高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列优质课件ppt

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1. 理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题；3.掌握等差中项的概念，了解等差数列与一次函数的关系.4.掌握等差数列的判定方法核心素养：数学运算、逻辑推理
1.北京天坛圜丘坛，的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81 . ① 2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48 ②
思考：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
1.北京天坛圜丘坛，的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81 . ①
观察数列②~④，它们是否也有这样的取值规律呢？
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48 ②
对于等差数列的概念理解要注意以下几点：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列.（2）一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个”常数，注意不要漏掉这一条件.（3）求公差d时，可以用d＝an-an-1来求，也可以用d＝an+1-an来求.（4）公差d一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前后项的位置.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( )(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( )(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( )
思考：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
二、等差数列的通项公式
思考：上述推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
还可以用累加法推导如下：
对于等差数列的通项公式要注意以下三点：（1）要注意定义中的an+1-an＝d（常数）对任意n∈N+都成立，如有一项不满足，则{an}就不是等差数列.（2）要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意正整数n，an+1-an是不是等于同一常数，切记不可通过计算a2-a1，a3-a2，a4-a3等几个有限的式子的值后，根据它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论.因为由特殊到一般得出的结论不一定正确.（3）常数列是公差为0的等差数列.
归纳总结等差数列与一次函数的联系
四、等差数列的性质1.等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.
例2 根据通项公式an，分别判断下列数列{an}是否为等差数列.（1）an＝8-6n；（2）an＝kn2+n（k为常数）
解题提示 根据等差数列的定义，利用an+1-an＝d（d为常数）判断.解 （1）∵ an+1-an＝8-6（n+1）-（8-6n）＝-6为常数，故数列{an}是等差数列.（2）an+1-an＝k（n+1）2+（n+1）-（kn2+n）＝2kn+k+1. 当k＝0时，{an}是等差数列； 当k≠0时，{an}不是等差数列.
类题通法证明等差数列的步骤（1）确定数列{an}的通项公式；（2）由an得an+1，即将通项公式中的n替换为n+1得an+1；（3）作差，即an+1-an，并判断其结果是否为常数；
类题通法判断一个数列是否为等差数列的方法1.定义法：an+1-an＝d（n∈N+）或an-an-1＝d（n≥2，n∈N+）⟺数列{an}是等差数列.2.定义变形法：验证数列的通项公式an是否满足an+1-an＝an-an-1（n≥2，n∈N+） ⟺数列{an}是等差数列.3.等差中项法：2an+1＝an+an+2（n∈N+）⟺{an}为等差数列.4.通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝kn+b（k，b为常数） ⟺数列{an}为等差数列.注意：（1）通项公式法不能作为证明方法；（2）若an+1-an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差，若an+1-an＝an-an-1（n≥2，n∈N+）成立，则无法确定等差数列{an}的公差； （3）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列，而要证明一个数列不是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.　
点评例4（2）中主要用到了等差数列的性质：若m+n＝p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an＝ap+aq.对于此性质必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如，a15≠a7+a8，但a6+a9＝a7+a8；a1+a21≠a22，但a1+a21＝2a11总结：等差数列的常用性质（1）若{an}为等差数列，且m+n＝p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an＝ap+aq.①特别地，当m+n＝2k（m，n，k∈N+）时，am+an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an＝a2+an-1＝…＝ak+an-k+1.（2）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列.（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N+）是公差为md的等差数列.
点评：等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.
思考：对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？
知识清单：等差数列的定义；等差数列的通项公式；等差数列的常用性质.方法归纳：方程思想常见误区：对等差数列的定义理解不透