中考经典几何模型与最值问题 专题21 一元二次方程在实际应用中的最值问题试卷

中考经典几何模型与最值问题

每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。比如今年的广东省数学中考，由于题目很难，据说学霸在考场上都忍不住抽泣。学是一门强调思维、技能和方法的学科。学生好数学，刷题真的是必不可少的，但如果盲目刷题，有可能达不到效果。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。

今天整理一下初三中考总复习阶段在教学过程中收集的一些经典题目，今天分享经典最值问题专题，供大家学习复习参考。

经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，题干看似很简单，其中包含了两个经典的数学最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。

经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，关于费马点，弄懂这三道题也就差不多了。旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。

经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。

经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。

经典题目5：这道题目也是一道比较好的题目，题目类型可总结为“瓜豆原理”和“一箭穿心”，也是常见的最值问题之一。

经典题目6：以这道题目来结尾，这是初一年级经典最短路径问题，也是一道非常好的最值问题，是其他最值问题的基础版本。更多好题分享，请稍候。

专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题

【应用呈现】

1、     近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．

【解析】（1）设每年平均增长的百分率为x．
6000=8640，
=1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，
x=20%．
答：每年平均增长的百分率为20%；
（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．
故能实现目标．

2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.

 (1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)

(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．

【解析】(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x　(2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥，由[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝，x2＝1(舍去)，∴5x＝.答：AB的长为米　

【方法总结】

一、一元二次方程判别式求解

1、已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。

【解析】由题意得

    所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以

    即

    解得

    m的最大值是，m的最小值是－1。

2、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）

A．7    B．11    C．12    D．16

【解析】

∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，

∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，

∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．

∵方程有两个实数根，

∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，

∴t≥2，

∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．

故选D．

二、配方法求最值

1、设a、b为实数，那么的最小值为_______。

【解析】

当，，即时，

上式等号成立。故所求的最小值为－1。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为     ．

【解析】

∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+==，∴当，即MD=时MD+有最小值为．故答案为：．

三、 “夹逼法”求最值

1、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h

因为，所以

又因为，代入，得，所以

又因为，代入，得，所以

所以3<h<6，故整数h的最大值为5。

1、     国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．

【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得（1﹣x）2＝0.25，

解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）

答：该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．

2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．

（1）降价后，每件衬衫的利润为　   　元，平均每天的销量为　   　件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？

【解析】（1）∵每件衬衫降价x元，

∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．

（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，

整理，得：x2﹣40x+300＝0，

解得：x1＝10，x2＝30．

∵为了扩大销售，尽快减少库存，∴x＝30．

答：每件衬衫应降价30元．

3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．

（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；

（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？

【解析】

（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．

由题意得：256（1+x）2＝400，

解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），

即2、3这两个月的月平均增长率为25%，

即a的值是25；

（2）设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．

根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，

解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），

答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．

4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．

【解析】

依题意，得：5000（1+x）2﹣5000（1+x）＝1200，

整理，得：25x2+25x﹣6＝0，

解得：x1＝＝20%，x2＝﹣（不合题意，舍去）．

答：x的值为20%．

5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．

（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费　   　元（用含A的代数式表示）；

（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：

根据上表的数据，求A的值．

【解析】（I）超过部分应交通话费（90﹣A）元．

故答案为：（90﹣A）．

（II）依题意，得：10+（80﹣A）＝25，

整理，得：A2﹣80A+1500＝0，

解得：A1＝30，A2＝50．

∵A≥45，

∴A＝50．

答：A的值为50．

6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．

（Ⅰ）根据题意填表；

（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．

【解析】

（I）1×（20﹣1）＝19，3×（20﹣3）＝51，5×（20﹣5）＝75，7×（20﹣7）＝91．

故答案为：19；51；75；91．

（II）不能，理由如下；

设BC＝xm，则AB＝（20﹣x）m，

依题意，得：x（20﹣x）＝100，

整理，得：x2﹣20x+100＝0，

解得：x1＝x2＝10．

∵10＞9，

∴不能围成面积为100m2的矩形花园．