如图，某学生利用一根长1米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 4 ．
【解答】解：∵BC＝3米，CA＝1米，
∴AB＝4米．
根据题意知，CE∥BD，则△AEC∽△ADB．
∴AC：AB＝CE：BD，
∴1：4＝1：BD，
∴BD＝4．
即树的高度DB为4米．
故答案为：4．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ 2 ．
【解答】解：设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF，
由勾股定理得，AB＝＝10，
∴×AC×BC＝×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8＝×（6+8+10）×OD，
解得，OD＝2，
设AD＝x，则CD＝6﹣x，
根据切线长定理得，AF＝AD＝x，CE＝6﹣x，则BE＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
∴BF＝BE＝2+x，
则x+2+x＝10，
解得，x＝4，
在Rt△AOD中，AO＝＝2，
故答案为：2．
18．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ②④ ．（填序号）
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝，即b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①错误；
由上述可知，b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c过A（﹣1，0），
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴2a+c＝﹣a＜0，故③错误；
当x＝1时，抛物线由最小值y＝a+b+c，
当x＝m，且m≠1时，
y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c，
∴am2+bm＞a+b，故④正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
可得点D纵坐标为﹣2，即点D（1，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
将A（﹣1，0）代入得：4a﹣2＝0，
解得：a＝，故⑤错误．
综上，正确的有②④．
故答案为：②④．
三.解答题（本大题共8个小题，满分72分）.
19．（6分）解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
【解答】解：∵x2+4x﹣5＝0．
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
20．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形．
（2）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；
（2）∵OB＝＝，∠BOB1＝90°，
∴线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积为＝．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝中，得，
解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
将B（n，﹣2）代入y＝中，得n＝﹣2，
将A（1，4）、B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b中，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）由图象得满足y1≤y2的x的取值范围为：x≤﹣2或0＜x≤1．
22．（10分）如图所示的方格地面上，标有编号A、B、C、D的四个小方格地面是空地，另外5个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的9个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是 ．
（2）现从4个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取编号为A和C的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明．
【解答】解：（1）小鸟落在草坪上的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的结果有2个，
∴刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的概率为＝．
23．（10分）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为18m的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为30m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为AB为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）如果要围成面积为63m2的隔离区，那么AB的长为多少？
（3）求隔离区ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）垂直于墙的一边AB为xm，则隔离区的另一边BC为（30﹣3x）m，
∴S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣3x2+30x；
（2）根据题意得：﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，30﹣3x＝30﹣9＝21＞18，不符合题意，
当x＝7时，30﹣3x＝30﹣21＝9＜18，符合题意，
∴AB的长为7m；
（3）由（1）知，S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
∵﹣3＜0，
∴当x＝5时，S最大，最大值为75，
此时，30﹣3x＝15＜18，符合题意，
答：隔离区ABCD面积的最大值为75m2．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥AF于点G，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形OGED为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
∵OD＝OA＝5，
设EF＝x，
AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x﹣2＝8﹣2x．
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
即（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴EF＝2，
25．（10分）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1x2＝ ﹣1 ．
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1x2＝＝﹣1，
故答案为：2，﹣1；
（2）∵一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣6；
（3）∵实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，
∴s，t是一元二次方程4x2+3x﹣4＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣1．
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣1）＝，
∴t﹣s＝，
∴＝＝＝﹣，
的值为﹣．
26．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当∠ADM＝45°时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣1得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣1；
（2）在平面直角坐标系内存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
设P（m，n），
①若AB，CP为对角线，则AB，CP的中点重合，
∴，
解得，
∴P（2，1）；
②若AC，BP为对角线，则AC，BP的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣4，﹣1）；
③若AP，BC为对角线，则AP，BC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（4，﹣1）；
综上所述，P的坐标为（2，1）或（﹣4，﹣1）或（4，﹣1）；
（3）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝2得y＝﹣1，
∴D（2，﹣1），
设H（p，q），过A作AH⊥DM于H，过H作TK∥x轴，过A作AT⊥TK于T，过D作DK⊥TK于K，
①当M在AD上方时，如图：
∵∠ADM＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH，∠THA＝90°﹣∠KHD＝∠KDH，
∵∠T＝∠K＝90°，
∴△AHT≌△HDK（AAS），
∴AT＝HK，TH＝DK，
∵AT＝q，HK＝2﹣P，TH＝p+1，DK＝q+1，
∴，
解得，
∴H（1，1），
由H（1，1），D（2，﹣1）得直线DH解析式为y＝﹣2x+3，
在y＝﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴M（0，3）；
②当M在AD下方时，如图：
同理可得AT＝HK，TH＝DK，
∵AT＝﹣q，HK＝2﹣p，TH＝p+1，DK＝﹣1﹣q，
∴，
解得，
∴H（0，﹣2），
∴此时M与H重合，即M（0，﹣2）；
综上所述，M的坐标为（0，3）或（0，﹣2）．
2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷
一.选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离PO＝8cm，则点P的位置是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
3．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
4．（3分）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3）绕着点O旋转180°后得到点B（﹣2，n），则n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
8．（3分）把二次函数y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣3 B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x﹣2）2﹣5
9．（3分）已知点A（3，y1），B（4，y1）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
10．（3分）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C． D．
11．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（ ）
A．2+ B．2﹣ C．1 D．2
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分.请将答案直接写在题中横线上）
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a＝0有实数根，则a的取值范围为 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠B＝115°，则∠D的度数为 ．
15．（2分）为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是 ．
16．（2分）如图，某学生利用一根长1米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 ．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ ．
18．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ．（填序号）
三.解答题（本大题共8个小题，满分72分）.
19．（6分）解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
20．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形．
（2）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
22．（10分）如图所示的方格地面上，标有编号A、B、C、D的四个小方格地面是空地，另外5个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的9个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是 ．
（2）现从4个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取编号为A和C的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明．
23．（10分）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为18m的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为30m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为AB为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）如果要围成面积为63m2的隔离区，那么AB的长为多少？
（3）求隔离区ABCD面积的最大值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
25．（10分）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，求的值．
26．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当∠ADM＝45°时，求点M的坐标．
2023年广西柳州市鱼峰区中考数学一检试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）若⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离PO＝8cm，则点P的位置是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
【解答】解：∵OP＝8cm＞6cm，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
3．（3分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故选：B．
4．（3分）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0
【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣3）绕着点O旋转180°后得到点B（﹣2，n），则n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【解答】解：点A（2，﹣3）°绕着点O旋转180°后得到的对应点的坐标是（﹣2，n），
∴n＝3，
故选：A．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件
【解答】解：A、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；
B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
C、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，本选项说法不正确，符合题意；
D、“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ABC与△ADE的面积之比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ABC与△ADE的面积之比＝（）2＝4：1．
故选：B．
8．（3分）把二次函数y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣3 B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x﹣2）2﹣5
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣5），所以新抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
9．（3分）已知点A（3，y1），B（4，y1）是抛物线y＝（x﹣2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+3，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵3＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
10．（3分）2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C． D．
【解答】解：设有x个站点，则
x（x﹣1）＝132．
故选：B．
11．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12
【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，
∵AB＝2BC，
∴S△ABO＝2S△OBC＝3，
即﹣n＝，解得n＝﹣3
∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9，
∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．
故选：D．
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（ ）
A．2+ B．2﹣ C．1 D．2
【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4﹣1，
∴OM＝CD＝2﹣，即OM的最小值为＝2﹣，
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分.请将答案直接写在题中横线上）
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a＝0有实数根，则a的取值范围为 a≤ ．
【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4a≥0，
解得a≤．
故答案为：a≤．
14．（2分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠B＝115°，则∠D的度数为 65° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝115°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝65°，
故答案为：65°．
15．（2分）为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是 95% ．
【解答】解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%，
故答案为：95%．
16．（2分）如图，某学生利用一根长1米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 4 ．
【解答】解：∵BC＝3米，CA＝1米，
∴AB＝4米．
根据题意知，CE∥BD，则△AEC∽△ADB．
∴AC：AB＝CE：BD，
∴1：4＝1：BD，
∴BD＝4．
即树的高度DB为4米．
故答案为：4．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ 2 ．
【解答】解：设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF，
由勾股定理得，AB＝＝10，
∴×AC×BC＝×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8＝×（6+8+10）×OD，
解得，OD＝2，
设AD＝x，则CD＝6﹣x，
根据切线长定理得，AF＝AD＝x，CE＝6﹣x，则BE＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
∴BF＝BE＝2+x，
则x+2+x＝10，
解得，x＝4，
在Rt△AOD中，AO＝＝2，
故答案为：2．
18．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ②④ ．（填序号）
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝，即b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①错误；
由上述可知，b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c过A（﹣1，0），
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴2a+c＝﹣a＜0，故③错误；
当x＝1时，抛物线由最小值y＝a+b+c，
当x＝m，且m≠1时，
y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c，
∴am2+bm＞a+b，故④正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
可得点D纵坐标为﹣2，即点D（1，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
将A（﹣1，0）代入得：4a﹣2＝0，
解得：a＝，故⑤错误．
综上，正确的有②④．
故答案为：②④．
三.解答题（本大题共8个小题，满分72分）.
19．（6分）解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
【解答】解：∵x2+4x﹣5＝0．
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
20．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形．
（2）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；
（2）∵OB＝＝，∠BOB1＝90°，
∴线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积为＝．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（1，4），B（n，﹣2）．
（1）求该反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1≤y2的x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝中，得，
解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
将B（n，﹣2）代入y＝中，得n＝﹣2，
将A（1，4）、B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b中，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）由图象得满足y1≤y2的x的取值范围为：x≤﹣2或0＜x≤1．
22．（10分）如图所示的方格地面上，标有编号A、B、C、D的四个小方格地面是空地，另外5个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的9个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是 ．
（2）现从4个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取编号为A和C的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明．
【解答】解：（1）小鸟落在草坪上的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的结果有2个，
∴刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的概率为＝．
23．（10分）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为18m的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为30m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为AB为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）如果要围成面积为63m2的隔离区，那么AB的长为多少？
（3）求隔离区ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）垂直于墙的一边AB为xm，则隔离区的另一边BC为（30﹣3x）m，
∴S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣3x2+30x；
（2）根据题意得：﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，30﹣3x＝30﹣9＝21＞18，不符合题意，
当x＝7时，30﹣3x＝30﹣21＝9＜18，符合题意，
∴AB的长为7m；
（3）由（1）知，S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
∵﹣3＜0，
∴当x＝5时，S最大，最大值为75，
此时，30﹣3x＝15＜18，符合题意，
答：隔离区ABCD面积的最大值为75m2．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥AF于点G，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形OGED为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
∵OD＝OA＝5，
设EF＝x，
AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x﹣2＝8﹣2x．
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
即（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴EF＝2，
25．（10分）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1x2＝ ﹣1 ．
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1x2＝＝﹣1，
故答案为：2，﹣1；
（2）∵一元二次方程﹣x2+2x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣6；
（3）∵实数s、t满足4s2+3s﹣4＝0，4t2+3t﹣4＝0，且s＜t，
∴s，t是一元二次方程4x2+3x﹣4＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣1．
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣1）＝，
∴t﹣s＝，
∴＝＝＝﹣，
的值为﹣．
26．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当∠ADM＝45°时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣1得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣1；
（2）在平面直角坐标系内存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
设P（m，n），
①若AB，CP为对角线，则AB，CP的中点重合，
∴，
解得，
∴P（2，1）；
②若AC，BP为对角线，则AC，BP的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣4，﹣1）；
③若AP，BC为对角线，则AP，BC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（4，﹣1）；
综上所述，P的坐标为（2，1）或（﹣4，﹣1）或（4，﹣1）；
（3）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝2得y＝﹣1，
∴D（2，﹣1），
设H（p，q），过A作AH⊥DM于H，过H作TK∥x轴，过A作AT⊥TK于T，过D作DK⊥TK于K，
①当M在AD上方时，如图：
∵∠ADM＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH，∠THA＝90°﹣∠KHD＝∠KDH，
∵∠T＝∠K＝90°，
∴△AHT≌△HDK（AAS），
∴AT＝HK，TH＝DK，
∵AT＝q，HK＝2﹣P，TH＝p+1，DK＝q+1，
∴，
解得，
∴H（1，1），
由H（1，1），D（2，﹣1）得直线DH解析式为y＝﹣2x+3，
在y＝﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴M（0，3）；
②当M在AD下方时，如图：
同理可得AT＝HK，TH＝DK，
∵AT＝﹣q，HK＝2﹣p，TH＝p+1，DK＝﹣1﹣q，
∴，
解得，
∴H（0，﹣2），
∴此时M与H重合，即M（0，﹣2）；
综上所述，M的坐标为（0，3）或（0，﹣2）．
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