2022-2023学年内蒙古乌兰浩特市第四中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

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一、单选题
1．在正方体中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算，结合求解即可.
【详解】.
故选：A
2．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；
【详解】抛物线的焦点坐标是，准线方程是，所以焦点到其准线的距离是.
故选：B.
3．已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A．1B．2C．0D．3
【答案】D
【分析】由线线垂直可知其方向向量垂直，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求得答案.
【详解】因为，所以，故，
所以，则.
故选：D.
4．已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程列出不等式，解之即可求解.
【详解】因为曲线是双曲线，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：.
5．已知命题若，则且；命题若，则．下列是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断命题的真假，然后根据且或非命题确定正确选项即可.
【详解】因为，，所以即且，故命题为真命题，为假命题；
由解得或，故命题为假命题，为真命题；；
所以为真命题，，，为假命题，
故选：A
6．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.
【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.
由题意知，解得，
所以离心率．
故选：D．
7．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量共面定理可知BCD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设A中向量共面，可知不存在满足条件的实数，由此知假设错误，则A中向量可以作为基底.
【详解】对于A，假设共面，则可设
，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，A正确；
对于B，，∴共面，不能作为空间一组基底，B错误；
对于C，，∴共面，不能作为空间一组基底，C错误；
对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D错误.
故选：A
8．已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的真假性以及一元二次不等式恒成立的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】因为“，”为真命题，
所以，解得．
故选：A
9．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线可得焦点，代入直线可得，将直线与抛物线进行联立可得，继而得到，然后用抛物线的定义即可求解
【详解】由抛物线可得焦点，
将代入可得，
将代入可得，
设，所以，
所以，
由抛物线的定义可得即，解得
故选：B
10．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解
【详解】若，则两条直线分别为，，
显然两条直线相互平行，充分性成立；
若直线与直线平行，
则，且，
所以，必要性成立．
故选：C．
11．在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据向量数乘的坐标公式，求得点的坐标，写出直线的方向向量，结合向量夹角公式，可得答案.
【详解】取的中点O，的中点，易知，，两两垂直，
以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，
所以，，，，，
则的中点，
由点F是上靠近点B的三等分点，则，设，
故，所以
解得,，
故，，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意知点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，得到，再利用计算可得到离心率的范围.
【详解】
所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故选：A．
二、填空题
13．椭圆的离心率为___________．
【答案】##0.6
【分析】结合椭圆方程和离心率的定义求解即可.
【详解】由椭圆方程可知：，则，，所以.
故答案为：.
14．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则_________.
【答案】
【解析】根据双曲线定义，求解.
【详解】由双曲线的定义得，又，
所以，或
经检验，舍去，
所以.
故答案为：.
15．已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________.
【答案】
【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解.
【详解】由题意知，所以点到的距离．
故答案为：.
16．已知为坐标原点，抛物线的方程为，F为的焦点，，过点的直线与抛物线交于P、Q两点（异于点），且，分别交轴于M、N两点，则______．
【答案】4
【分析】设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，求得的坐标，进而求得.
【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点为，
所以可设直线的方程为，，，
联立抛物线方程可得，
所以，，
则直线，
令，可得点的坐标为，同理可得点的坐标为，
所以．
故答案为：
三、解答题
17．已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；
【详解】（1），若，则，即，解得；
（2），若，则，即，化简可得，解得或.
18．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据条件可设抛物线C的方程为，由准线经过双曲线的左焦点，可得的值，从而求得抛物线C的方程；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理，由弦长公式计算即可．
【详解】（1）双曲线的左焦点为，故抛物线C的准线方程为，
又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，设抛物线C的方程为，
所以，解得，
所以拋物线C的方程为；
（2）因为直线MN过点且斜率为1，
所以直线MN的方程为，即，
联立方程，消元整理得，，
设，所以，
所以.
19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知双曲线的左､右焦点分别为，.
(1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程；
(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用已知条件得，结合双曲线中化简整体求出，即可得双曲线C的渐近线方程
（2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出，从而得，即渐近线的倾斜角，则可以得出的值，结合得到关于离心率的齐次方程，解出即可
【详解】（1）因为，的面积为，
所以，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以双曲线C的渐近线方程是.
（2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图，
，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，则，
所以，，，
所以，，
所以双曲线C的离心率为2.
21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）由线面垂直证，再证平面、平面平面；
（2）以P为原点，所在直线分别为轴，过P且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法求二面角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：因为平面平面，所以，
在矩形中，，又平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面平面，所以，以P为原点，所在直线分别为轴，过P且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则，.
设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以.
设平面的一个法向量为，则即令，则，所以.
设二面角的平面角为，所以.
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据左右顶点坐标得到，根据离心率得到，然后得到，即可得到椭圆方程；
（2）设，得到，根据坐标得到直线和的直线方程，即可得到，，然后根据坐标和得到圆的方程为，即可得到以为直径的圆过定点.
【详解】（1）由左、右顶点分别为，，得，
由离心率为，得，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设，则，
由，，得，令，则，
由，，得：，令，则，
以为直径的圆的方程为，
即，
又，所以，
令，则，故以为直径的圆恒过定点和.