2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期期末数学试题含解析

  2021级高一上学期期末考试数学试题

考试时间：120分钟    满分：150分

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合交集的定义进行运算求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A

2. 设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数的概念逐一判断即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；

对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；

对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；

对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.

故选：D

【点睛】本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.

3. 若角的终边上一点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三角函数的定义即可得到结果.

【详解】∵角的终边上一点，

∴，

∴，

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.

4. 若，都为正实数，，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，都为正实数，，

所以，

当且仅当，即时，取最大值.

故选：D

5. 设,则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用中间量隔开三个值即可.

【详解】∵，

∴，又，

∴，

故选：A

【点睛】本题考查实数大小的比较，考查指对函数的性质，属于常考题型.

6. 命题A：命题B：(x＋2)·(x＋a)<0；若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是

A. (－∞，－4) B. [4，＋∞) C. (4，＋∞) D. (－∞，－4]

【答案】A

【解析】

【详解】记根据题意知，所以故选A

7. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则 （    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由，分析可得，即可得函数的周期为4，则有，由函数的解析式以及奇偶性可得的值，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数满足，即，

则函数的周期为4，

所以

又由函数为奇函数，则，

又由当，时，，

则；

则有；

故选：．

【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用，注意分析得到函数的周期，属于中档题．

8. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由得到，根据得到，故，求出解析式，由整体法得到函数的单调性.

【详解】由题意得：，即，故，

解得：，

因为，所以，即，，

故，

从而，

由，解得：，

即

故选：D

二、多选题（本题共有4个小题，每小题5分，20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. [多选题]下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果.

【详解】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确；

因为是偶函数，故B不满足；

因为是周期为的周期函数，故C不满足；

因为是奇函数，且周期，

令，所以，

所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确；

故选：AD．

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 与的终边相同

B. 小于角是锐角

C. 若为第二象限角，则为第一象限角

D. 若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为

【答案】AD

【解析】

【分析】利用终边相同的角的概念可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断BC选项的正误；利用扇形的面积公式可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，因为，所以，与的终边相同，A对；

对于B选项，不是锐角，B错；

对于C选项，取，则为第二象限角，但为第三象限角，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，

因此，该扇形的面积为，D对.

故选：AD.

11. 下列关于函数的叙述正确的是（    ）

A. 的定义域为，值域为

B. 函数为偶函数

C. 当时，有最小值2，但没有最大值

D. 函数有1个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】对A，求出值域可判断；对B，根据奇偶性的定义可判断；对C，求出值域可判断；对D，画出函数图象可判断.

【详解】对A，的定义域为，因为，所以，故值域为，所以A错误;

对B，因为，所以是偶函数，B正确;

对C,当时，，所以C正确;

对D，如图，与有两个交点，所以有2个零点，所以D错误.

故选：BC.

12. 定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是的“原形函数”．下列函数是的“原形函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据“原形函数”的定义逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】解：由知，将的图象向右移动1个单位可得到的图象，故选项A正确；

由知，将的图象向右移动个单位可得到的图象，故选项B正确；

由知，将的图象向下移动个单位可得到的图象，故选项C不正确；

由知，将的图象向右移动个单位可得到的图象，故选项D正确．

故选ABD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，满分20分）

13. 函数是幂函数且为偶函数，则m的值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.

【详解】由函数是幂函数，则，得或

当时，函数不是偶函数，所以舍去.

当时，函数是偶函数，满足条件.

故答案为：

【点睛】本题考查幂函数的概念和幂函数的奇偶性，属于基础题.

14. 用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程的一个近似解为______．（精确到0.01）

【答案】1.56

【解析】

【分析】根据零点存在定理，可知零点在内，再根据二分法即可判断该方程的近似解且满足误差不超过0.005.

【详解】因为，，

根据零点存在性定理，可知零点在内，

由二分法可得零点的近似值可取为，

所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．

故答案为：1.56

15. 已知,则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.

【详解】

【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.

16. 已知函数，若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.

【详解】画出的函数图象如图，不妨设，

因为，则由图可得，

，可得，即，

又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，

所以解得，即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据对数运算法则及对数恒等式计算可得；

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：

18. 设函数的定义域为，函数的定义域为.

（1）求；

（2）若，且函数在上递减，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求出集合，，然后由补集和并集的定义求解即可；

（2）先利用交集求出集合，然后利用二次函数的单调性分析求解即可．

【详解】解：（1）由得，∴，

由得，∴，

∴，∴.

（2）∵，，∴.

由在上递减，得，即，∴.

19 已知.

（1）若，且，求的值.

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解；

（2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解.

【小问1详解】

.

所以，因为，则，或.

【小问2详解】

由（1）知：，

所以，

即，所以，

所以，即，

可得或.

因为，则，所以.

所以，故.

20. 已知二次函数满足，且.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）当时，函数与图像没有公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过已知得到方程组，解方程组即得二次函数的解析式，再利用二次函数的图象求函数的值域得解；

（2）求出，等价于，求出二次函数的最小值即得解.

【小问1详解】

解：设､

∴，∴，

∴，，

又，∴，∴.

∵对称轴为直线，，，，

∴函数的值域.

【小问2详解】

解：由（1）可得：

∵直线与函数的图像没有公共点

∴，

当时，

∴，∴.

21. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式及对称中心坐标：

（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域．

【答案】（1），()   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据求得的值，由此求得的解析式，进而求出的对称中心；

（2）根据三角变换法则求得函数的解析式，再换元即可求出的值域．

【小问1详解】

由图象可知：,解得：，

又由于,可得：,所以

由图像知,,又因为

所以,.所以

令(),得：()

所以的对称中心的坐标为()

【小问2详解】

依题可得，因为，

令，所以，即的值域为．

22. 已知函数（且）.

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若且在上最小值为，求m的值.

【答案】（1）为奇函数，证明见解析.   

（2）.   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；

（2）由（1）得出是定义域为的奇函数，再判断出是上的单调递增，进而转化为，进而可求解；

（3）利用，可得到，所以，令，则，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出的值.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，又，∴为奇函数.

【小问2详解】

解：，∵，∴，或（舍）.∴单调递增.

又∵为奇函数，定义域为R，∴，

∴所以不等式等价于，，，

∴.故的取值范围为.

【小问3详解】

解：，解得（舍），，

令，∵，∴，，

当时，，解得（舍），

当时，，解得（舍），

综上，.