中考数学考点一遍过 考点05 一元二次方程

这是一份中考数学考点一遍过 考点05 一元二次方程，共42页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。

中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
常见的转化要领有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为根基定理、根基公式或根基图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较庞大的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根基问题。
（3）数形结正当：研究原问题中数量干系（解析式）与空间形式（图形)干系，通过相互调动得到转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的
（5）特殊化要领：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。
（6）结构法：“结构”一个符合的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（7）坐标法：以坐标系为工具，用计较要领解决几许问题也是转化要领的一个重要途径。
考点05 一元二次方程

本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理(根与系数的关系)、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为20分左右,预计2021年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.

一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：(其中为常数，)，其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；(2)一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)把方程整理成的形式；
(5)运用直接开平方法解方程．
3．公式法：(1)把方程化为一般形式，即；(2)确定的值；(3)求出的值；(4)将的值代入即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
(1)当时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当时，方程有1个(两个相等的)实数根；
(3)当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系：对于一元二次方程(其中为常数，)，设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
(1)增长率=增长量÷基础量．(2)设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系：(1)利润=售价－成本．(2)利润率=×100％．
3．面积问题
(1)类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
(2)类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
(3)类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
4. 碰面问题(循环问题)
(1)重叠类型(双循环)：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的(n－1)支球队比赛，∴1支球队需要比(n－1)场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n(n－1)场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=12n(n−1)
(2)不重叠类型(单循环)：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的(n－1)支球队比赛，∴1支球队需要比(n－1)场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n(n－1)场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n(n−1)

考向一 一元二次方程的解
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。

1．(2020·江苏常州·中考真题)若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解析】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

1．(2020·甘肃金昌·中考真题)已知是一元二次方程的一个根，则的值为( )
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【解析】解：把x=1代入得：=0，解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，∴ ，∴，∴，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．

考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：

1．(2020·辽宁营口·中考真题)一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为(　　)
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】解：(x﹣2)(x﹣3)＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．(2020·山东聊城·中考真题)用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【解析】解： 移项得，二次项系数化1的，
配方得即故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
3．(2019·西藏中考真题)一元二次方程的根是_____．
【答案】．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解析】，a=1，b=－1，c=－1，，
，所以，故答案为：．

1．(2020·山东泰安·中考真题)将一元二次方程化成(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
【解析】解：移项得，配方得，
即，∴a=-4，b=21．故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2．(2020·四川乐山·中考真题)已知，且．则的值是_________．
【答案】4或-1
【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】将两边同除以得：
令 则 因式分解得：解得或
即的值是4或 故答案为：4或．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
3．(2020·湖南张家界·中考真题)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【解析】解：x2－6x+8=0 (x－4)(x－2)=0 解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．

考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程，，①若，方程有两个不相等的实数根；②若，方程有两个相等的实数根；③若，方程没有实数根．

1．(2020·山东滨州·中考真题)对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
【解析】解：，
，
不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
2．(2020·黑龙江鸡西·中考真题)已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．
【解析】解： 关于的一元二次方程有两个实数根，，

故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
3．(2020·湖南怀化·中考真题)已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【解析】解：由题意，得：，解得：．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．


1．(2020·湖北荆州·中考真题)定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若(k为实数) 是关于x的方程，则它的根的情况是( )
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【解析】解：根据新运算法则可得：，
则即为，整理得：，则，
可得：
，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
2．(2020·安徽中考真题)下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
【解析】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
3．(2020·四川攀枝花·中考真题)若关于的方程没有实数根，则的值可以为( )．
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解析】解：∵关于的方程没有实数根，
∴△=＜0，解得：，故选项中只有A选项满足，故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.

考向四 根与系数关系
设一元二次方程的两根分别为，，则，．

1．(2020·江苏南京·中考真题)关于x的方程(为常数)根的情况下，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【解析】解：，整理得：，
∴，∴方程有两个不等的实数根，设方程两个根为、，
∵，∴两个异号，而且负根的绝对值大．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
2．(2019·广东广州·中考真题)关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值( )
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】将化简可得，，
利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
【解析】解：由韦达定理，得：＝k－1，,
由，得：，
即，所以，,
化简，得：，解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
3．(2020·四川宜宾·中考真题)一元二次方程的两根为，则_____
【答案】
【分析】根据根与系数的关系表示出和即可；
【解析】∵，∴，，，
∴，，∴，
=，=．故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．

1．(2019·四川成都·中考真题)已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
【答案】-2
【分析】根据根与系数的关系即可求解.
【解析】∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1,=4-3(k-1)=13,K=-2.故答案为:-2.
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用.
2．(2019·广西玉林·中考真题)若一元二次方程的两根为，，则的值是( )
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【解析】根据题意得，，
所以．故选A．
【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.
3．(2020·湖北黄石·中考真题)已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；(2)设方程的两根为、，且满足，求m的值．
【答案】(1)m≥0(2)9
【分析】(1)根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解析】(1)根据题意得△＝()2−4×(−2)≥0，且m≥0，
解得m≥−8且m≥0．故m的取值范围是m≥0；
(2)方程的两根为、，∴=-，=-2
∵∴ 即m+8=17解得m＝9∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．

考向五 一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．

1．(2020·湖北鄂州·中考真题)目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
【解析】解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：，
解这个方程，得：，(不合题意，舍去)．∴x的值为40%．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
2．(2020·贵州黔南·中考真题)在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

(1)填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】(1)10，15；(2)，1128；(3)20
【分析】(1)观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
(2)根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
(3)根据(2)的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：(1)观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．
(2)∵，∴，
当时，．故答案为：；1128．
(3)依题意，得：，化简，得：，
解得：(不合题意，舍去)．答：该班共有20名女生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．

1．(2020·湖南衡阳·中考真题)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【解析】解：如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为
由题意得：．故选C．

【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
2．(2020·山东滨州·中考真题)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】(1)450千克；(2)当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；(3)当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】(1)根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；(2)设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；(3)设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【解析】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得
即整理，得
配方，得解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，由题意，得
即配方，得
，当时，有最大值当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
3．(2020·湖北宜昌·中考真题)资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司)．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；
(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【答案】(1)见解析；(2)55:72
【分析】(1)根据题意任意写出问题解答即可.
(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入A，B的收益中计算即可.
【解析】解(1)问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比
解答：
问题2：A公司营销区域面积比B公司营销区域的面积多多少？解答：
问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比
解答：
(2)法一
法二
法三：
解得，(舍去)
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为
【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.

















1．(2019·四川遂宁·中考真题)已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为( )
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，则a的值为：．故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
2．(2020·上海中考真题)用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
3．(2020·四川雅安·中考真题)如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是( )
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
4．(2020·湖北随州·中考真题)将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【解析】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，∴原式=，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
5．(2020·广西河池·中考真题)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x(x﹣1)＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8(舍去)，
答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
6．(2020·河南中考真题)国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，∴可列方程：，故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
7．(2020·山西中考真题)如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

【答案】
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
8．(2019·山东威海·中考真题)已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【分析】根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=(a+b)2-2ab+2016即可求解.
【解析】，是方程的两个实数根，∴，，，
∴；故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
9．(2020·甘肃天水·中考真题)一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的
周长可求．
【解析】解：∵x2-8x+12=0，∴，∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．(2019·湖北咸宁·中考真题)若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围．
【解析】关于的一元二次方程有实数根，解得： 故选．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
11．(2020·浙江湖州·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解析】解：∵△＝b2﹣4×(﹣1)＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．(2020·湖北省·中考真题)关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为( )
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【解析】解：∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，∴，
整理得，，解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，所以，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
13．(2020·贵州毕节·中考真题)关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【答案】1
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【解析】∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
14．(2019·四川泸州·中考真题)已知，是一元二次方程的两实根，则的值是_____．
【答案】16
【分析】由根与系数的关系可得， ，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.
【解析】，是一元二次方程的两实根，， ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
15．(2019·四川眉山·中考真题)设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】-2017
【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
【解析】∵、是方程的两个实数根，∴，，
∴．故答案为：-2017．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
16．(2020·四川泸州·中考真题)已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________．
【答案】2
【分析】由已知结合根与系数的关系可得：=4，= -7，=，代入可得答案.
【解析】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴=4，= -7，
∴===2，故答案为：2．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题
17．(2020·广西中考真题)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是(　　)
A．x(x+1)＝110 B．x(x﹣1)＝110 C．x(x+1)＝110 D．x(x﹣1)＝110
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解析】解：设有x个队参赛，则x(x﹣1)＝110．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
18．(2020·湖南中考真题)阅读理解：对于x3﹣(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣(n2+1)x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)＝x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)＝(x﹣n)(x2+nx﹣1)．
理解运用：如果x3﹣(n2+1)x+n＝0，那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得(x﹣2)[x(x+2)﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x(x2﹣4)﹣(x﹣2)＝0，
∴x(x+2)(x﹣2)﹣(x﹣2)＝0，则(x﹣2)[x(x+2)﹣1]＝0，即(x﹣2)(x2+2x﹣1)＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
19．(2020·贵州黔东南·中考真题)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为(　　)
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：(x﹣4)(x﹣6)＝0，解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
21．(2019·江苏中考真题)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．
【答案】2.
【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a(2﹣c)＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a(c﹣2)＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：，则，故答案为2．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
22．(2020·湖南邵阳·中考真题)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
【答案】x(x+12)=864
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
【解析】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．
23．(2019·甘肃兰州·中考真题)是关于的一元一次方程的解，则( )
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2(a+2b)＝2×(－1)＝－2.故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
24．(2020·贵州遵义·中考真题)已知，是方程的两根，则的值为( )
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【分析】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
【解析】解：故选：D．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．
25．(2020·江苏南通·中考真题)若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2(x1+x2)计算可得．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2(x1+x2)＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=，x1x2=．
26．(2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x2﹣5x+6＝0，∴(x﹣2)(x﹣3)＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
27．(2020·四川南充·中考真题)已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．
【解析】解：(1)∵一元二次方程有两个实数根，∴解得；
(2)由一元二次方程根与系数关系，
∵，∴即，解得．
又由(1)知：，∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
28．(2019·湖北黄石·中考真题)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为、，且，求的值.
【答案】(1).(2).
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根，
∴△=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0，解得：m≤2；
(2)∵方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程．
29．(2019·四川南充·中考真题)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求实数m的取值范围；(2)当m=2时，方程的根为，求代数式的值.
【答案】(1)；(2)1.
【分析】(1)根据△≥0，解不等式即可；
(2)将m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
【解析】(1)△=
∵原方程有实根，∴△=解得
(2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0，∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，
∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)=(x12+2x1+x1-x1)(x22+3x2+x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)
=(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
30．(2019·辽宁锦州·中考真题)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【答案】(1)y＝220﹣2x；(2)当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【分析】(1)根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价(x-60)与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；(2)月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；
(3)根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
【解析】(1)由题意得，月销售量y＝100﹣2(x﹣60)＝220﹣2x(60≤x≤110，且x为正整数)
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
(2)由题意得：(220﹣2x)(x﹣40)＝2250化简得：x2﹣150x+5525＝0解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
(3)设每个月获得利润w元，由(2)知w＝(220﹣2x)(x﹣40)＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2(x﹣75)2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.
31．(2019·辽宁铁岭·中考真题)小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x(元)，日销量为y(件)，日销售利润为w(元)．
(1)求y与x的函数关系式．(2)要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？(3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)；(2)10元；(3)x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】(1)根据题意得到函数解析式；(2)根据题意列方程，解方程即可得到结论；
(3)根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：(1)根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
(2)根据题意得，，解得：，(不合题意舍去)，
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
(3)根据题意得，，
，∴当时，w随x的增大而增大，当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
32．(2019·山东东营·中考真题)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
【答案】销售单价为元时，公司每天可获利元
【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案.
【解析】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，解得：．，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.










1．(2020·黑龙江鹤岗·中考真题)已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是( )
A．0 B．1 C．−3 D．−1
【答案】B
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】解：根据题意得，解得；故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．(2020·河南中考真题)定义运算：．例如．则方程的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【解析】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
3．(2019·黑龙江伊春·中考真题)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【解析】设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，
解得： (舍去)，．故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
4．(2020·山东潍坊·中考真题)关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=(k-1)2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，
∴(k-1)2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．
【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．(2020·贵州黔西·中考真题)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
6．(2020·浙江衢州·中考真题)某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程(　　)

A．180(1﹣x)2=461 B．180(1+x)2=461 C．368(1﹣x)2=442 D．368(1+x)2=442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180(1+x)2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
7．(2019·山东潍坊·中考真题)关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.
【解析】设，是的两个实数根，
∴，∴，∴，，
∴，
∴或，∴，故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
8．(2020·贵州黔东南·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是(　　)
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解析】解：设另一个根为x，则x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故选：A．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
9．(2020·四川眉山·中考真题)设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【解析】解：由方程可知，
．故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算．
10．(2020·山东济南·中考真题)如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．

【答案】1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解析】解：设道路的宽为x m，根据题意得：(10﹣x)(15﹣x)＝126，
解得：x1＝1，x2＝24(不合题意，舍去)，则道路的宽应为1米；故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
11．(2020·湖北荆门·中考真题)已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【解析】解 (x-3m)(x-m)=0 ∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
12．(2019·广西桂林·中考真题)一元二次方程的根是_____．
【答案】
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：或，所以．故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．(2020·四川甘孜·中考真题)三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【解析】解：解方程得x1=2，x2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．(2020·辽宁大连·中考真题)1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x(x﹣12)＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为(x-12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为(x﹣12)步．依题意，得：x(x﹣12)＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．(2019·内蒙古呼和浩特·中考真题)用配方法求一元二次方程的实数根．
【答案】．
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为，然后利用配方法解方程．
【解析】原方程化为一般形式为，，
，，，
所以，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．(2020·湖北中考真题)已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【解析】解：(1)由题意可知，，
整理得：，解得：，∴的取值范围是：．故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，故有：，
整理得：，解得：，
又由(1)中可知，∴的值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
17．(2020·广西玉林·中考真题)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．
【答案】(1)k>-1；(2)1
【分析】(1)根据∆>0列不等式求解即可；(2)根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
【解析】解：(1)由题意得∆=4+4k>0，∴k>-1；
(2)∵a+b=-2，ab=-k，∴== = =1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
18．(2020·湖北随州·中考真题)已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】(1)求出△的值即可证明；(2)，根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【解析】(1)证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
19．(2020·内蒙古赤峰·中考真题)阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
(2)若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】(1)，2，3(答案不唯一)；(2)见解析；(3)m=﹣4或﹣2或2．
【分析】(1)根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；(2)根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；(3)先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【解析】解：(1)∵，∴，2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3(答案不唯一)；
(2)证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴，∴，∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
(3)∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
20.(2020·上海中考真题)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】(1)504万元；(2)20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【解析】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(2020·辽宁丹东·中考真题)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量(件)与每件的售价(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价(元/件)
60
65
70
销售量(件)
1400
1300
1200
(1)求出与之间的函数表达式；(不需要求自变量的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)与之间的函数表达式为；(2)这种衬衫定价为每件70元；(3)价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】(1)根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；(3)求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解析】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，， 解得，，
∴与之间的函数表达式为；
(2)设该种衬衫售价为x元，根据题意得，(x-50)(-20x+2600)=24000解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴，故这种衬衫定价为每件70元；
(3)设售价定为x元，则有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20(65-90)2+32000=19500(元)．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
22．(2020·重庆中考真题)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
【答案】(1)A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；(2)10．
【分析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；(2)根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
【解析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得，
解得．答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
(2)根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，解得：m1=0(不合题意，舍去)，m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．
23．(2020·湖北荆州·中考真题)阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程(提示：可以用换元法解方程)，
解：设，则有，原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】续解：，，解得，(不合题意，舍去)，
，，，，
经检验都是方程的解．
【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．