第六章-6.2 利用导数研究函数的性质-6.2.2 导数与函数的极值、最值（课件PPT）

第六章6.2利用导数研究函数的性质6.2.2 导数与函数的极值、最值学习目标1.了解函数的极大（小）值、最大（小）值的概念.2.了解函数的极值与最值的区别和联系.3.掌握求函数的极值与最值的方法.核心素养：逻辑推理、数学运算新知学习在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？    一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有（1）f（x）f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点（如下图点b、d），且f（x）在x0处取极小值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.函数极值的概念思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 总结概括：一般地，设函数f（x）在x0处可导，且f ′（x0）＝0.（1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′（x）>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′（x）<0，那么此时x0是f（x）的极大值点.（2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′（x）<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′（x）>0，那么此时x0是f（x）的极小值点.（3）如果f ′（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则x0一定不是y＝ f（x）的极值点.概念阐释（1）极值是一个局部性概念.由极值的定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，即反映的是函数在某一点附近的情况.（2）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.（3）函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.（4）如果函数f（x）在［a，b］上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的.一般地，当函数f（x）在［a，b］上的图像连续且有有限个极值点时，函数f（x）在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的.即时巩固   极大值一定大于极小值吗？      　       总结概括：一般地，如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f（x）的定义域为［a，b］且存在最值，函数y＝f（x）在（a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点. 　 　 （1）　　　　　 （2）　　　 （3）　　　 　（4）概念阐释函数y＝f（x），x∈［a，b］，如果对任意x∈［a，b］，存在x0∈［a，b］有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），则称f（x0）为函数f（x）的最大值（或最小值），其中x0为f（x）的最大值点（或最小值点）.提示 （1）如果f（x）在闭区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，则f（x）在［a，b］上必存在最大值和最小值.（2）函数的最值是一个整体概念，它是函数在区间内所有函数值中的最大者（或最小者）.（3）函数的最值在闭区间的极值点或端点处取得.（4）若函数f（x）在闭区间［a，b］上是单调函数，则可直接利用单调性法求函数的最值，即若f（x）在［a，b］上递增，则f（x）的最大值为f（b），最小值为f（a）；若f（x）在［a，b］上递减，则f（x）的最大值为f（a），最小值为f（b）.例如，函数f（x）＝x3在［-1，3］上为增函数，则f（x）在［-1，3］上的最小值为f（-1）＝-1，最大值为f（3）＝27.  即时巩固典例剖析  例2 设f（x）＝ax3+bx+c为奇函数，且其图像在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7＝0垂直，导函数f ′（x）的最小值为-12.（1）求a，b，c的值.（2）求函数f（x）在［-2，3］上的极大值和极小值.解题提示 （1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f ′（x）的最小值求出b的值，最后依据在x＝1处的导数等于切线的斜率求出a的值即可；（2）先求导数f ′（x），在函数的定义域内解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0，求得区间即为单调区间，进而得到函数的极值. 规律总结求函数f（x）极值的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数f ′（x）；（3）解方程f ′（x）＝0，求出函数在定义域内的所有根；（4）列表观察f ′（x）在f ′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么f（x）在x0处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处既是极值也是最值.例3 若函数f（x）＝x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（　　） A.-12解题提示 先求导函数，根据函数f （x）＝x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可得f ′（x）＝3x2+6ax+3（a+2）＝0有两个不等的实数根，从而可以求得实数a的取值范围.解析 ∵ f（x）＝x3+3ax2+3（a+2）x+1，∴ f ′（x）＝3x2+6ax+3（a+2）.∵ 函数f（x）＝x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，∴ f ′（x） ＝3x2+6ax+3（a+2）＝0有两个不等的实数根，∴ 36a2-36（a+2）>0，即a2-a-2>0，解得a<-1或a>2，答案 D规律总结逆向应用函数的极值，主要是含参数的问题，应注意两个方面：一是注意对参数的分类讨论，要抓住讨论的切入点；二是一般要对结果进行检验，以验证充分必要性.   类题通法求函数f（x）最值的基本步骤（1）求导函数：求函数f（x）的导函数f ′（x）.（2）求极值可疑点：即求出f ′（x）不存在的点或f ′（x）＝0的点.（3）列表：依极值可疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f ′（x）与f（x）随x变化的一览表.（4）求极值：依（3）的表中所反映的相关信息，求出f（x）的极值点和极值.（5）求区间端点函数值.（6）求最值：比较极值可疑点和区间端点的函数值后，得出函数f（x）在其定义域内的最大值和最小值.一般地，最大（小）值是由区间端点的函数值和极大（小）（包括导数不存在的点）值比较而得.   类题通法构造函数法证明不等式中常见的方法（1）移项法：证明不等式f（x）>g（x）（f（x）0（f（x）-g（x）<0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）-g（x）.（2）构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.（3）放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造函数.  类题通法不等式恒（能）成立的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f（x）≥g（x）对于x∈D恒成立，应求f（x）的最小值；若存在x∈D，使得f（x）≥g（x）成立，应求f（x）的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值，特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错. 解题提示 （1）对函数f（x）求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值；（2）根据（1）中函数的单调性和极值分析函数图像，得出最值，进而得出函数存在零点时k的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明. 类题通法利用导数研究零点的个数函数的零点个数也就是函数图像与x轴交点的个数，所以可利用数形结合的方法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其函数的大致图像.对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图像，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；二是分离参数，将问题转化为求y＝a和y＝f（x）的图像的交点个数问题求解.随堂小测  ①② 4      5.设a>0且a为常数，求函数y＝e-x-e-2x在区间［0，a］上的最大值和最小值. 6.设函数f（x）＝x3+4x2+4x+c.若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围. 课堂小结  课堂小结知识清单：函数的极值；利用单数研究函数的最值；方法归纳：函数最值的求法：求导数-求可能极值点-列表-求极值-求区间端点的函数值-求最值.常见误区：对函数极值与最值的关系理解不透谢 谢！