专题16 一般三角形及其性质（考点解读）（全国通用）

专题16  一般三角形及其性质（考点解读）       三角形的性质是初中数学的基本内容之一．预计在中考的分值为6分左右．题型多是填空题、选择题．中考对这部分内容的考查主要包括三角形的边角关系。1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；2.理解并掌握三角形的中位线的性质；3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。  考点1：三角形的分类   考点2：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。考点3：三角形的重要线段  【典例1】（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10   【典例2】（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）A．45° B．60° C．75° D．105°【典例3】（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°【典例4】（2017•大石桥市模拟）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm【典例5】（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．       1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3．（2020•锦州）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　）A．80° B．90° C．100° D．110°4．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）A．90° B．80° C．60° D．40° 5．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 　　．7．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　　．          专题16  一般三角形及其性质（考点解读）      三角形的性质是初中数学的基本内容之一．预计在中考的分值为6分左右．题型多是填空题、选择题．中考对这部分内容的考查主要包括三角形的边角关系。1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；2.理解并掌握三角形的中位线的性质；3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。  考点1：三角形的分类   考点2：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。考点3：三角形的重要线段  【典例1】（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C【解答】解：A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【典例2】（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：C．【典例3】（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM＝∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM＝∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，故选：B．【典例4】（2017•大石桥市模拟）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm【答案】B【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝EC＝4cm，而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD＝14cm，∴AB+BD+DC＝14cm，∴AB+BC+AC＝14cm+8cm＝22cm，即△ABC的周长为22cm．故选：B．【典例5】（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．   1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C．2．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【答案】C【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，故选：C3．（2020•锦州）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．故选：C．4．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）A．90° B．80° C．60° D．40°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．故选：B． 5．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 　　．【答案】2【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：27．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　　．【答案】2.4【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4