2022-2023学年陕西省渭南市大荔县高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省渭南市大荔县高一上学期期末数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题：“，”是全称量词命题，
它的否定是特称量词命题：，．
故选：D.
2．函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理直接判断.
【详解】由题意可知，，，
故，又因函数在上单调递增，
所以函数的零点一定位于区间．
故选：C．
3．已知终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由终边坐标求得正余弦值，结合倍角公式求值即可.
【详解】由题意可知点，所以，，
，，
∴．
故选：B．
4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先分别解不等式和，再由必要不充分条件的定义即可得到结果.
【详解】由题意得，根据，，
即，
解得，
又由，解得，
则，而由推不出，
所以是“”的必要不充分条件.
故选：A.
5．按复利计算利息的一种储蓄，本息和（单位：万元）与储存时间（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）若本金为5万元，在第22个月时本息和为20万元，则在第33个月时本息和是（ ）万元
A．30B．40C．50D．60
【答案】B
【分析】由题意有，，可求,则在第33个月时本息和可求.
【详解】由题意有，，则，即，则，所以第33个月时本息和是40万元．
故选：B．
6．已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于,都是锐角,则,,
因为,,
所以,,
所以,,
所以
.
故选:B
7．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将分别与、比较大小后可得．
【详解】，，
，，则．
，
，，，即，则，
故选：C．
8．已知函数，若存在四个实数，，，，满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图象可知，，则，再结合对勾函数的单调性即可.
【详解】
如图所示，由的图象可知
所以时，与的图象有四个交点，
不妨假设，
由图象及函数性质知：，
易知：，，
所以，，
则．
故选：C
二、多选题
9．要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
【答案】BC
【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.
【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，故B正确，A错误；
将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误；
故选：BC.
10．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．（是钝角）
【答案】AD
【分析】对选项A：利用在上单调递减可判断；对选项B：作差法可判断；对选项C：利用单调递减可判断；对选项D：先化，确定，再利用单调递增可判断.
【详解】对选项A：在上单调递减，当时，得，故A正确；
对选项B：，故B错误；
对选项C：单调递减，故C错误；
对选项D：且，即，
则有，故D正确．
故选：AD．
11．下列选项中正确的有（ ）
A．函数（且）的图象过定点
B．已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，的解析式为
D．若，则
【答案】ACD
【分析】A：令即可；B：根据同一个函数，括号内的代数式范围相同可解；C：利用奇偶性可求；D：同构思想化为，构造，利用单调性可判断，再结合单调递增可判断.
【详解】A：令，解得，所以函数经过定点，故A正确；
B：由，可得，，可得，故B错误；
C：当时，，由条件可知，故C正确；
D：构造，由指、对数函数的单调性可知在上是减函数，即，所以，
所以，又因为单调递增，即，故D正确．
故选：ACD．
12．对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数有3个“和谐区间”；
B．函数，存在“和谐区间”
C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为
D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由函数的单调增，确定的解可判断ABC，由函数单调减，由有解，求得的范围判断D．
【详解】对A，因为函数在上单调递增，
所以有，即，为的两个实根，解得可能取值为，0，
即函数的有3个“和谐区间”，，，故A正确；
对B，由于当，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误
对C，在上有“和谐区间”，
所以存在区间，使函数的值域为，
函数在上单调递增，
，为关于的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令与，问题转化为函数与的图象，在上存在两个不同的交点，函数在单调递减，在上单调递增．
，且，，
此时，解得，
故．
对D，函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域也为，
①，②两式相减可得，
，
即③，
将③代入②，，
令，得，又，，
故实数的取值范围为．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：新定义函数问题，关键是理解新定义，由新定义把问题进行转化，本题在确定单调增的基础上，确定方程的解，在单调减基础上由有解得参数范围．
三、填空题
13．___________．
【答案】7
【分析】利用对数的概念及对数的运算法则化简即可
【详解】
，
．
故答案为：7
14．已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】令，根据对数型复合函数的单调性可得在上单调递增且恒大于零，即可得到，解得即可.
【详解】解：令，因为在定义域上单调递减，
又在区间上是减函数，
所以在上单调递增且恒大于零，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．设方程的解为，方程的解为，则___________．
【答案】6
【分析】利用图像法求出.
【详解】由方程得，由方程得.
由于与互为反函数，图像关于对称.
如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标，
因为与图像关于对称，且与垂直，所以
两点为与的交点，且关于对称.
由解得：，则．
故答案为：6．
16．已知，，则最小值为___________．
【答案】16
【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.
【详解】由，可知，，
令，，
所以，
，
当且仅当“”时，两个等号同时成立．
则x=y=3时最小值为16.
故答案为：16．
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别秋凉两个集合，再根据交集的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论，再根据题意即可得解.
【详解】（1）由，可得，解得，
所以，
当时，，
所以；
（2）当时，即，符合条件；
当时，或，
解得：或，
综上实数的取值范围．
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，，则．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题设条件利用倍角公式整理得，再根据齐次式问题化简求值；
（2）先根据运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式化简求解.
【详解】（1）∵，则，即，
∴．
（2）∵，则，
整理得，
所以，
又∵，则，且，
则，即，
∴，
故．
19．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)函数在区间内有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】(1)先化简，得，利用周期公式
可得周期. 由正弦函数性质知在上递减，即可求减区间；
(2)应用整体法求的区间，再由正弦函数性质求最值；
(3)应用整体法求的区间，再由正弦函数的零点列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为
．
所以的最小正周期，
，
，
所以的单调递减区间为；
（2）
，
在单调递增，在上单调递减，
当时，，，
当时，，；
（3）因为当时，
所以，化简得．
20．已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.
（2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【详解】（1）依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
21．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22．已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若，对使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；
（2）利用奇偶性和单调性解不等式；
（3）令，利用复合函数法求出，转化为恒成立，即，，利用分离参数法和换元法转化为恒成立.令，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的取值范围．
【详解】（1）设，
则，
，
，，，,
，，
故在上单调递增．
（2）由于，所以是偶函数，且在上单调递增，
，
两边同时平方可得，
解得或
所以原不等式的解集为或．
（3）由于，使得成立，
令，可知，
由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性知
函数在上单调递增，，
故，
即，
所以，
令，则，当时等号成立，
则，
则，
令，
所以当时，取得最大值，
则，
即的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有成立，故．