高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角精品当堂达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角精品当堂达标检测题，共4页。试卷主要包含了如图，等内容，欢迎下载使用。
1.2.4 二面角
基础巩固
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为（ ）
A. 12 B. 23 C. 22 D. 33
2.已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝32a，则二面角A-BC-D的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3.金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥（如图），
若测得它的塔倾角约为52°，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
(注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：cs 52°≈35)
A. 13 B. 23 C. 34 D. 25
4.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为（ ）
A. 150° B. 45° C. 60° D. 120°
5.如图，
二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（ ）
A. 3a B. 22a C. 5a D. 2a
6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，AB＝1，BC＝2，AC＝3，则异面直线PB与CD所成的角等于 ；二面角P-CD-B的大小为 .
7.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，
∠DAB＝60°，AD⊥D1D.
（1）证明：AD⊥BD1.
（2）若D1D＝D1B＝2，求二面角A-BC-B1的正弦值.
拓展提升
8. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥AC，AB＝AC，BC＝AB1＝2.
（1）求证：平面ABC⊥ 平面BB1C1C.
（2）在线段C1A1上是否存在一点M，使得二面角M-CB1-C1为π6？若存在，求出C1MC1A1的值；若不存在，请说明理由.

课时把关练
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.4 二面角
参考答案
1. C 2. C 3. B 4.C 5. D 6. 60° 45°
7. （1）证明：在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，
由余弦定理，得BD＝AB2+AD2−2AB·ADcs60°＝23，则AD2+BD2＝AB2，即AD⊥BD.
因为AD⊥D1D，BD∩D1D＝D，所以AD⊥平面D1DB.
又BD1⊂平面D1DB，所以AD⊥BD1.
（2）解：如图，取BD的中点O，连接D1O，CO.
因为D1D＝D1B，所以D1O⊥BD.
由（1）可知平面D1DB⊥平面ABCD，故D1O⊥平面ABCD.
由题可得DC＝CB，则CO⊥BD，D1O＝DD12−DO2＝4−3＝1.
以O为原点，分别以OB，OC，OD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系Oxyz（如图），
则A（-3，-2，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（−3，0，0），D1（0，0，1），
则AB＝（23，2，0），BB1＝DD1＝（3，0，1），BC＝（−3，1，0）.
设平面B1BC的一个法向量为n＝（x，y，z），
则n·BB1=0,n·BC=0,即3x+z=0,−3x+y=0,令x＝1，则y＝3，z＝- 3，所以n＝（1，3，- 3）.
又m＝（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，
所以|cs〈m，n〉|＝m·nmn＝37×1＝217，
所以二面角A-BC-B1的正弦值为1−37＝277.
8.（1）证明：如图，取BC的中点O，连接AO，B1O.
由题意得△ABC为等腰直角三角形，所以AO⊥BC，AO＝1.
因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，
所以三角形CBB1为等边三角形，所以B1O⊥BC.
因为BC＝2，所以B1O＝3.
又AB1＝2，满足AO2+B1O2＝AB12，所以AO⊥OB1.
因为BC∩OB1＝O，所以AO⊥平面BB1C1C.
因为AO⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BB1C1C.
（2）解：存在.由（1）知，OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OB1，OA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则C（-1，0，0），B1（0，3，0），C1（-2，3，0），A1（-1，3，1）.
若存在点M，由点M在A1C1上，不妨设C1M＝λC1A1（0