天津市新华中学2023届高三下学期统练2数学试题及解析

天津市新华中学2023届高三下学期统练2数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设全集，集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知则“存在使得”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（    ）A．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为B．12月份人均用电量为25度C．12月份人均用电量人数最多的一组有400人D．12月份人均用电量不低于20度的有500人4．设，则（    ）A． B． C． D．5．函数，的图像大致为（    ）A． B．C． D．6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ）A． B． C． D．7．若函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，则下列关于函数的说法中，正确的是A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数的单调递增区间为，D．函数是偶函数8．设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ）A． B． C． D．9．已知，函数在R上单调递增，且对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，则实数t的取值范围为（    ）A． B． C． D． 二、填空题10．若复数同时满足，，则__________．11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________． 三、双空题12．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_________；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________. 四、填空题13．已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数________ 五、双空题14．在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．15．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.的最小值为___________. 六、解答题16．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为锐角．(1)求C；(2)若，，△的面积为，求的值．17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，F是PB中点，E为BC上一点．(1)求证：平面PBC；(2)求三棱锥的体积；(3)当BE为何值时，二面角为45°．18．设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知椭圆离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若以BH为直径的圆经过点F，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为，且，求直线l斜率k的取值范围．19．已知数列中，，，，数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)已知，．①求数列前n项和；②证明：．20．已知函数，其中且(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值.
参考答案：1．D【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解【详解】由可得，解得，因为全集，所以，所以故选：D2．A【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在使得时，则； (2)当时，或，，所以，“存在使得”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．B【分析】根据频率分布直方图，先求出这组的频率和的值，可判断A选项；利用每一组的中间值与对应频率乘积然后求和得出12月份人均用电量，可判断B选项；计算得出人均用电人数最多一组的频率和频数，可判断C选项；计算12月份人均用电量不低于20度的频率和频数，可判断D选项；【详解】根据频率分布直方图可得，，解得，这组的频率为，选到的居民用电量在一组的概率为，选项A正确；12月份人均用电量为：度，选项B错误；12月份人均用电量人数最多一组是：有人，选项C正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是：，有人，选项D正确；故选：B4．C【解析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案．【详解】，，即且，即，即故故选：C【点睛】方法点睛：比较实数的大小，一般先把每一个数和零比，再把正数和1比，负数和比较.其中多用到函数的图象和性质.5．A【分析】利用函数的奇偶性及选取特殊值，逐一分析选项即可得答案．【详解】函数的定义域为，易知为偶函数，为奇函数，故函数为奇函数，可排除选项D；又当时，，当时，，可排除选项B、C；故选：A．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊值判断函数图像问题，考查运算求解能力和逻辑推理能力，选取合适的特殊值并判断其函数值符号是求解本题的关键，属于中档题.6．C【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或（舍去），由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为.故选：C.7．D【解析】首先利用函数图象变换规律，求得的解析式，之后结合正弦型函数的有关性质求得结果.【详解】由题意可得，，此时不是函数的最值，所以不是对称轴，所以A错误；，所以不是对称中心，所以B错误；由，解得函数的增区间是，所以C错误； 为偶函数，所以D正确；故选D【点睛】该题考查的是有关函数图象的变换以及三角函数的性质，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是正确解题的关键，属于简单题目.8．A【分析】设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以，由此可求出，而，再由勾股定理可得，而已知，从而可求出的值，即可得到结果.【详解】依题意知，设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以．设双曲线的焦距为，则，解得，由勾股定理可得，于是，，又因为双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则，所以，即抛物线方程为故选:A9．D【分析】先根据分段函数在单调递增列出不等式可求出的取值范围，再根据有且只有一个实数根，转化为值域为，结合可确定的值，画出的图像，利用与直线有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的，进而求出的取值范围.【详解】因为函数在单调递增，则在和都递增，并且在处，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值，可得不等式，解得，又因为有且只有一个实数根可得出值域为，即，解得或，又因为，得，，即.所以，令，解得或 （舍），作出的图像如图，若直线经过点，则，此时函数 与有两个交点，若直线与相切，联立，整理得，，即，此时函数与有两个交点，因为函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，所以，故选：D10．【分析】消去后，根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算法则，属于基础题.11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得的值，然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以，故，即该二项式为设其展开式的通项为，则，当时，即，此时该项为故答案为：28.12．          【解析】第一次检验出次品的概率为，不放回，则第二次检验出次品的概率为；第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品包含两种可能：正次正次，正正次次，分别计算即可.【详解】第一次和第二次都检验出次品的概率为，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正正次次，概率为.故答案为：，【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．13．##0.5【分析】由是正三角形得到圆心点到直线的距离为，从而用点到直线距离公式即可求解.【详解】设圆的半径为，由可得，因为是正三角形，所以点到直线的距离为,即，两边平方得，解得.故答案为: .14．          ．【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出；设用基底表示，求出关于的二次函数，即可求出其最小值.【详解】为的中点，，，，，，，；设，，，时，取得最小值为.故答案为：；.【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.15．     4     【分析】空1先把两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值，（或根据柯西不等式直接求解）；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解.【详解】空1方法一，由得，，，当且时，即时，取得最小值4.空1方法二，由柯西不等式得当时，取得最小值4.故答案为：4.空2，.当取等号.故答案为：．16．(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒变换即可求解；（2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形的三边长，再利用正弦定理求出角，最后利用三角恒等变换即可求解.【详解】（1）由正弦定理得，，即,∵,∴,即,解得,或者，又∵为锐角，∴.（2） ,即，由余弦定理得,，且，即，解得，，由正弦定理得，,解得，∵, ∴, ∴角为锐角，∴,∴,,∴.17．(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）根据锥体体积计算方法，计算出三棱锥的体积.（3）建立空间直角坐标系，设，以二面角的余弦值列方程，从而求得，也即的值.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD．所以,因为ABCD是矩形，所以,因为,平面PAB,面,所以BC⊥平面PAB.因为AF平面PAB，所以.因为，F是PB中点，所以,因为,平面PBC,平面PBC,所以AF⊥平面PBC．（2）因为BC⊥平面PAB，所以.（3）因为PA⊥平面ABCD，所以又，所以以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设，则，所以,设平面的法向量为，则，故可设，平面的法向量为，由于二面角的大小为45°，所以，解得，故.18．(1)(2) 【分析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解方程组，再求出椭圆C的方程；（2）由已知设直线l的方程为，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，由，求出H的坐标，再写出MH所在直线方程，由直线和直线l，解得求得M的坐标，从而得到，由，得到，再求出k的范围即可．【详解】（1）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，所以①，又因为椭圆离心率为，所以②，又③，联立①②③可得，，，所以椭圆C的方程为．（2）设直线的斜率为，则，设，由，得，则，得，则，由（1）知，，设，所以，，因为以BH为直径的圆经过点F，则，所以，所以，解得，所以直线的方程为，设，由，可得，由，则，即，当时，，解得；当时，，解得，所以直线的斜率的取值范围为．19．(1)，(2)①，②证明见解析 【分析】（1）由题设知：的奇、偶数项分别构成公差为4的等差数列，写出其通项公式即可；（2）①应用分组求和及等差数列前n项和公式求，然后裂项求和求；②由，进而可得，应用错位相减及等比数列前n项和公式求即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，是首项为1，公差为4的等差数列，则；当时，是首项为2，公差为4的等差数列，则；所以，.（2）①由（1）知：，所以，故.②，故，所以，则，而，所以，作差得，所以，故得证.20．(1)极大值为，极小值为(2)答案见解析(3) 【分析】（1）求导后，根据正负可得函数单调性，由此可求得极值；（2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调区间；（3）由恒成立可得；当时，不等式恒成立；当时，可知，分离变量可得不等式有解，根据可解不等式求得结果.【详解】（1）当时，，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为，极小值为.（2）由题意得：，定义域为，，令，解得：，；①当时，，则时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，，则当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3），，当时，恒成立，；当时，不等式恒成立；当时，不等式可化为：，令，，是开口方向向下的抛物线，在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又，只需，即，有解，，解得：；的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、讨论含参数函数的单调性、根据函数最值求解参数范围问题；本题根据最值求解参数范围的关键是能够将问题转化为恒能成立问题的求解，进而通过分离变量的方式构造不等关系求得结果.