人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀同步练习题，共4页。试卷主要包含了4 空间向量的应用等内容，欢迎下载使用。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量为n＝（6，-3，6），则下列点P中，在平面α内的是（ ）
A.P（2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4）
2．如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是，那么（ ）
A． B． C． D．l与α斜交
3.（多选题）已知A（−4，6，−1），B（4，3，2），O是坐标原点，则下列各向量中是平面AOB的法向量的是（ ）
A.−154,1,9 B. 154,1,−9 C.（−15，4，36） D.（15，4，−36）
4.（多选题）设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n， lα，则使l∥α成立的有（ ）
A. a＝（1，−1，2），n＝（−1，1，−2） B. a＝（2，−1，3），n＝（−1，1，1）
C. a＝（1，1，0），n＝（2，−1，0） D. a＝（1，−2，1），n＝（1，1，1）
5．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，
M在上，且平面．则M点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6.（多选题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，点M，N，P分别为AB，C1D1和CD的中点，
点Q是A1M上的一个动点，下面结论中正确的是（ ）
A. FH与AC1异面且垂直 B. FG与AC1相交且垂直
C. D1Q∥平面EFN D. B1，H，F，P四点共面
7.（多选题）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P
分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ）

A B C D
8．已知平面α经过点，且是α的一个法向量，是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则D1PD1B＝ .
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.求证：
（1）平面A1BD∥平面B1CD1；
（2）MN⊥平面A1BD.

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
证明：（1）BE⊥DC；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面PCD⊥平面PAD.

12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝1，AA1＝3，点D是BC的中点.
（1）求证：A1B∥平面AC1D.
（2） 在棱CC1上是否存在一点M，使B1M⊥平面AC1D？若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，说明理由.


课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
参考答案
1.A 2.B 3.BD 4.BD 5.C 6.ACD 7.ACD 8. 9.15
10. 证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2）.
设平面A1BD的法向量为m＝（x，y，z），
∵DA1＝（2，0，2），DB＝（2，2，0），
且m·DA1=0,m·DB=0,∴ 2x+2z=0,2x+2y=0.
取x＝-1，得y＝1，z＝1，∴ m＝（-1，1，1）.
同理可求得平面B1CD1的一个法向量为n＝（-1，1，1）.
∵ m＝n，∴ m∥n，
∴ 平面A1BD∥平面B1CD1.
（2）∵ M，N分别为AB，B1C的中点，∴ M（2，1，0），N（1，2，1），
∴MN＝（-1，1，1），∴MN∥m，
∴ MN⊥平面A1BD.
11. 证明：以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由E为PC的中点，得E（1，1，1）.
（1）向量BE＝（0，1，1），DC＝（2，0，0），故BE·DC＝0，
∴ BE⊥DC.
（2）∵ PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴ AB⊥PA.
∵ AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴ AB⊥平面PAD.
∴ 向量AB＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量.
而BE·AB＝0，∴BE⊥AB.
又∵ BE平面PAD，∴ BE∥平面PAD.
（3）由（2）知平面PAD的一个法向量为AB＝（1，0，0），
向量PD＝（0，2，-2），DC＝（2，0，0），
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
则&n·DC=2x=0,&n·PD=2y−2z=0.
取y＝1，可得平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，1）.
∵AB·n＝1×0+0×1+0×1＝0，∴ n⊥AB，
∴ 平面PCD⊥平面PAD.
12. （1）证明：以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，3），C1（0，1，3），
D12,12,0，B1（1，0，3）.
所以A1B＝（1，0，-3），AD＝12,12,0，AC1＝（0，1，3）.
设平面AC1D的一个法向量为n＝（x，y，z），
则有n·AD=12x+12y=0,n·AC1=y+3z=0.取z＝1，则x＝3，y＝-3.
所以n＝（3，-3，1）.
所以A1B·n＝1×3+0× （-3）+（-3）×1＝0，所以A1B⊥n.
因为A1B平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.
（2）解：存在.假设在棱CC1上存在一点M，使B1M⊥平面AC1D.
设M（0，1，λ），λ∈［0，3］，则B1M＝（-1，1，λ-3）.
由（1）知，平面AC1D的一个法向量为n＝（3，-3，1），若B1M⊥平面AC1D，则B1M∥n.
所以−13＝1−3＝λ−31，解得λ＝233∈［0，3］，即M0,1,233，且CMCC1＝23.
所以在棱CC1上存在一点M，且满足CMCC1＝23，使B1M⊥平面AC1D.