2022杭州地区（含周边）重点中学高二下学期期中考试数学含解析

2021学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知等差数列满足，则（ ）A. 5 B. 10 C. 20 D. 40【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的性质求解.【详解】解：由题得.故选：C2. 已知函数的导函数的图象如右下图所示，则的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得.【详解】由题可知，函数单调递增，，函数单调递增.故BCD错误.故选：A.3. 数列( )A. 既有最大项，又有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项 D. 既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】【分析】结合指数函数单调性和值域即可判断．【详解】∵，，∴根据指数函数单调性可知，在1≤n≤10时为减数列且为负，在n≥11时也为减数列且为正，故数列最小项为第10项，最大项为11项．故选：A．4. 已知随机变量满足，则（ ）A. 5 B. 6 C. 12 D. 18【答案】D【解析】【分析】根据方差的性质计算可得；【详解】解：因为，所以；故选：D5. 数列的前2022项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意，利用裂项相法求和即可；【详解】解：记前项和为，则；故选：B6. 已知定义在上的可导函数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件构造函数，对函数求导，可判断出函数的单调性，然后由函数的单调性比较大小即可【详解】令，则，因为，，所以，所以在上为减函数，所以，所以，所以，故选：C7. 某项射击试验中，某人首射中靶概率为0.6，若前一次中靶，则后一次中靶的概率为0.9，若前一次不中靶，则后一次中靶的概率仍为0.6.若此人射击二次，则该人第二次中靶的条件下，第一次中靶的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由条件概率公式计算即可.【详解】设第一次中靶为事件A，第二次中靶为事件B，则，，则.故选：B.8. 已知前项和为的数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用赋值法，分别令求出，，再令可得，再由可求得结果【详解】因为，所以，所以，所以，同理，因为，所以，所以，所以，故选：B二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列求导错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算法则计算可得；【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：ABD10. 已知二项式的展开式中（ ）A. 含项的系数为28 B. 所有项的系数和为1C. 二项式系数最大的项是第五项 D. 系数最大的项是第六项【答案】BC【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，对四个选项一一讨论：对于A：利用通项公式直接求解；对于B：利用赋值法，令x=1，即可求得；对于C：利用二项式系数性质可得；对于D：每一项的系数记为.直接求出系数最大的项.【详解】二项式的展开式的通项公式为.对于A：含项为.故A错误；对于B：在二项式的展开式中，令x=1，可得所有项的系数和为1.故B正确；对于C：二项式的展开式一共有9项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项是第五项. 故C正确；对于D：每一项的系数记为.显然r为奇数，；r为偶数，.要求系数最大的项，只需比较r为偶数的情况：r=0时，；r=2时，；r=4时，；r=6时，；r=8时，.故系数最大的项为第七项.故D错误.故选：BC.11. 已知，，（ ）A. 若事件独立，则B. 若事件互斥，则C. 若事件独立，则D. 若事件互斥，则【答案】AB【解析】【分析】根据条件概率的公式及独立事件与对立事件的概率公式即可求解.【详解】对于A，因为事件独立，所以，所以,故A正确；对于B,因为事件互斥，所以,,故B正确；对于C，因为事件独立，所以，所以，故C不正确；对于D, 因为事件互斥，所以,所以,故D不正确.故选：AB.12. 已知（ ）A. 若，则，使函数有2个零点B. 若，则，使函数有2个零点C. 若，则，使函数有2个零点D. 若，则，使函数有2个零点【答案】ACD【解析】【分析】数形结合，将问题转化为判断直线与曲线交点个数【详解】令，则所以设，则当时，，单调递增；当时，，单调递减在处取得极大值当趋向于时，趋向于；当趋向于时，趋向于又，且当时，；当时，所以，是函数的拐点，所以在处的切线方程为，即如图所示，ACD正确，B错误故选：ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在区间上的平均变化率是___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出函数值的增量，再利用平均变化率的意义计算即得.【详解】依题意，在区间[1，1+]内的函数值的增量为：=f(1+Δx)-f(1)=-1=，于是得＝，所以所求的平均变化率为.故答案为：14. 函数的极小值点是___________.【答案】2【解析】【分析】利用函数极值点的定义求解.【详解】解：因为函数，所以，令，得或，当或时，，当时，，所以的极小值点是2，故答案为：215. 5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.【答案】114【解析】【分析】先把5位学生分为两类分别为3,1,1和2,2,1，再用分步分类计数原理及间接法，结合组合数公式即可求解.【详解】由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，，共有种.甲、乙分配到同一个志愿点，有种所以不同的分配方案有种故答案为：114.16. 已知等比数列的前项和为，若对于，恒成立，则等比数列的公比为___________.【答案】【解析】【分析】由题可得恒成立，由时，可得，进而，即得.【详解】设等比数列的公比为，由题可知，由，可得，∴，即，当时，，∴，又，，恒成立，则，解得（正值舍去）.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）求；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简，再将代入计算即可；（2）根据三角函数的单调性进行转化即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】由（2）知，，由，，解得，所以函数单调递增区间是.18. 如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点在平面内作，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明：因为、分别为、的中点，则，平面，平面，因此，平面.【小问2详解】解：过点在平面内作，因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，点到平面的距离为.19. 盒子里有3个球，其中2个白球，1个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第2次取到红球时，取球终止.（1）求恰好取了4次球的概率；（2）设游戏终止时取出的白球个数为随机变量，求的分布列及期望.【答案】（1）； （2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球，以取得红球为标准分类即得；（2）由题可得的取值为0，1，2，分别求概率即得分布列，再利用期望公式可得.【小问1详解】由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球，设第次取到红球的事件记为，，则，，，故恰好取了4次球的概率；【小问2详解】由题可知的取值为0，1，2，，所以的分布列为：所以.20. 阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）（1）求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；（2）证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量，先求出，再表示出递推关系式，即可求解；（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列，求得，再求得刚服药后即可求解.【小问1详解】设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量，易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的，则，时，，；【小问2详解】由（1）知，，则是以首项为，公比为的等比数列，故，，，故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.21. 已知点为双曲线右支上的点，双曲线在点处的切线交渐近线于点，.（1）证明：为中点；（2）若双曲线上存在点使的垂心恰为原点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)设，代入双曲线方程，得到的切线方程，进而联立渐近线方程分别求出，通过运算即可证明为中点.(2)双曲线上存在点，设，，通过联立与，得到的坐标，然后分别把代入双曲线方程，利用双曲线的几何性质，得到的范围.【小问1详解】设，满足，过的切线方程点满足方程，，同理可得点满足方程，；.所以为中点；【小问2详解】双曲线上存在点，，.由直线与直线得点坐标为，由，得点坐标，将点坐标代入双曲线方程得，与点满足的方程联立得，解得，即.22. 已知函数，实数，为方程的两个不等的根.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的单调性即可求解；（2）通过观察发现在处的切线方程为，在处的切线方程为，利用导数即可证明和，再利用在区间和上的切线与的交点的横坐标与零点的关系即可证明.【小问1详解】函数的定义域为，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以【小问2详解】在处的切线的斜率为，其切线方程为，首先证明：，,在上单调递增，在上单调递减,的最大值，所以成立,在处的切线的斜率为，其切线方程为，再证明：,，在上单调递增，在上单调递减,的最大值，所以成立,不妨设，实数，为方程的两个不等的实根,设直线与在处的切线的交点的横坐标为，则可得,由可得，设直线与在处的切线的交点的横坐标为，则可得,由可得，所以.012