2022宁波三锋教研联盟高二下学期期中联考数学试题含解析
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2021学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，然后直接验证答案可得.
【详解】
因为，，
，
所以ACD错误，B正确.
故选：B
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】A
【解析】
分析】化简得出，即可求出最小正周期.
【详解】，
最小正周期
故选：A.
3. 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设 ， ，曲线在点处的切线方程为 化为，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
4. 宁波某高中某次高二年级测试，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且，该校有500人参加此次测试，估计该校数学成绩不低于96分的学生人数为（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再由对称性得，再求人数即可.
【详解】由题意知：，，
则学生人数为人.
故选：C.
5. 已知是第四象限角，且，（ ）
A. 7 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出、，再由两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：因为且，所以，
又是第四象限角，所以，所以，
所以；
故选：D
6. 定义在R上的函数的导函数为，且的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.
【详解】由图像知：当时，，当时，，当时，，
则函数在区间上单调递增，A错误，B错误；
函数在区间上单调递减，C错误；函数在单减，在上单增，在处取得极小值，D正确.
故选：D.
7. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，则四名同学所选项目各不相同且只有乙同学选篮球发生的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理可得总的选法，然后特殊元素优先排可得满足题意的选法，再由古典概型概率公式可得.
【详解】四名同学从四种球类项目中选择一项，每人有4种选择，由分步乘法计数原理可得总的选法有种，由于乙同学选篮球，且四名同学所选项目各不相同，所以问题相当于将足球、排球、羽毛球三种球类项目分别分配给甲、丙、丁3位同学，共种，所以所求概率.
故选：B
8. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意在上恒成立，根据二倍角公式得到，令，即，恒成立，参变分离可得，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；
【详解】解：在区间上是增函数，
在上恒成立，
，因为，所以
令，则，即，，
，令，，则，
在上单调递减，，即，
故选：A．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. (多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则（ ）
A. P(AB)＝ B. P(AB)＝
C. P(B)＝ D. P(B)＝
【答案】AC
【解析】
【分析】
【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 是第二象限角 B. 已知，则
C. D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】由终边相同角的性质判断A；由诱导公式判断B；由倍角公式判断C；由弧长公式得出半径，进而得出扇形面积.
【详解】，是第二象限角，则是第二象限角，故A正确；
，，故B错误；
，故C正确；
设扇形的半径为，则，则，故D正确；
故选：ACD
11. 的展开式中（ ）
A. 常数项为8 B. 常数项为16 C. 的系数为32 D. 的系数为40
【答案】BD
【解析】
【分析】由结合二项展开式求解即可.
【详解】，常数项为，A错误，B正确；
含的项为，则的系数为40，C错误，D正确.
故选：BD.
12. 已知函数在（0，+）上的最小值为3，直线l表达式为，则下列结论正确的是（ ）
A. 实数 B. 当时，l是曲线的切线
C. 存在直线l与曲线相切且与有2个公共点 D. 曲线与直线l可能有4个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】对函数进行求导，通过导数判断函数的单调侏得时，取得最小值，进而可判断A;对B，判断方程是否有解；对C，利用导数的几何意义；对D，转化为三次方程的根的个数；
【详解】对A，因为,因为,所以时，取得最小值，所以,所以.故A正确；
对B，设切点为,又因为，所以切线满足斜率,
方程无解，故B错误；
对C，设切点，则，切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，所以，令，，或；，所以在单调递增，在单调递减；，，所以，使得，所以，联立方程与可得：，，令，则，令或，则在单调递增，在单调递减，且，所以在仅有一个零点，故C正确；
对D，方程在上至多有三个根，故D错误；
故选：AC
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取4次，记摸得白球个数为X，若，则___________，____________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】先判断出，再由二项分布的期望方差公式求解即可.
【详解】由题意知：，则，解得；.
故答案为：4；.
14. 设函数的导函数为，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，将代入导函数可得，然后可得.
【详解】因为
所以，整理得
所以
所以.
故答案为：
15. 冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种．
【答案】9
【解析】
【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.
【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有种，按照分步计数原理共有种.
故答案为：9.
16. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的导函数，由条件是函数的唯一极值点，说明在上无解，或有唯一解 ，求实数的取值
【详解】的定义域为
是函数的唯一极值点
是导函数的唯一根
（Ⅰ）在无变号零点
令 ，则 ，即在上单调递增
此时
（Ⅱ）当 在有解 时，此时 ，解得
此时 在 和 上均单调递增，不符合题意
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
（1）求展开式中所有的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数和性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，再写出有理项；
（2）由通项得出展开式中系数最大的项．
【小问1详解】
二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为
由已知得，故，
此时展开式的通项为：，
当时，该项为有理项，故展开式中所有的有理项为，
【小问2详解】
展开式通项为，，故二项式系数最大时系数最大，即第或第项系数最大，即系数最大的项为，；
18. 已知函数
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）2 （2）最大值为3，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先由倍角公式和辅助角公式得到，再代入计算即可；
（2）先求出，再由正弦函数的最值求解即可.
【小问1详解】
，则；
【小问2详解】
由得，则，则，
即在区间上的最大值为3，最小值为.
19. 已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当时，函数在上的最小值为2，求实数a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转换为恒成立问题即在上恒成立，进行求解即可；
（2）求导可得，按照，进行讨论，由单调性求最值即可得解.
【小问1详解】
∵，∴
∵在上是增函数，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
∴.
【小问2详解】
由（1）得，.
①若，在上恒成立，此时在上是增函数.
所以，解得（舍去）.
②若时，在上是减函数，在上是增函数.
所以，解得
综上，
20. 某高中设计了一个生物实验考查方案：考生从5道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过，已知5道备选题中考生甲有3道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
【答案】（1）分布列见解析，期望均为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出甲正确完成的题目为1，2，3，乙正确完成的题目为0，1，2，3，分别计算对应的概率，列出分布列计算期望即可；
（2）直接比较两人完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率即可做出判断.
【小问1详解】
设甲、乙两考生正确完成题数分别为，则，
，则甲考生正确完成题数的概率分布列为：
1 | 2 | 3 | |
数学期望；
易得，，，
则乙考生正确完成题数的概率分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
数学期望；
【小问2详解】
由（1）知：，从期望上看两人水平相当；，，
因为，则甲通过的可能性要大于乙，因此可以判断甲的实验操作能力更强.
21. 某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
（1）求的值，并求高一、高二全体学生中随机抽取1人，该人每天锻炼时间超过40分钟的概率；
（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间小于30分钟的概率；
（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于的人数，求X的数学期望．
注：①计算得标准差；②若，则：，．
【答案】（1），概率为；
（2）0.84； （3）17.065
【解析】
【分析】（1）由频率和为1求出即可，直接由古典概型计算概率即可；
（2）先分别求出在高一、高二学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟的概率，再由对立事件计算至少有一人的锻炼时间小于30分钟的概率即可；
（3）先求出，再由二项分布期望公式求解即可.
【小问1详解】
，解得，
该人每天锻炼时间超过40分钟的概率为；
【小问2详解】
设事件在高一学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟，事件在高二学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟，
事件在高一、高二学生中各随机抽取1人，至少有一人锻炼时间小于30分钟，则，
，则；
【小问3详解】
，又，则，
从而，则，
依题意知：，则.
22. 已知函数，
（1）讨论单调性；
（2）构造函数若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，对a进行讨论，解导数不等式，即可得到函数单调性;
（2）由题意可将原不等式变形为，构造函数，不等式可变为，求导判断函数的单调性，可得，通过分离参数，构造函数即可得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，恒成立，则函数在上单调递增；
当时，时，则：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，定义域为，则，即，
由定义域知：，则不等式可变形，
令，则不等式可变为，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
当时，趋向负无穷时趋向于0；当时恒成立，
由，当时，同时也满足，
当时，因为在上单调递增，只需满足，
综上，原不等式要成立，只需成立，分离参数得在上恒成立，
令，定义域为，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时有最小值，
综上，实数a的取值范围.
【点睛】关键点点睛：分类讨论研究函数的单调性以及利用导数研究函数的恒成立问题，关键是构造新函数,研究新函数的单调性以及分离参数进行解决.
