《简单的轴对称图形》第3课时示范公开课教案【北师大数学七年级下册】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【复习回顾】

教师活动：先提出问题，学生思考后回答问题.

问题1：什么是轴对称图形？

    预设：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

问题2：角是轴对称图形吗？如何验证你的结论？

预设：

角是轴对称图形.

可以作出一个角对折一下看看角的两边是否重合.

【情境引入】

请拿出你作的∠AOB，不利用工具，将它分成两个相等的角.你有什么办法？

预设：对折

教师活动：引导学生按照自己的设想实际操作验证，适时提出问题：

打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？

    预设：折痕平分了∠AOB.

    教师活动：总结并给出结论.

结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.

思考回答问题

思考后动手实操并回答问题.

通过复习回顾，为本节课要学习的内容作准备

   通过具体动手操作理解角是轴对称图形.

环节二

探究新知

【做一做】

(1)在一张纸上任意画出∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.

(2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D、E.将∠AOB再次对折，折痕CD与CE能重合吗？

(3)改变点C的位置，CD和CE还相等吗？

教师活动：指导学生自主动手制作，并观察结论.然后图像演示，给出展示及证明.   

    预设：

(1)重合

(2)相等

教师活动：引导学生将上面问题转化为几何证明问题，并利用全等三角形证明结论成立.

如图， C为∠AOB的角平分线上一点， CD⊥OA，垂足为点D ，CE⊥OB，垂足为点E，求证：CE=CD.

预设：

证明：∵ OC是∠AOB的平分线

  ∴ ∠AOC=∠BOC

  ∵CD⊥OA，CE⊥OB

  ∴∠CDO= ∠CEO

  又∵OC=OC

  ∴ △CDO≌△CEO   (AAS)

  ∴CD=CE.

    【归纳】

定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

几何语言：

∵ OC平分∠AOB，CD⊥OB，CE⊥AO，

∴  CD=CE.

    教师活动：总结强调定理满足条件，引导学生通过下面思考题进行辨析.

通过动手活动寻找问题答案

思考线段相等的原因，并小组讨论寻找证明方法.

跟老师一起归纳定理内容，理解定理的两个关键条件.

通过折纸活动，得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

教学中应让学生经历这一活动过程，并把活动和思考结合起来，以加深对角平分线性质的理解，同时积累数学活动经验.

     通过对角平分线定理的证明，帮助学生理解记忆定理内容. 

环节三

应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 利用尺规，作∠AOB(如下图)的平分线.     

已知：∠AOB，如下图.

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.    

分析：①利用构造全等三角形的方法，先在∠AOB的两边OB和OC上截取相等的线段OD、OE分别作为两个三角形的两边.

②在∠AOB内找到点C，使CD=CE.

③则△COD≌△COE (SSS)，得到∠AOC=∠BOC.

作法：

     1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE．

     2.分别以D，E为圆心．大于的长度为半径作弧．两弧在∠AOB内交于点C．

     3.作射线OC．

OC就是∠AOB的平分线．

   【想一想】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.DE与DC相等吗？为什么？

教师引导学生分析转化，让学生独立完成解答.

分析：

①由BD是∠ABC的平分线想到可以应用角平分线定理.

②DC⊥BC，DE⊥AB，满足角平分线定理的两个条件.

③应用角平分线定理可得DE=DC.

预设解答：

相等，可以由角平分线定理证明.

证明： ∵BD是∠ABC的平分线

  在Rt△ABC中，∠C=90°

  ∴ DC⊥BC

  又∵ DE⊥AB

  ∴ DE=DC.

明确例题的做法

思考并尝试证明

通过解决例题让学生熟悉尺规作角平分线的步骤.注意引导学生利用构造全等三角形的方法作图.

通过想一想中的问题，让学生体会角平分线定理的应用，注意引导学生自主读题并理解题意.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由.    

2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交 BC于点D，DE⊥AB于点E，若 AB=6cm，则△DEB的周长是多少              

3.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是多少？     

参考答案：

1.解：长度最小值为2.

∵ 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

∴ 过P做PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ即为所求.

又∵ OP平分∠MON，PA⊥ON.

∴ PQ=PA=2.

2.解：∵∠C=90°∴AC⊥DC

又∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB

∴ DE=CD，△ACD≌△AED (AAS)

∴ AC=AE

又∵ AC=BC，∴BC=AE

∴ △ DEB的周长=EB+BD+DE=EB+BD+CD                          =EB+BC=EB+AE=AB=6cm.

3.解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线

又∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DF=DE=2，

S△ABC=S△ABD+S△ADC

=AB·DE+AC·DF

∴

解得AC=3.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习巩固新知，加深对角平分线定理的理解和的认识.

考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书 第126页

习题5.5 第2、3题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.