人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀课后练习题

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
1. 已知平面的一个法向量是，点是平面内的一点，则点到平面的距离是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 已知在菱形中，，点E为的中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为（ ）
A.33 B.233 C.3 D.23

4. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA＝BA，则平面ABP与平面CDP的夹角的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A.23 B.34 C.33 D. 24
7. 在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四边形是菱形
B. 直线与直线的距离是
C. 直线与平面所成角的正弦值是33
D. 平面与平面所成角的正弦值是306
9.已知直线l的一个方向向量为m=1，2，−1，若点P（−1，1，−1）为直线l外一点，点A（4，1，-2）为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .
10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离.
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
11.条件①：图①中tan B＝2；条件②：图①中3AD＝2AB+AC；条件③：如图②，在三棱锥A-BCD的底面BCD中，CD>BD，S△BCD＝1.从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答.
如图①所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥ BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图②），点M为棱AC的中点.已知 ，在棱CD上取一点N，使得CN＝3DN，求平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值.
课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.AD 9.17
10. 解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E1,12,0，F12,1,0，
所以EF＝−12,12,0，PE＝1,12,−1.
设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），
则n·EF=0,n·PE=0,所以−12x+12y=0,x+12y−z=0.
令x＝2，则y＝2，z＝3，
所以平面PEF的一个法向量为n＝（2，2，3）.
又因为DP＝（0，0，1），所以点D到平面PEF的距离为DP·nn＝0+0+34+4+9＝31717.
（2）因为AE＝0,12,0，所以点A到平面PEF的距离为AE·nn＝117＝1717.
因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，为1717.
11. 解：选条件①时：在题图①所示的△ABC中，设AD＝CD＝x，
在Rt△ABD中，tan B＝ADBD＝x3−x＝2，解得x＝2，∴ BD＝1.
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）.
∴BM＝（-1，1，1）.
由CN＝3DN，可得N0,12,0，∴BN＝−1,12,0.
设平面BNM的一个法向量为n＝（x，y，z），
由n·BN=0,n·BM=0,得−x+12y=0,−x+y+z=0,令x＝1，则n＝（1，2，-1）.
取平面BNC的一个法向量m＝（0，0，1），
∴ cs〈m，n〉＝m·nmn＝−112+22+−12＝-66，
∴ 平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值为66.
选条件②时：在题图①所示的△ABC中，由3AD＝2AB+AC，
得2（AD-AB）＝AC-AD，即DC＝2BD.
∵ BC＝3，DC＝2BD，∴ CD＝2，BD＝1.
以下解题过程与选条件①时相同.
选条件③时：在题图②所示三棱锥A-BCD的底面BCD中，
设BD＝x（0∴ S△BCD＝12x（3−x）＝1，解得x＝1或x＝2.
又∵ CD>BD，∴ CD＝2，BD＝1.
以下解题过程与选条件①时相同.