2022-2023学年陕西省安康市高二下学期开学摸底考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省安康市高二下学期开学摸底考试数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，则（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式化简集合B，然后利用交集的运算即可求解【详解】因为，又，所以，故选：C.2．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立.即可得出答案.【详解】如图，正方体中.，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．设是定义在上的偶函数，当时，，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知可得，然后根据偶函数的性质，即可得出答案.【详解】由已知可得，.又是定义在上的偶函数，所以.故选：C.4．在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（    ）A．该省考生数学成绩的中位数为75分B．若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分C．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则，解得，A错；要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确；由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确；由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确．故选：A.5．若直线l将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】由题意可得直线l过圆心，分直线l过原点和直线l不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l过圆心，当直线l过原点时，其方程为；当直线l不过原点时，设l：，则，此时方程为.故选：D.6．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（    ）A． B．6 C． D．9【答案】C【分析】根据抛物线定义及题意求出，得出点A的坐标即可求解.【详解】由已知及抛物线的定义可得，解得，∴抛物线方程为，，即，代入抛物线方程可得，∴，.故选：C7．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为2，则的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离求解.【详解】由知，双曲线的渐近线为方程为，，则双曲线的焦点到渐近线的距离，∴双曲线C的渐近线方程为.故选：A8．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于 ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取的中点D，连接交于点E，连接DE，则 且，则为异面直线与所成的角或其补角．易求，，则，所以.故选：B．9．已知函数，则（    ）A．的最大值为4B．的图象关于点对称C．在单调递增D．将函数的图象向左平移个单位得到一个奇函数【答案】C【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，直接判断B，根据正弦型函数的最值判断A，由正弦型函数的单调性判断C，根据三角函数的图象变换及诱导公式判断D.【详解】，对A，函数的最大值为2，故A错误；对B，因为，故B错误；对C，∵，∴，由在单调递增可得在单调递增，故C正确；对D，将函数的图象向左平移个单位得到函数，为偶函数，故D错误.故选：C.10．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（    ）A．1:1 B．2:1 C．2:3 D．3:2【答案】B【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的，然后根据体积之比可得答案.【详解】由题意漏下来的沙子是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，∴可以单独研究下方圆锥，∴，∴，∴.故选：B11．已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，由三等分点可用表示，表示，一方面由两点坐标得直线斜率，另一方面用点差法求得直线斜率，从而得的关系式，求得离心率．【详解】如图，设，，∵C，D分别是线段的两个三等分点，∴，，则，得，利用点差法，由两式相减得，整理得到，即，所以.故选：C．12．正四面体的顶点都在半径为的球O的球面上，过点A，B，O作平面截该正四面体所得截面面积为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】将正四面体放置在正方体中，则球即为正方体的外接球，求得正方体的棱长，取的中点，的中点，则为的中点，可知为平面截该正四面体所得截面，求面积即可.【详解】如图，将正四面体放置在正方体中，则球即为正方体的外接球.设正方体的棱长为，则，∴.取的中点，的中点，连接，，，则为的中点，则为平面截该正四面体所得截面，其面积为.故选：D. 二、填空题13．已知x，y满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】根据约束条件画出可行域（如图），其中，，，表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可知，当直线过点，时，取最小值.故答案为：.14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【答案】【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为，左右顶点坐标为，设圆的圆心，半径为，则，解得，，故圆的方程为.故答案为：.15．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个“刍䠢”，四边形为等腰梯形，，，，则该“刍䠢”的体积为_____________．【答案】【分析】在取点M，H，使得，分别过点M，H作的平行线，交于N，L，从而五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，，利用体积公式求解即可.【详解】在取点M，H，使得，分别过点M，H作的平行线，交于N，L，连接，，则,故，故四边形为平行四边形，故，故，而，故，则，，又平面，，∴平面，又平面，∴平面平面，同理平面，平面平面,∴五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，，过点F作，又平面，平面平面，平面平面，则平面，由已知可求得，，∴，，∴该五面体的体积为．故答案为：.16．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限的交点为P，直线与另一条渐近线交于点Q，且Q是线段的中点，则双曲线C的离心率为_____________.【答案】2【分析】由已知可推得，然后得出，即可根据的关系得出离心率.【详解】如图，由是以为直径的圆的弦的中点，可得，.又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，所以，所以，所以，所以离心率.故答案为：2. 三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若的面积为，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据余弦定理及向量数量积的定义列出方程即可求解；（2）由三角形的面积公式及余弦定理求解.【详解】（1）∵，∴，∴，由，∴.（2）由（1）及已知可得，解得，由余弦定理得，∴.18．已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据的关系可得出递推关系式，由等比数列的定义求解；（2）利用裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）由已知，令可得，由得，两式相减得，即，∴数列是2为首项，为公比的等比数列，∴.（2），∴，，∴，∴.19．如图，在直棱柱中，与交于点E.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线定理以及平行四边形的判定与性质，可得答案；（2）由题意，根据线面垂直判定以及性质定理，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用公式，可得答案.【详解】（1）证明：分别取线段的中点F，G，连结，如图所示.因为点F是线段的中点，，以，所以四边形是平行四边形，所以.在中，点F是线段的中点，点E是线段的中点，所以.因为点G是线段的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以.又平面平面，所以平面.（2）在直棱柱中，平面，又平面，所以.又平面，所以平面，又平面，所以.不妨设，以B为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以.设平面的一个法向量，所以，即，令，解得，所以平面的一个法向量.设直线与平面成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值是.20．在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为．当m变化时，解答下列问题：(1)以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；(2)过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)以AB为直径的圆经过点C，理由见解析(2)圆在y轴上截得的弦长为定值2 【分析】（1）设，，利用韦达定理求得，在判断直线AC与BC的斜率之积是否等于，即可得出结论；（2）由（1）求得过A，B，C三点的圆的方程，再令，即可得出结论.【详解】（1）解：以AB为直径的圆经过点C，理由如下：设，，则，直线AC与BC的斜率之积为，∴，∴以AB为直径的圆经过点C；（2）解：设AB的中点为M，则，则，，由（1）知过A，B，C三点的圆的方程为，令，得，∴圆在y轴上截得的弦长为定值2．21．已知点在抛物线C：上.(1)求抛物线C的焦点到其准线的距离；(2)设直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最小值.【答案】(1)4；(2)64. 【分析】（1）代入点坐标，即可求出的值，得到抛物线的方程，求出焦点、准线，即可得出答案；（2）联立直线与抛物线的方程，可得，根据韦达定理得出.由，得出，代入坐标即可求出.然后表示出的面积，即可得出答案.【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，所以，抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.（2）设，，直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，消去整理得，则，由韦达定理可得.又，所以，即，即，代入可得，解得或（不符合题意，舍去），此时恒成立.所以，所以，当时，面积有最小值64.22．已知椭圆C：（，c为椭圆的半焦距）的左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、.P为椭圆C上任意一点，且，当取得最大值时，的面积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线与的斜率之积为，证明：直线l过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由已知可得，根据最大面积为，可推出.进而根据的关系，即可求出的值，得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，根据韦达定理得出坐标关系.然后根据已知，代入整理可得，等式两边同时除以，整理可得，解出即可.【详解】（1）由得，，所以.又，当且仅当时等号成立，此时点位于短轴顶点，所以，所以.又，且，所以，，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，.由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，.联立直线与椭圆的方程，可得.则，由韦达定理可得.又，，，所以有，整理可得，即.因为，所以有，整理可得，，解得.所以直线：恒过点.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，本题属于经典的斜率乘积为定值，直线过定点问题，简称为“手电筒”模型，方法较多，但其中的计算量均较大，需要反复练习，做到胸有成竹.