2022-2023学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区高一上学期期末数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义，即可求得本题答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2．函数 的最小正周期是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】代入正弦型函数的最小正周期公式，即可求得.
【详解】函数的最小正周期是.
故选：D
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.
【详解】函数不是奇函数，故A不正确；
函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；
函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；
的图象如图：
所以函数是奇函数且是增函数.
故选：D
4．已知不等式解集为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.
【详解】解：因为不等式解集为，
所以方程的解为或，且，
所以，所以，
所以，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
5．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.
【详解】当时，在区间上单调递增，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.
故选：C.
6．“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】若在上为增函数，则，即，
因为是的充分不必要条件，
所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A．
7．在中，已知，判断的形状（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得.
【详解】解：根据正弦定理由，得，即，
所以，所以，
所以为等腰三角形.
故选：D.
8．已知函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．函数在区间上是减函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．若，则的值域为
【答案】B
【分析】化简的解析式，根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域等知识确定正确选项.
【详解】.
，
所以在区间上递增，A错误.
，所以点是函数图象的一个对称中心，B正确.
的图象向左平移个单位长度得到：
，C选项错误.
，，D选项错误.
故选：B
二、多选题
9．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】ABD
【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当时，设，
则，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
10．下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断
【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确，
对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误，
对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：AC
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
【答案】CD
【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.
【详解】由图知：且，则，
∴，可得，
又过，
∴，得，又，
∴当时，.
综上，.
A：代入得：，故错误；
B：代入得：，故错误；
C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；
D：，故正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.
12．设函数，给出如下命题，其中正确的是（ ）
A．时，是奇函数
B．，时，方程只有一个实数根
C．的图象关于点对称
D．方程最多有两个实数根
【答案】ABC
【解析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，当时，，
此时，故为奇函数，A正确；
对选项B，当，时，，
若，无解，若，有一解，所以B正确；
对选项C，因为为奇函数，图象关于对称，
所以图象关于对称，故C正确，
对选项D，当，时，，
方程，即，解得，，，
故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________
【答案】
【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．
【详解】解：，，
由，
，
当时，满足，
此时，
；
当时，
，
则，
解得．
综上，．
故答案为：．
14．已知为钝角，且，则______.
【答案】
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】解：，，
为钝角，
.
故答案为：
15．设则的值是________．
【答案】24
【解析】由分段函数的解析式知：即可求值.
【详解】∵当时，，又，
∴，
故答案为：24
【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题.
16．若实数，满足，则的最小值为___________.
【答案】4
【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案.
【详解】因为
所以
当且仅当即或时取“”.
故答案为：4.
四、解答题
17．已知，是方程的两根，求下列各式的值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，，从而代入计算可得.
【详解】（1）解：因为，是方程的两根，
所以，，
所以.
（2）解：因为，
所以，
即，
又，所以，
所以，
所以.
18．已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求的解析式；
（2），求实数x的值；
【答案】（1）；（2）2或16.
【解析】（1）由已知得，，从而求解析式即可；
（2），即或3，即可求实数x的值；
【详解】（1）由已知得，，，（且）
解得，；
故；
（2），即或3，
∴或3，
∴或16.
19．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分类讨论函数的类型，当时，根据函数零点的定义求出零点；当时，根据判别式列式可求出结果；
（2）转化为(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，利用判别式和韦达定理列式可求出结果.
【详解】（1）当时，函数化为，
令，得，此时函数有零点，符合题意；
当时，由函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有零点，可得，即且，
综上所述：的取值范围是：.
（2）因为函数有两个不同零点，所以(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，
所以，解得且，
设(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的两个不同的实根分别为和，
则，，
因为，所以，
所以，解得，符合题意.
综上所述：.
20．设函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简的解析式，由，可得，从而得到答案.
（2）化简可得，由余弦函数的图像性质可得答案.
【详解】（1），即．
因为，所以，
即，即，
所求函数的值域为．
（2），即
令，，得，，
即函数在区间，上单调递增
要使函数在区间上单调递增，
只需，即，
所求实数m的取值范围是．
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低
(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
【分析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，，利用基本不等式求最值可得答案；
（2）设该工厂每月的利润为,，利用配方求最值可得答案.
【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，
，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，每吨平均处理成本最低.
（2）设该工厂每月的利润为，
则，
∴，
当时，，
所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.
22．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.
（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方法，求得的取值范围.
【详解】（1）设任意，，满足，
由题意可得，
即，
在定义域上是增函数.
则可化为，
解得，a的取值范围为.
（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，
对任意的都恒成立，
恒成立，
即对任意的都恒成立，
令，，
则只需，
解得，的取值范围.
【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号.