第二章 平面解析几何-2.3圆及其方程 2.3.3直线与圆的位置关系（课件PPT）

2.3　圆及其方程2.3.3　直线与圆的位置关系第二章 平面解析几何重点：直线与圆位置关系的判断和应用难点：培养学生熟练地解二元二次方程组1.理解直线与圆的三种位置关系.2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.直线与圆的位置关系 dr 常考题型题组一　直线与圆的位置关系<1>判断直线与圆的位置关系例1 已知集合M＝{（x，y）|x，y为实数，且x2+y2＝2}，N＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝2}，则M∩N中的元素的个数是 （　　）A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3【解题提示】　集合M表示圆上的点构成的集合，集合N表示直线上的点构成的集合，所以可以把两个方程联立判断直线与圆交点的个数；也可以直接求圆心到直线的距离，利用几何法来判断直线与圆的位置关系. 【变式训练】［2020·山东青岛高二检测］已知直线l：y＝kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2＝6，圆N：x2+（y+1）2＝9，则 （　　）A.直线l必与圆M相切，直线l不可能与圆N相交B.直线l必与圆M相交，直线l不可能与圆N相切C.直线l必与圆M相切，直线l不可能与圆N相切D.直线l必与圆M相交，直线l不可能与圆N相离 解析：∵ 直线l：y＝kx+2（k∈R）过定点（0，2）， 点（0，2）在圆M：（x-1）2+y2＝6内， ∴ 直线l必与圆M相交.又∵ 点（0，2）在圆N：x2+（y+1）2＝9上， ∴ 直线l不可能与圆N相离. 【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常用方法1.几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系进行判断，（1）dr直线与圆相离.2.代数法：联立直线与圆的方程，消元之后利用判别式Δ的符号进行判断，（1）Δ>0直线与圆相交；（2）Δ＝0直线与圆相切；（3）Δ<0直线与圆相离.  【变式训练】1. ［2020·浙江海宁高二检测］若圆（x-3）2+（y-5）2＝r2（r>0）上有且只有四个点到直线5x+12y＝10的距离等于1，则r的取值范围是 （　　）A.（4，6）　 　B.（6，+∞） C.（0，4） D.［4，6］  【变式训练】     1.若直线ax+by+7＝0与圆x2+y2+4x-1＝0切于点P（-3，2），则ab的值为　 　.【变式训练】 -2【变式训练】  C【方法技巧】 <2>已知圆外一点，求过该点的圆的切线方程例5 已知方程x2+y2+6mx-4my+12＝0（m∈R）.（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若此方程表示圆C，且点A（-2，2）在圆C上，求过点P（1，1）的圆C的切线方程.【解题提示】　（1）若此方程表示圆，则根据D2+E2-4F>0，即可得解；（2）将点A（-2，2）的坐标代入圆C的方程可求得m的值，从而得圆C的方程及圆心和半径，先判断点P与圆C的位置关系，然后根据具体的类型进行求解. 已知圆C经过点（0，1），且圆心为C（1，2）.（1）写出圆C的标准方程；（2）过点P（2，-1）作圆C的切线，求该切线的方程.【变式训练】 【方法技巧】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法1.几何法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即kx-y-kx0+y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径求出k，即可得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0. 2.代数法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即y＝kx-kx0+y0.代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式Δ＝0求得k，即可求得切线方程； 当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0.  已知圆M过两点A（1，-1），B（-1，1），且圆心M在直线x+y-2＝0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.【变式训练】  【方法技巧】 题组三　圆的弦长问题<1>求圆的弦长例6 ［2020·河北石家庄高二检测］已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y＝x上.（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：3x-4y+1＝0被圆C截得的弦长.【解题提示】　（1）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点A，B的坐标代入求出结果即可；（2）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.  【变式训练】 【方法技巧】 <2>中点弦问题例7 ［2020·河南濮阳高三检测］若P（2，-2）为圆（x-1）2+y2＝100的弦AB的中点，则直线AB的方程为 （　　）A.2x-y-6＝0 B.x+2y+2＝0C.2x+y-2＝0　　 D.x-2y-6＝0 <3>已知圆的弦长，求参数例8 ［2020·河北唐山高二检测］已知圆C与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，且圆心C在直线3x+2y＝0上.（1）求圆C的标准方程； （2）过点（6，-1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝6，求直线l的方程.【解题提示】　（1）根据题意列方程求出圆心坐标，求得圆的半径r，写出圆的方程；（2）分过点（6，-1）的直线l斜率不存在和斜率存在两种情况，求出对应直线的方程.  【变式训练】 D【方法技巧】以圆内一点（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程的求法根据圆的几何性质：过弦的中点与圆心的直线与弦所在直线垂直.利用直线垂直的条件，即可求出弦所在直线的斜率（斜率存在且不为0），再利用点斜式方程写出弦所在直线的方程即可.若弦所在直线的斜率不存在或斜率为0，则可直接写出其方程为x＝x0或y＝y0.题组四　由直线与圆的位置关系求圆的方程例9 ［2020·甘肃镇原二中高二检测］求圆心在直线3x-y＝0上，与x轴相切，且被直线x-y＝0截得的弦长为 的圆的方程.【解题提示】　设出圆的标准方程，求出圆心到直线x-y=0的距离，根据圆心在直线3x-y＝0上，圆与x轴相切以及勾股定理建立方程组，即可得到所求圆的方程.  【变式训练】 【方法技巧】     已知P（a，b）为圆C：x2+y2-2x-4y+4＝0上任意一点，则 的最大值为（　　）A.2　　 B.- 　　 C. 　　 D.0【变式训练】 C【方法技巧】 题组六　实际应用问题例11 如图，直线l是森林的边界线，图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中AB＝BC＝1 km，现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy，并假设点M的坐标为（x，y）.（1）求兔子的所有不幸点M（即兔子被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S；（2）若兔子随机沿与AC成锐角θ（θ＝∠CAD）的路线越过l向森林逃跑，求兔子能够逃脱的θ的取值范围.【解题提示】　（1）由题意，可知狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，即t狼≤t兔，由此可得x，y满足的不等式，再求面积.（2）先寻找兔子能够逃脱的边界线AD0，然后结合图形，即可求出兔子能够逃脱的θ的取值范围.  如图，已知一艘船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于船O正东40 km的A处出发，径直驶向位于船O正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘轮船能否被船O监测到？若能，求出持续时间.（要求用坐标法）【变式训练】 【方法技巧】与直线与圆有关的实际问题的解题方法首先，把实际问题转化为数学问题，转化的前提是建立平面直角坐标系，写出相应的圆与直线的方程；其次注意实际问题在圆中所求的是什么，可能是已知横（纵）坐标的点的另一个坐标，可能是弦长，可能是判断直线与圆（或半圆、圆拱）是否相切等问题；然后利用所学数学知识，解决数学问题；最后， 再回到实际问题，根据实际意义作答.