2022浙北G2联盟（湖州中学、嘉兴一中）高二下学期期中联考试题数学含解析

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得.
【详解】已知集合，，则.
故选：A.
2. 若幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，即可求得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：C.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由绝对值三角不等式得到，从而得到“”是“”的必要不充分条件.
【详解】由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C相互独立
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判
断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.
【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：D
5. 随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（ ）
附：．
A. 0.6827B. 0.84135C. 0.97725D. 0.9545
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．
详解】由题意，，，所以，
，所以，
．
故选：B．
6. 如图．5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形．将其中两个圆盘染上红色．三个圆盘染上蓝色．并规定：若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致．则认为这两者是同一种染色方法．则不同的染色方法共有（ ）
A. 2种B. 3种C. 6种D. 10种
【答案】B
【解析】
【分析】分三类：中心染蓝色，周围两相邻染红色或不相邻染红色(两类)，中心染红色(一类)，结合题意即可确定染色方法数.
【详解】第一种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘相邻；
第二种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘不相邻；
第三种：中心圆盘染红色，周围圆盘中有一个染红色．
故选：B．
7. 设函数（a，，且），则函数的奇偶性（ ）
A. 与a无关，且与b无关B. 与a有关，且与b有关
C. 与a有关，且与b无关D. 与a无关，且与b有关
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，及奇偶性定义判断参数满足的条件.
【详解】由函数，
令，即，
方程的一个根为，要保证函数定义域关于原点对称，
需另一个根为，即，解得
，即函数的定义域为
当时，，为奇函数；
当时，函数为非奇非偶函数
所以函数的奇偶性与无关，但与有关
故选：D
8. 设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.
【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，
又时，值域为；时，值域为，
所以的值域为时有两个解，
令，则，
若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，
要使也一一对应，则，，任意，即，
因为，
所以不等式等价于，即，
因为，所以，所以，又，
所以正实数的取值范围为.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则
B. 若满足，则不是单调递增函数
C. 函数的单调减区间为
D. 若满足对任意，，则关于点对称
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的性质逐项分析即可.
【详解】解：对于A，若，显然为奇函数，但，故A错误；
对于B，单调递增函数，的值必定随x的增大而增大，故当时，不是单调递增函数，故B正确；
对于C，，由函数图像可知，函数的单调减区间为 ，单调区间之间不能用并集符号连接，故C错误；
对于D，由可知，，可知关于点对称，故D正确.
故选：BD
10. 已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由分布列的性质得，，，根据随机变量的期望、方差公式，以及基本不等式逐一判断可得选项.
【详解】解：由分布列的性质得，，，
当，时，，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为m，n均为正数，所以，即，当且仅当时，等号成立，故选项C正确；
由，得.又，所以，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用待定系数法可求得，根据复数的模长公式，乘法运算以及几何意义即可得结果.
【详解】设，，
所以为实数，即；
所以，即，所以，故A正确；
所以，故B错误；
所以，故C正确；
复数对应的点为在第三象限，所以，解得，故D正确，
故选：ACD.
12. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. 多项式展开式中的系数为52
C. 若，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求的系数后可得知答案，对于C，运用赋值法可求解，对于D，分成两类组合式可证明.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，的展开式的通项为，要求的系数，，
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在；
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在.
故多项式展开式中的系数为，故B不正确；
对于C，展开式的通项为，可知，，
所以，
所以令，有，
因此.
故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．
【答案】17
【解析】
【分析】根据回归直线必过样本点中心即可解出．
【详解】因为，，所以
，解得．
故答案为：17．
14. 对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．
【答案】74%
【解析】
【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，
所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.
故答案为：.
15. 已知，，满足，则的最小值是______．
【答案】.
【解析】
【分析】由已知得，进而，利用基本不等式计算即可.
【详解】由，得，
所以.
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
16. 若在内无零点，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，求得，结合函数的奇偶性和，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）得到，把不等式，转化为在区间有解，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设，则，可得，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，
且当时，可得，适合上式，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由时，，
又由，即，可得，
因，，即在区间有解，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，
所以，即实数的取值范围.
18. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得结果
（2）根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【小问1详解】
由角的终边过点，得，
.
【小问2详解】
由角的终边过点，得，，
由，得.
由，得，
分别代入得，或.
19. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：μg/m3），得到如下所示的2×2列联表：
附：
（1）求该市一天空气中PM2.5浓度不超过75μg/m3，且浓度不超过150μg/m3的概率估计值
（2）计算（精确到小数点后三位），并判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
【答案】（1）0.64；
（2）7.484，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
【解析】
【分析】(1)将列联表补充完整，根据频率与频数的关系，结合列联表即可得出结果；
(2)根据卡方的计算公式求出，对照临界值表，结合独立性检验的思想即可得出结论.
【小问1详解】
补充完整列联表如下：
该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，
且浓度不超过的概率估计值为；
【小问2详解】
由(1)中的列联表知，
，
根据临界值表可知，，
有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关.
20. 在如图所示的多面体ABCDFE中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，，AF⊥AB，AB=BE=2AF=2，平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥平面ACF；
（2）若二面角为30°，求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再根据菱形的性质得到，即可得证；
（2）设，如图建立空间直角坐标系，设，，表示出点的坐标，求出平面与的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，即可求出，最后利用向量法求出线面角的正弦值；
【小问1详解】
证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，平面ABEF，
平面平面ABCD=AB，∴平面，又平面ABCD，∴，
∵四边形ABCD为菱形，∴，又，平面，所以平面．
【小问2详解】
解：设，以O为原点，OC，OB为x，y轴建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
，，平面的一个法向量，
设平面的法向量，，，
则，∴，取，则
由二面角为30°，可得，
∴，
解得，因为，所以，所以，即，
∴，，，，
，，
设平面CEF的法向量，
则，即，取，可得，
∴直线AC与平面CEF所成角的正弦值为．
21. 2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
（2）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】（1）分布列见解析，期望为3.6；
（2）当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
【解析】
【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；
（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．
【小问1详解】
时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
；
【小问2详解】
由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
22. 设函数(a,);
(1)若,求证:函数的图像必过定点;
(2)若,证明:在区间上的最大值;
(3)存在实数a,使得当时,恒成立,求实数b的最大值;
【答案】(1)证明见解析;(2) 证明见解析;(3)5;
【解析】
【分析】（1）由题可得代入解析式中,整理后即可得证；
（2）由题先将代入解析式中,由对称轴与区间位置,分别讨论,,的情况,进而求证即可；
（3）由对称轴与区间的位置,分别讨论,,的情况,利用不等式的传递性,进而求解即可
【详解】（1）证明:由,则,所以,
则当时,无论为何值,都有,
所以函数的图像必过定点
（2）证明：因为,所以,
所以,
因为,,
令则,
所以当时,；当时,,
当,即时,在上为增函数,则,
此时在的最大值为；
当,即时,在上为减函数,所以,
此时在的最大值；
当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值为；
①当,即时,在上的最大值为,
因为,设,
所以,
此时在的最大值；
②当,即时,在上的最大值为,
因为,,
所以此时在的最大值；
综上,,故
（3）当,即时,在上单调递增,
所以,由可得,则,解得；
当,即时,在在上单调递减,
所以,由可得,则,解集为；
当,即时,在单调递减,在单调递增,
所以,
由和可得,即,则,
所以,与联立可得,
即,解得,
当时,由可得,此时满足所列不等式,
综上所述,的最大值为5,此时
【点睛】本题考查函数图像恒过定点问题,考查分类讨论法处理二次函数最值问题,考查不等式性质的应用,考查分类讨论思想和运算能力
X
0
1
2
P
m
n
m
X
1
4
9
16
25
Y
2
a
36
93
142

PM2.5
64
16
10
10
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

PM2.5
[0,150]
(150,475]
合计
[0,75]
64
16
80
(75,115]
10
10
20
合计
74
26
100
心理价位（元/件）
90
100
110
120
人数
10
20
50
20
0
1
2
3
4