湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022—2023学年九年级数学二调模拟卷（含答案）

这是一份湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022—2023学年九年级数学二调模拟卷（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市华中科技大学附中中考数学二调模拟试卷
一、单选题
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．布袋里有1个红球、2个白球，从中同时摸出2个，下列事件中必然事件是（　　）
A．至少摸出1个白球 B．摸出1个红球，1个白球
C．摸出2个红球 D．摸出2个白球
3．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝﹣5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5
5．若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
7．将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知（1，y1）、（﹣2，y2）、（﹣4，y3）都是抛物线y＝﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
9．如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设a＝1，则b的值为（　　）


A． B． C． D．
10．如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．点P（﹣4，3）关于坐标原点对称的点P'的坐标为 　 　．
12．有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为20%，则红桃大约有 　 　张．
13．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 　 　米．

14．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5，则关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解是 　 　．
15．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为　 　cm．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 　 　．

三、解答题
17．关于x的方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
18．如图，在△ABC中，AB＝20，BC＝36，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．

19．一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 　 　；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．

21．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中画的中点D；
（2）在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．

22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为9米，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）直接写出此抛物线的解析式；
（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF．
①如果限定矩形的长CD为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？
②若点E，F都在抛物线上，设L＝EF+DE+CF，当L的值最大时，求矩形CDEF的高．

23．如图1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．

【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；
【深步探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D．当点P运动到PD⊥CQ时，若，求PB的长；
【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，则CD长为 　 　．



24．抛物线C1：y＝x2+6x+5交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称．
（1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式；
（2）已知抛物线C1经过点（m，n），将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值；
（3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为﹣6．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式．


2023年湖北省武汉市华中科技大学附中中考数学二调模拟试卷
（参考答案与详解）
一、单选题
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
2．布袋里有1个红球、2个白球，从中同时摸出2个，下列事件中必然事件是（　　）
A．至少摸出1个白球 B．摸出1个红球，1个白球
C．摸出2个红球 D．摸出2个白球
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．根据定义解答．
【解答】解：A、至少摸出1个白球，是必然事件；
C、是不可能事件．
B、D是随机事件；
故选：A．
3．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【分析】根据⊙O的半径为3，圆心O到直线AB的距离为5得d＝5，可得r＜d，即可得．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线AB的距离为5，
∴r＝3，d＝5，
∴r＜d，
∴直线AB与⊙O相离，
故选：C．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝﹣5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5
【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x+9＝4+9，
（x﹣3）2＝13．
故选：C．
5．若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；
可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+1）2+3，
故选：D．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2+x1+x2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，
根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x1x2+x1+x2＝﹣2+3＝1．
故选：B．
7．将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：由题意，列表如下：

A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D
共有16种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同字母的结果有12种，
所以小青和小云抽中不同字母的概率为＝，
故选：C．
8．已知（1，y1）、（﹣2，y2）、（﹣4，y3）都是抛物线y＝﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
【分析】此题可以先求得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x取1、﹣2、﹣4时，x取1时所对应的点离对称轴最远，x取1时所对应的点在对称轴上，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0），
∴﹣2a＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取1时所对应的点离对称轴最远，x取﹣2时所对应的点在对称轴上，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
9．如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设a＝1，则b的值为（　　）


A． B． C． D．
【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b）2＝b（a+b+b），解方程即可求得结论．
【解答】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则（a+b）2＝b（a+b+b），即a2﹣b2+ab＝0，
∵ab≠0，
∴，
解得：，
∵＞0，
∴，
∴当a＝1时，，
故选：B．
10．如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到AB＝AC＝BC＝8，则可判断△ABC为等边三角形，则CH＝4，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC＝，再利用圆与圆相切的性质得到⊙O的半径OE＝OC+CE＝+1，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．
【解答】解：如图，OH为BC边的高，

∵所有小圆相切，
∴AB＝AC＝BC＝8，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠OCB＝30°
∵OH⊥BC，
∴CH＝4，
∴OH＝CH＝，
∴OC＝2OH＝，
∵⊙C与⊙O相切，
∴⊙O的半径OE＝OC+CE＝+1，
∴阴影部分的面积＝π×（+1）2﹣15×π×12＝π，
故选：A．
二、填空题
11．点P（﹣4，3）关于坐标原点对称的点P'的坐标为 　（4，﹣3）　．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（﹣4，3）关于坐标原点对称的点P'的坐标为（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
12．有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为20%，则红桃大约有 　5　张．
【分析】利用概率是频率的稳定值，得到抽到红桃的概率是20%，利用概率公式进行求解即可．
【解答】解：由题意得：抽到红桃的概率为20%，
∴红桃有：25×20%＝5（张）；
故答案为：5．
13．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 　26　米．

【分析】设圆的半径为R米，由于CD平分弧AB，且CD⊥AB，根据垂径定理的推论得到圆心O在CD的延长线上，再根据垂径定理得到CD平分AB，则AC＝AB＝24，在Rt△OAC中，利用勾股定理可计算出半径R．
【解答】解：如图，设圆的半径为R米，

∵CD平分弧AB，且CD⊥AB，
∴圆心O在CD的延长线上，
∴CD平分AB，
∴AC＝AB＝24，
连接OA，在Rt△OAC中，AC＝24，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣16，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣16）2+242，
解得R＝26，
即拱桥所在圆的半径26米．
故答案为：26．
14．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5，则关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解是 　﹣1和1　．
【分析】由关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5，可得出关于（y2+4）的一元二次方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的两个实数根分别为3和5，进而可得出y2+4＝3或y2+4＝5，解之即可得出关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和5，
∴关于（y2+4）的一元二次方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的两个实数根分别为3和5，
即y2+4＝3或y2+4＝5，
∵关于y的一元二次方程y2+4＝3没有实数根，关于y的一元二次方程y2+4＝5的实数根为﹣1和1，
∴关于y的方程（y2+4）2+b（y2+4）+c＝0的解是﹣1和1．
故答案为：﹣1和1．
15．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为　4　cm．

【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故答案为：4．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 　②③④　．

【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断③；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，③正确；
若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，
则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题
17．关于x的方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣1）＝0，再解关于m的方程得到m的值，然后解原方程．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣1）＝0，
解得m＝，
此时方程为x2﹣3x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得x1＝x2＝．
18．如图，在△ABC中，AB＝20，BC＝36，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．

【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，可证△ABD是等边三角形，可得AB＝AD＝BD＝20，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD＝AB，
又∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝20，
∴CD＝BC﹣BD＝16．
19．一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 　　；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为9种，
所以组成的两位数是奇数的概率为＝．

20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．

【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得CD的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得AF的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：（1）连接OC；
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE＝CF，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠3．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥ED，AB＝10，BD＝3，
∴OB＝OC＝5．
CD＝＝，
∵，
即，
∴CF＝，
∴OF＝＝，
∴AF＝OA+OF＝5+，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE＝CF，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF＝．

21．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中画的中点D；
（2）在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．

【分析】（1）取BC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点D，点D即为所求；
（2）作出的中点E，连接BE即可；
（3）①利用等腰直角三角形的性质判断即可；
②取格点T，连接CT，延长BP交⊙O于点K，作直径KJ，连接BJ，延长BJ交CT 点Q，线段BQ即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）如图1中，点E即为所求；
（3）①∵△BCF是等腰直角三角形，
∴∠F＝45°；
②如图2中，线段BQ即为所求．

22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为9米，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）直接写出此抛物线的解析式；
（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF．
①如果限定矩形的长CD为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？
②若点E，F都在抛物线上，设L＝EF+DE+CF，当L的值最大时，求矩形CDEF的高．

【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+9（a≠0）．把已知坐标（9，0）代入解析式求得a＝﹣，故抛物线的解析式为y＝﹣x2+9；
（2）已知CD＝12，把已知坐标代入函数关系式可求解；
（3）设DM＝a米，可得EF＝CD＝2DM＝2a米、DE＝FC＝﹣a2+9，根据L＝EF+DE+CF求得L的值最大时a的值，代入DE＝﹣a2+9可得．
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y＝ax2+9，
将点B（9，0）代入，得：81a+9＝0，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）当x＝6时，y＝﹣×36+9＝5，
∴矩形的高DE不能超过5米，才能使船通过拱桥；
（3）设DM＝a米，则EF＝CD＝2DM＝2a米，
当x＝a时，y＝﹣a2+9，
∴DE＝FC＝﹣a2+9，
则L＝2a+2（﹣a2+9）＝﹣a2+2a+18＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，L取得最大值，
∴当a＝时，矩形CDEF的高DE＝FC＝﹣a2+9＝﹣×+9＝（米），
∴矩形CDEF的高是米．
23．如图1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．

【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；
【深步探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D．当点P运动到PD⊥CQ时，若，求PB的长；
【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，则CD长为 　　．



【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ；
（2）连接PQ，BQ，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，可得△CPQ是等边三角形，根据PD⊥CQ，可知DP是CQ的垂直平分线，BC＝BQ，证明△ACP≌△BCQ（SAS），得AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，即得AC＝BC＝BQ＝AP＝，可得CP＝＝2，在Rt△CDP中，CD＝CP＝1，PD＝CD＝，由∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，可得∠CBD＝45°＝∠BCQ，故BD＝CD＝1，从而PB＝PD﹣BD＝﹣1；
（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE，由△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，可得CE＝AC＝，∠ACE＝45°，又∠ACB＝45°，知∠BCE＝90°，BE＝＝，证明△ABE≌△ADC（SAS），即得BE＝CD＝．
【解答】解：（1）AP＝BQ，理由如下：

在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）连接PQ，BQ，如图：

由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∵PD⊥CQ，
∴CD＝DQ，
∴DP是CQ的垂直平分线，
∴BC＝BQ，
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∵CP＝CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∴AC＝BC＝BQ＝AP＝，
∵∠CAP＝90°，
∴CP＝＝2，
在Rt△CDP中，∠CPD＝90°﹣∠PCQ＝30°，
∴CD＝CP＝1，PD＝CD＝，
∵∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，
∴∠BCQ＝45°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝45°＝∠BCQ，
∴BD＝CD＝1，
∴PB＝PD﹣BD＝﹣1；
（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE，如图：

∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，
∴CE＝AC＝，∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∵AB＝AD，AE＝AC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∴CD＝，
故答案为：．
24．抛物线C1：y＝x2+6x+5交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称．
（1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式；
（2）已知抛物线C1经过点（m，n），将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值；
（3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为﹣6．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式．

【分析】（1）将x＝0代入y＝x2+6x+5，求出点M的坐标，将（﹣x，y）代入y＝x2+6x+5求出C2的函数关系式；
（2）先求出点（m，n）平移后的点的坐标，再分别将这两点代入两个二次函数关系中，再求出m，n的值；
（3）设直线l1的函数关系式为y＝kx+b，求出它与二次函数只有一个交点时的关系式，再设平移直线l1后的函数关系式为：y＝6x﹣31+t，再与二次函数联立方程组，运用根与系数关系解决．
【解答】解：在函数y＝x2+6x+5中，令x＝0，得y＝5，
∴M （0，5），
∵抛物线C1：y＝x2+6x+5与抛物线C2关于y轴对称，
∴将（﹣x，y）代入y＝x2+6x+5得：
y＝x2﹣6x+5，
∴物线C2的解析式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）∵将点（m，n）向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标为（m+3，n+3），且点（m，n）在C1上，（m+3，n+3）在C2上，
∴，
∴m2+6m+5＝（m+3）2﹣6（m+3）+5﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝4﹣12+5＝﹣3，
∴m＝﹣2，n＝﹣3；
（3）∵点A在抛物线C1上横坐标为﹣6，
∴将x＝﹣6代入y＝x2+6x+5得：y＝5，
∴A（﹣6，5），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴B（6，5），
设直线l1的函数关系式为y＝kxtb，将B（6，5）代入得，
6k+b＝5，得：b＝5﹣6k，
∴直线l1的函数关系式为：y＝kx+5﹣6k，
∵直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，
∴kx+5﹣6k＝x2﹣6x+5，
即x2﹣（k+6）x+6k＝0中Δ＝0，
∴[﹣（k+6）]2﹣4×6k＝0，
解得：k＝6，
∴直线l1的函数关系式为y＝6x﹣31，
设平移直线，l1后的函数关系式为：y＝6x﹣31+t，
∵C，D两点在直线l1上，
∴设C（x1，6x1﹣31+t），D（x2，6x2﹣31+t），
∵直线CH过M（0，5），
∴设直线CH函数关系式为：y＝px+5，将C（x1，6x1﹣31+t）代入得：
p＝，
∵直线CH过M（0，5），
∴设直线MD的函数关系式为y＝qx+5，将D（x2，6x2﹣31+t）代入得：
q＝，
∵平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，
∴6x﹣31+t＝x2﹣6x+5，
整理得：x2﹣12x+36﹣t＝0，
∴x1+x﹣2＝12，x1x2＝36﹣t，
∴p+q＝+＝，
将x1+x2＝12，x1x2＝36﹣t代入得：
p+q＝＝0，
∴直线CH与直线DM关于y轴对称，
∴点H与点E关于y轴对称，
∴e+h＝0．