2022浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二下学期期中联考数学试题含解析

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一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的概念运算可得结果.
【详解】因为集合，
所以.
故选：A
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率
设其倾斜角为，故可得，又，故.
故选：C.
3. 若直线，且平面，则直线b与平面的位置关系是（ ）
A. B. C. 或D. b与相交或或都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
作图观察即得解.
【详解】如图所示，
所以b与相交或或都有可能，
故选：D
【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
4. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件先求出基本事件总数，利用列举法求出能使这三个数之和等于15包含的基本事件个数，再利用古典概型即可求出概率.
【详解】从个阳数中随机抽取个数，基本事件总数为种取法，
能使这三个数之和等于15的基本事件有：，共2种，
能使得这三个数之和等于15的概率：；
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由时的函数值排除两个选项，再由导数确定附近的单调性排除一个，得正确选项．
【详解】时，，排除AC，
，时，，函数递增，排除B．
故选：D．
6. 若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，计算出点到直线的距离，由抛物线的定义可得，利用当、、三点共线可求得的最小值.
【详解】如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，
抛物线的准线为，焦点为，
点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.
故选：A.
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )里.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知,每天走的路程里数构成以公比的等比数列,由求得首项,可计算: 及，即可求得答案.
【详解】设每天走的路程里数为,则是公比为的等比数列,
由得
解得:
所以
后四天走的路程:,前两天走的路程:，
又，且，∴，
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故选:A.
【点睛】本题考了等比数列在实际中的应用,解题关键是掌握等比数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
8. 如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A. πB. πC. πD. 3π
【答案】A
【解析】
【分析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由此能求出球O的表面积．
【详解】解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O半径R＝|OA|，
由题意知BD，AD，DE，AE，
连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，
∴OA2＝OE2+AE2，
∴球O的表面积为S＝4πR2．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的外接球、球的表面积公式，解题的关键是作出外接球的球心，需熟记公式，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.
二､多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知复数满足(是虚数单位)，以下命题正确的是( )
A. B. 的虚部为
C. 复平面上对应的点在第四象限D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则求出z，根据复数的基本概念逐项判断即可．
【详解】，
则，故A正确；
∵z＝1－i，∴z的虚部为－1，故B错误；
z对应的点(1，－1)在第四象限，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数在原点处的切线方程是
B. 是函数的极大值点
C. 函数在上有3个极值点
D. 函数在上有3个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由导数的几何意义求出切线方程判断A，由导数确定函数的单调性，极值点判断B，由的性质判断其与函数的图象的交点个数判断D．利用导数确定极值点个数判断C．
【详解】，，又，所以切线方程是，即，A正确；
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，因此是极大值点，B正确；
显然1是极小值点，，，时，，时，，，，
，在上递增，在和上递减，
因此与的图象有3个交点，即有3个零点，D正确；
设，，
令，则，
设，则恒成立，
所以，即是增函数，而，
所以时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
，易知，所以存在两个零点，由的单调性知这两个零点就是的两个极值点，C错．
故选：ABD．
11. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用已知可以求出函数的周期，然后把位置区间的函数值转化到已知区间上，再根据函数的单调性进行判断.
【详解】满足，
所以函数是以为周期的函数，又是定义在上的奇函数
则，，
又在区间上单调递增，
即：，，
故选：AC.
12. 已知正方体棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（ ）
A. 当为线段中点时，S为等腰梯形
B. 当时，S与的交点满足
C. 当时，S为六边形
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过空间想象结合图形可判断AC；建立空间直角坐标系，利用向量共面可得G点坐标，可判断B；根据三棱锥与三棱锥等体积，结合图形可知.
【详解】A中，当为线段中点时，易知，
所以，截面S为梯形，A正确；
如图建立空间直角坐标系，则，设，
因为四点共面，所以共面，
所以存在x，y使得
即，即，
解得，所以，B正确，
如图，当时，设，
在平面内作，交于点H，在平面作，交于点G，
则
由得，得
所以，A、E、F、G、H五点共面，即截面为五边形AEFGH，故C错误；
由图知，，D正确.
故选：ABD
三､填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知向量，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示计算．
【详解】由题意，．
故答案为：．
14. 某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后，分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.则参赛学生的成绩的中位数是___________．
【答案】65
【解析】
【分析】根据频率分布直方图求出每一组频率，判断中位数在哪一组，再根据中位数左边小矩形面积和右边小矩形面积均为0.5即可求出中位数．
【详解】频率分布直方图第一组频率为0.3，第二组频率为0.4，
∵0.3＜0.5，0.3＋0.4＞0.5，
∴中位数在60到70之间，设中位数为x，
则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65．
故答案为：65．
15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
设出关于直线的对称点为，求出，由，结合即可求解.
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得，，所以
因为直线PF与直线互相垂直，
则，即，
又，所以，
解得.
故答案为：2
16. 对，表示不超过的最大整数，如，，若数列满足，，，记数列的前项和为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】推导出，利用裂项法可求得，利用数列的单调性推导出，求出的范围，即可得解.
【详解】因为，所以，，则，
所以，，
则
，
因为，则，则，
因为，，，，
因为二次函数在上为增函数，
则，，
所以，，故，即.
故答案为：.
四､解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在△中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，整理化简即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，解得，在三角形中由余弦定理求得，再根据三角形面积公式即可求得结果.
【小问1详解】
在△ABC中，由正弦定理，得，
∵，∴，∵，∴.
【小问2详解】
∵，且，∴，
在△ACD中，由余弦定理得，
解得，或，
所以△ACD的面积为，
故或.
18. 已知圆，点分别在轴和圆上.
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求的最小值.
【答案】（1）外离； （2）﹒
【解析】
【分析】(1)判断两圆圆心距和两圆半径之和及半径之差的关系即可判断两圆的位置关系；
(2)根据圆的性质可知，作关于(1，2)关于x轴的对称点，则，据此即可求得答案．
【小问1详解】
圆的圆心为(1，2)，半径为1，圆的圆心为(3，4)，半径为，
∵，∴两圆外离；
【小问2详解】
，
作(1，2)关于x轴的对称点，
则当、P、三点共线时，所求最小值为．
19. 已知三棱锥中，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作于，连接EB，证明CB⊥面DEB，可得线线垂直；
（2）过点E作交于，以EF，EB，ED为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．
【小问1详解】
证明：作于，连接EB，由已知平面ACD⊥平面ABC，
DE面ACD，面ACD面，∴面ABC，面ABC，∴，
，，所以，，，
在△BCE中，由余弦定理得，，∴，
又，平面，
∴CB⊥面DEB，而平面．∴
【小问2详解】
过点E作交于，则F为AB的中点，由（1）EF，EB，ED两两垂直，
以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则E（0，0，0），B（0，1，0），C（－1，1，0）
A（1，－1，0），D（0，0），，，.
设平面DAB的法向量为
，则，即，取，则，
设所求角为，则，
所以CB与平面DAB所成角的正弦值为．
20. 已知数列中，，点在直线上.
（1）求数列的通项公式及其前项的和；
（2）设，证明：.
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合前项和公式，即可求得结果；
（2）利用错位相减法求得的前项和，再证明即可.
【小问1详解】
因为点在直线上，所以，又，
故数列{}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，.
【小问2详解】
由题可知，记，
所以①
①，得②
①②，得，
故，又，故，即证.
21. 已知椭圆的左右焦点为，且为长轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）分别过作斜率为的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，且.求证：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】
【分析】（1）由已知易得，从而可得椭圆的方程；
（2）直线、分别与椭圆联立求出弦长，再根据目标及条件计算可得结果.
【小问1详解】
由已知，，所以，
因此椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设A（，），B（，），C（，），D（，）
直线，联立方程
得，
∴，，
，
联立方程得，
同理可得，
由已知，化简得定值.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，记的两个极值点分别为的最大值与最小值分别为，求的值.
【答案】（1）单调增区间，单调减区间是和；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，利用导数的正负即可求得函数的单调区间；
（2）根据是的两个根，利用根于系数的关系，结合的取值范围，令，将转化为关于的函数，再利用导数求其最大值和最小值即可求得结果.
【小问1详解】
的定义域为，故
当时，则，当时，则或，
所以的单调增区间是，单调减区间是和
【小问2详解】
所以是的两个根，则，
故可得，，且，
不妨设，则，，
令，
则t为关于a的减函数，而，所以得
所以，
令，则，且，
而，则，
即在上是单调增函数，
在上，，所以，即在上是减函数，
即在上也是减函数，从而.