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2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷（含答案）
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这是一份2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．+x+1＝0
2．（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．（4分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
6．（4分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
7．（4分）如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
9．（4分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
10．（4分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为2cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．180°
11．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
12．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b+c＝0；④＜a；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是 ．
14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣m﹣6＝0有一个根是0，则m的值为 ．
15．（4分）西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为 m．
16．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
17．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣2）＝8﹣4x．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
20．（6分）阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x﹣2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．
①若抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，则抛物线C1的解析式： ．
②若抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，且抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，请求出抛物线C2的解析式，并说明理由．
21．（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）．
（1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知a、b为非零常数，a•b≠1，满足2a2+4a+1＝0，b2+4b+2＝0，则＝ ．
24．（5分）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25．（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，根据题意完成下列问题：
（1）如图①，点D为△ABC内的点，连接CD，AD，BD将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，连接DE，BE，若AC＝2，CD＝1，AD＝，求证：CD∥BE．
（2）如图②，若点E是△ABC中斜边AB上的点（点E不与点A、B重合），试求试求BE2、AE2、CE2的数量关系，并说明理由．
27．（10分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作⊙O的切线交PA于D点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
28．（10分）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB＝∠ABC，求点P的坐标；
（3）若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．+x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、该方程化简后可得4x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意．
故选：C．
2．（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【分析】根据中心对称的概念得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：B．
3．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
5．（4分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，
依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．
故选：A．
6．（4分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣4且a≠0．
故选：C．
7．（4分）如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝4．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．
故选：C．
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
【分析】连接OD，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得＝，CG＝DG，则＝，所以CD＝BE＝8，则DG＝CD＝4，利用勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，
∴＝，CG＝DG，
∵点C是弧BE的中点，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BE＝8，
∴DG＝CD＝4，
在Rt△ODG中，∵OG＝r﹣2，OD＝r，
∴42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
9．（4分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝π．
故选：B．
10．（4分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为2cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．180°
【分析】根据扇形面积公式列式计算即可．
【解答】解：设此圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的半径为2cm，
∴圆锥的底面圆的周长为4πcm，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为4πcm，
则＝4π，
解得：n＝90，
故选：C．
11．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
【分析】设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，
设点A′的坐标是（x，y），
则＝0，＝1，
解得x＝﹣a，y＝﹣b+2，
∴点A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．
故选：D．
12．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b+c＝0；④＜a；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系；当x＝﹣1时，y＝0，则得③的判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜；
故④正确；
正确结论为：①③④，有3个，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的结果有2种，
∴两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率为＝，
故答案为：．
14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣m﹣6＝0有一个根是0，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程求得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得m2﹣m﹣6＝0，
解得m＝3或﹣2．
又∵m﹣3≠0，即m≠3，
∴m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
15．（4分）西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为 10 m．
【分析】先建立平面直角坐标系，根据题中写出A、B、C的坐标，根据顶点坐标设出抛物线的解析式，然后再把点B坐标代入解析式即可求出解析式，再求出当x＝1时对应的y值即可得出答案．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系：
∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，且AB＝24m，
∴C（0，8），A（﹣12，0），B（12，0），
∴抛物线的顶点坐标为（0，8），
则可设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
再把B（12，0）代入解析式得：144a+8＝0，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2+8，
∵DE∥AB，且DE的长为36m，
∴当x＝18时，y＝﹣10，
∴点E到直线AB的距离为10m；
故答案为：10．
16．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE＝OF；
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴由勾股定理，得BC＝8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即10×OE+4×OE＝4×6，
解得OE＝，
∴⊙O的半径是，
故答案为．
17．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 （，3） ．
【分析】过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，根据题意可得B（3，），进而可得点B的对应点B'的坐标．
【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB＝∠B＝30°，
∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，
∴AD＝1，BD＝，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴B（3，），
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，
∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，
∴B′坐标为：（，3）．
故答案为：（，3）．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣2）＝8﹣4x．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）原方程变为：
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
（2）原方程变为：
3x（x﹣2）+4（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x+4）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
20．（6分）阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x﹣2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．
①若抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，则抛物线C1的解析式： y＝﹣x2+2x﹣3 ．
②若抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，且抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，请求出抛物线C2的解析式，并说明理由．
【分析】（1）根据新定义求抛物线C1的解析式；
（2）根据二次函数的最值求出k，然后求出原抛物线解析式，进而得出抛物线C2的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，
∴抛物线C1的解析式：y＝﹣x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，
∴＝1，
解得k＝4或k＝﹣1，
∴原抛物线解析式：y＝4x2+4x+2或y＝﹣x2+4x﹣3；
∵抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，
∴抛物线C2的解析式：y＝﹣4x2﹣4x﹣2或y＝x2﹣4x+3．
21．（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）．
（1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
【分析】（1）画出树状图，即可得出结论；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点P（x，y）在⊙O内（x2+y2＜22）的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把记为a，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，分别为（1，0）、（1，1）、（1，）、（2，0）、（2，1）、（2，）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点P（x，y）在⊙O内（x2+y2＜22）的结果有2种，即（1，0）、（1，1），
∴点P（x，y）在⊙O内的概率为＝．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
【分析】（1）连接OD、AD，可证明∠ODA＝∠BAD，则OD∥AB，所以∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线EF为⊙O的切线；
（2）先证明△FDC∽△FAD，得＝，则AF＝＝8，所以2OA＝AC＝6，则OD＝OD＝OA＝3，而OF＝OC+CF＝5，再由OD∥AB，得＝＝，所以DE＝DF＝，则⊙O的半径长为3，ED的长为．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，EF⊥OD，
∴直线EF为⊙O的切线．
（2）解：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠FDC+∠ODC＝90°，∠FAD+∠OCD＝90°，
∴∠FDC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴＝，
∵CF＝2，DF＝4，
∴AF＝＝＝8，
∴2OA＝AC＝AF﹣CF＝8﹣2＝6，
∴OD＝OD＝OA＝3，
∴OF＝OC+CF＝3+2＝5，
∵OD∥AB，
∴＝＝，
∴DE＝DF＝×4＝，
∴⊙O的半径长为3，ED的长为．
四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知a、b为非零常数，a•b≠1，满足2a2+4a+1＝0，b2+4b+2＝0，则＝ 20 ．
【分析】先把2a2+4a+1＝0变形为（）2+4•+2＝0，则可把和a看作方程x2+4x+2＝0的两根，根据根与系数的关系得到+b＝﹣4，•b＝﹣2，然后把原式变形为原式（a+）2﹣2a•，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵2a2+4a+1＝0，
∴（）2+4•+2＝0，
∵b2+4b+2＝0，ab≠1，
∴和a可看作方程x2+4x+2＝0的两根，
∴+b＝﹣4，•b＝﹣2，
∴原式＝a2+＝（a+）2﹣2a•＝（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝20．
故答案为：20．
24．（5分）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
【分析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝2，
∵AD＝1，
∴2﹣1≤DT≤2+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
∴BE＝DT，
∴≤BE≤，
∴线段BE的最小值为．
故答案为：．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25．（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 30﹣3x 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【分析】（1）根据题中条件即可求出BC的长；
（2）先根据题中条件算出x的取值范围，根据题意列出方程，解出方程的解即可；
（3）设面积为S，写出S的函数表达式，配成顶点式，根据x取值范围即可求出最大值．
【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），
∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，
故答案为：30﹣3x；
（2）∵墙最大可用长度为12米，
∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，
解得：6≤x＜，
根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，
解得：x1＝3（舍），x2＝7，
∴x的值为7；
（3）设矩形的面积为S平方米，
则S＝x（30﹣3x）
＝﹣3x2+30x
＝﹣3（x﹣5）2+75，
∵﹣3＜0，且6≤x＜，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，
答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，根据题意完成下列问题：
（1）如图①，点D为△ABC内的点，连接CD，AD，BD将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，连接DE，BE，若AC＝2，CD＝1，AD＝，求证：CD∥BE．
（2）如图②，若点E是△ABC中斜边AB上的点（点E不与点A、B重合），试求试求BE2、AE2、CE2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根据旋转的性质得到CD＝CE，∠DCE＝90°，求得∠CED＝∠CDE＝45°，根据全等三角形的性质得到∠CEB＝∠ADC＝90°，求得∠BED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到CD∥BE；
（2）根据旋转的性质得到CE＝CF，∠ECF＝90°，求得∠A＝∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到BF＝AE，∠CBF＝∠A＝45°，根据勾股定理得到结论．
【解答】（1）证明：AC＝2，CD＝1，AD＝，
∴CD2+AD2＝1+3＝4＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∵将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴∠BED＝45°，
∴∠BED＝∠CDE，
∴CD∥BE；
（2）解：2CE2＝BE2+AE2，
理由：将CE绕着点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，BF，
则CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴BF＝AE，∠CBF＝∠A＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2＝BE2+BF2，
∴2CE2＝BE2+AE2．
27．（10分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作⊙O的切线交PA于D点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
【分析】（1）连接OC，可证明∠OCA＝∠PAC，则AP∥OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠CDP＝∠OCD＝90°，所以CD⊥PA；
（2）连接CE、CB，由＝tan∠EAC＝tan∠DAC＝＝2，得EC＝2AC，则AC2+（2AC）2＝202，得AC＝4，由AD2+（2AD）2＝（4）2，得AD＝4，CD＝8，再证明∠DCB＝∠CAE，则＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝＝2，所以BD＝2CD＝16，则AB＝BD﹣AD＝12．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠EAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC＝∠EAC，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴AP∥OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠CDP＝∠OCD＝90°，
∴CD⊥PA．
（2）解：连接CE、CB，
∵AE是⊙O的直径，且AE＝20，
∴∠ACE＝∠ADC＝90°，
∵CD＝2AD，∠EAC＝∠DAC，
∴＝tan∠EAC＝tan∠DAC＝＝2，
∴EC＝2AC，
∵AC2+EC2＝AE2，
∴AC2+（2AC）2＝202，
∴AC＝4，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+（2AD）2＝（4）2，
∴AD＝4，CD＝8，
∵∠DCB+∠B＝90°，∠CAE+∠E＝90°，且∠B＝∠E，
∴∠DCB＝∠CAE，
∴＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝＝2，
∴BD＝2CD＝16，
∴AB＝BD﹣AD＝16﹣4＝12，
∴线段AC长为4、线段AB的长为12．
28．（10分）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB＝∠ABC，求点P的坐标；
（3）若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）OA＝OB，则∠ABC＝45°＝∠PCB，得到治安PC的表达式，进而求解；
（3）当AB是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，即可求解；当AD（AE）是平行四边形的对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝1，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3①；
（2）如下图：
∵OA＝OB＝3，
∴∠ABC＝45°＝∠PCB，
则设直线PC的表达式为：y＝x+t，
将点C的坐标代入上式并解得：t＝1，
则直线PC的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②得：﹣x2﹣2x+3＝x﹣1，
解得：x＝1（舍去）或﹣4，
则点P（﹣4，﹣5）；
（3）存在，理由：
设点E的坐标为：（x，﹣x2﹣2x+3），
当AB是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝0（舍去）或﹣2，
即点E（﹣2，3）；
当AD是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝0（舍去）或﹣2，
即点E（﹣2，3）；
当AE是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：0＝﹣x2﹣2x+3+3，
解得：x＝﹣1，
即点E（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；
综上，点E的坐标为：（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．+x+1＝0
2．（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．（4分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
6．（4分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
7．（4分）如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
9．（4分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
10．（4分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为2cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．180°
11．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
12．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b+c＝0；④＜a；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是 ．
14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣m﹣6＝0有一个根是0，则m的值为 ．
15．（4分）西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为 m．
16．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
17．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣2）＝8﹣4x．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
20．（6分）阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x﹣2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．
①若抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，则抛物线C1的解析式： ．
②若抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，且抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，请求出抛物线C2的解析式，并说明理由．
21．（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）．
（1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知a、b为非零常数，a•b≠1，满足2a2+4a+1＝0，b2+4b+2＝0，则＝ ．
24．（5分）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25．（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，根据题意完成下列问题：
（1）如图①，点D为△ABC内的点，连接CD，AD，BD将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，连接DE，BE，若AC＝2，CD＝1，AD＝，求证：CD∥BE．
（2）如图②，若点E是△ABC中斜边AB上的点（点E不与点A、B重合），试求试求BE2、AE2、CE2的数量关系，并说明理由．
27．（10分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作⊙O的切线交PA于D点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
28．（10分）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB＝∠ABC，求点P的坐标；
（3）若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．+x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、该方程化简后可得4x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意．
故选：C．
2．（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【分析】根据中心对称的概念得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：B．
3．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
4．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
5．（4分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，
依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．
故选：A．
6．（4分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣4且a≠0．
故选：C．
7．（4分）如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝4．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．
故选：C．
8．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
【分析】连接OD，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得＝，CG＝DG，则＝，所以CD＝BE＝8，则DG＝CD＝4，利用勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，
∴＝，CG＝DG，
∵点C是弧BE的中点，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BE＝8，
∴DG＝CD＝4，
在Rt△ODG中，∵OG＝r﹣2，OD＝r，
∴42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
9．（4分）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝π．
故选：B．
10．（4分）已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为2cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．180°
【分析】根据扇形面积公式列式计算即可．
【解答】解：设此圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的半径为2cm，
∴圆锥的底面圆的周长为4πcm，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为4πcm，
则＝4π，
解得：n＝90，
故选：C．
11．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
【分析】设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，
设点A′的坐标是（x，y），
则＝0，＝1，
解得x＝﹣a，y＝﹣b+2，
∴点A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．
故选：D．
12．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b+c＝0；④＜a；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系；当x＝﹣1时，y＝0，则得③的判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜；
故④正确；
正确结论为：①③④，有3个，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的结果有2种，
∴两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率为＝，
故答案为：．
14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣m﹣6＝0有一个根是0，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程求得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得m2﹣m﹣6＝0，
解得m＝3或﹣2．
又∵m﹣3≠0，即m≠3，
∴m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
15．（4分）西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为 10 m．
【分析】先建立平面直角坐标系，根据题中写出A、B、C的坐标，根据顶点坐标设出抛物线的解析式，然后再把点B坐标代入解析式即可求出解析式，再求出当x＝1时对应的y值即可得出答案．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系：
∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，且AB＝24m，
∴C（0，8），A（﹣12，0），B（12，0），
∴抛物线的顶点坐标为（0，8），
则可设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
再把B（12，0）代入解析式得：144a+8＝0，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2+8，
∵DE∥AB，且DE的长为36m，
∴当x＝18时，y＝﹣10，
∴点E到直线AB的距离为10m；
故答案为：10．
16．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE＝OF；
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴由勾股定理，得BC＝8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即10×OE+4×OE＝4×6，
解得OE＝，
∴⊙O的半径是，
故答案为．
17．（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 （，3） ．
【分析】过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，根据题意可得B（3，），进而可得点B的对应点B'的坐标．
【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB＝∠B＝30°，
∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，
∴AD＝1，BD＝，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴B（3，），
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，
∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，
∴B′坐标为：（，3）．
故答案为：（，3）．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣2）＝8﹣4x．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）原方程变为：
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
（2）原方程变为：
3x（x﹣2）+4（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x+4）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
20．（6分）阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x﹣2的图象关于x轴对称，则这两个函数互为“x函数”．
①若抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，则抛物线C1的解析式： y＝﹣x2+2x﹣3 ．
②若抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，且抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，请求出抛物线C2的解析式，并说明理由．
【分析】（1）根据新定义求抛物线C1的解析式；
（2）根据二次函数的最值求出k，然后求出原抛物线解析式，进而得出抛物线C2的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线C1与抛物线y＝x2﹣2x+3互为“x函数”，
∴抛物线C1的解析式：y＝﹣x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝kx2+4x+k﹣2的最大值为1，
∴＝1，
解得k＝4或k＝﹣1，
∴原抛物线解析式：y＝4x2+4x+2或y＝﹣x2+4x﹣3；
∵抛物线C2与抛物线y＝kx2+4x+k﹣2（k为非零常数）互为“x函数”，
∴抛物线C2的解析式：y＝﹣4x2﹣4x﹣2或y＝x2﹣4x+3．
21．（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）．
（1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
【分析】（1）画出树状图，即可得出结论；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点P（x，y）在⊙O内（x2+y2＜22）的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把记为a，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，分别为（1，0）、（1，1）、（1，）、（2，0）、（2，1）、（2，）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点P（x，y）在⊙O内（x2+y2＜22）的结果有2种，即（1，0）、（1，1），
∴点P（x，y）在⊙O内的概率为＝．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
【分析】（1）连接OD、AD，可证明∠ODA＝∠BAD，则OD∥AB，所以∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线EF为⊙O的切线；
（2）先证明△FDC∽△FAD，得＝，则AF＝＝8，所以2OA＝AC＝6，则OD＝OD＝OA＝3，而OF＝OC+CF＝5，再由OD∥AB，得＝＝，所以DE＝DF＝，则⊙O的半径长为3，ED的长为．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，EF⊥OD，
∴直线EF为⊙O的切线．
（2）解：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠FDC+∠ODC＝90°，∠FAD+∠OCD＝90°，
∴∠FDC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴＝，
∵CF＝2，DF＝4，
∴AF＝＝＝8，
∴2OA＝AC＝AF﹣CF＝8﹣2＝6，
∴OD＝OD＝OA＝3，
∴OF＝OC+CF＝3+2＝5，
∵OD∥AB，
∴＝＝，
∴DE＝DF＝×4＝，
∴⊙O的半径长为3，ED的长为．
四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知a、b为非零常数，a•b≠1，满足2a2+4a+1＝0，b2+4b+2＝0，则＝ 20 ．
【分析】先把2a2+4a+1＝0变形为（）2+4•+2＝0，则可把和a看作方程x2+4x+2＝0的两根，根据根与系数的关系得到+b＝﹣4，•b＝﹣2，然后把原式变形为原式（a+）2﹣2a•，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵2a2+4a+1＝0，
∴（）2+4•+2＝0，
∵b2+4b+2＝0，ab≠1，
∴和a可看作方程x2+4x+2＝0的两根，
∴+b＝﹣4，•b＝﹣2，
∴原式＝a2+＝（a+）2﹣2a•＝（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝20．
故答案为：20．
24．（5分）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最小值为 ．
【分析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝2，
∵AD＝1，
∴2﹣1≤DT≤2+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
∴BE＝DT，
∴≤BE≤，
∴线段BE的最小值为．
故答案为：．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25．（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 30﹣3x 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【分析】（1）根据题中条件即可求出BC的长；
（2）先根据题中条件算出x的取值范围，根据题意列出方程，解出方程的解即可；
（3）设面积为S，写出S的函数表达式，配成顶点式，根据x取值范围即可求出最大值．
【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），
∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，
故答案为：30﹣3x；
（2）∵墙最大可用长度为12米，
∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，
解得：6≤x＜，
根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，
解得：x1＝3（舍），x2＝7，
∴x的值为7；
（3）设矩形的面积为S平方米，
则S＝x（30﹣3x）
＝﹣3x2+30x
＝﹣3（x﹣5）2+75，
∵﹣3＜0，且6≤x＜，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，
答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，根据题意完成下列问题：
（1）如图①，点D为△ABC内的点，连接CD，AD，BD将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，连接DE，BE，若AC＝2，CD＝1，AD＝，求证：CD∥BE．
（2）如图②，若点E是△ABC中斜边AB上的点（点E不与点A、B重合），试求试求BE2、AE2、CE2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根据旋转的性质得到CD＝CE，∠DCE＝90°，求得∠CED＝∠CDE＝45°，根据全等三角形的性质得到∠CEB＝∠ADC＝90°，求得∠BED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到CD∥BE；
（2）根据旋转的性质得到CE＝CF，∠ECF＝90°，求得∠A＝∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到BF＝AE，∠CBF＝∠A＝45°，根据勾股定理得到结论．
【解答】（1）证明：AC＝2，CD＝1，AD＝，
∴CD2+AD2＝1+3＝4＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∵将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴∠BED＝45°，
∴∠BED＝∠CDE，
∴CD∥BE；
（2）解：2CE2＝BE2+AE2，
理由：将CE绕着点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，BF，
则CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴BF＝AE，∠CBF＝∠A＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2＝BE2+BF2，
∴2CE2＝BE2+AE2．
27．（10分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作⊙O的切线交PA于D点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
【分析】（1）连接OC，可证明∠OCA＝∠PAC，则AP∥OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠CDP＝∠OCD＝90°，所以CD⊥PA；
（2）连接CE、CB，由＝tan∠EAC＝tan∠DAC＝＝2，得EC＝2AC，则AC2+（2AC）2＝202，得AC＝4，由AD2+（2AD）2＝（4）2，得AD＝4，CD＝8，再证明∠DCB＝∠CAE，则＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝＝2，所以BD＝2CD＝16，则AB＝BD﹣AD＝12．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠EAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC＝∠EAC，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴AP∥OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠CDP＝∠OCD＝90°，
∴CD⊥PA．
（2）解：连接CE、CB，
∵AE是⊙O的直径，且AE＝20，
∴∠ACE＝∠ADC＝90°，
∵CD＝2AD，∠EAC＝∠DAC，
∴＝tan∠EAC＝tan∠DAC＝＝2，
∴EC＝2AC，
∵AC2+EC2＝AE2，
∴AC2+（2AC）2＝202，
∴AC＝4，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+（2AD）2＝（4）2，
∴AD＝4，CD＝8，
∵∠DCB+∠B＝90°，∠CAE+∠E＝90°，且∠B＝∠E，
∴∠DCB＝∠CAE，
∴＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝＝2，
∴BD＝2CD＝16，
∴AB＝BD﹣AD＝16﹣4＝12，
∴线段AC长为4、线段AB的长为12．
28．（10分）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB＝∠ABC，求点P的坐标；
（3）若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）OA＝OB，则∠ABC＝45°＝∠PCB，得到治安PC的表达式，进而求解；
（3）当AB是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，即可求解；当AD（AE）是平行四边形的对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝1，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3①；
（2）如下图：
∵OA＝OB＝3，
∴∠ABC＝45°＝∠PCB，
则设直线PC的表达式为：y＝x+t，
将点C的坐标代入上式并解得：t＝1，
则直线PC的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②得：﹣x2﹣2x+3＝x﹣1，
解得：x＝1（舍去）或﹣4，
则点P（﹣4，﹣5）；
（3）存在，理由：
设点E的坐标为：（x，﹣x2﹣2x+3），
当AB是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝0（舍去）或﹣2，
即点E（﹣2，3）；
当AD是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝0（舍去）或﹣2，
即点E（﹣2，3）；
当AE是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：0＝﹣x2﹣2x+3+3，
解得：x＝﹣1，
即点E（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；
综上，点E的坐标为：（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
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