《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

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第七章  平行线的证明7.5 三角形内角和定理第2课时一、教学目标 1.了解三角形外角定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.二、教学重难点重点：了解三角形外角定义，掌握三角形外角的两个定理.难点：能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一 创设情境【复习回顾】教师活动：引导学生回忆前面学习过的内容，提问学生回答下面问题.问题：三角形的内角和是多少度?三角形的内角和定理及其变式是什么?预设： 定理：三角形的内角和等于180°.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.变式：∠A=180°–(∠B+∠C)，∠B+∠C=180°-∠A.     ∠B=180°–(∠A+∠C)，∠A+∠C=180°-∠B.∠C=180°–(∠A+∠B)， ∠A+∠B=180°-∠C.    回忆上节课学习的内容，回答问题.   引导学生回顾上节课学习的知识点，巩固三角形内角和定理，为本节课学习做准备.环节二 探究新知【探究】 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.想一想，一个三角形的外角应具备哪些条件呢？预设：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.教师活动：结合学生回答总结归纳，三角形外角的应具备的条件：(1)角的顶点是三角形的顶点；    (2)角的一边是三角形的一边；    (3)另一边是三角形中一边的延长线.问题1  如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?预设：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的外角.问题2  如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？预设：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.问题3  你能画出△ABC的所有外角吗?预设：教师活动：结合学生标注的外角，总结每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.【议一议】在下图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？预设：∠1+∠4=180°；∠1>∠2，∠1>∠3；∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)，∠1+∠4=180°(平角的意义)，           ∴∠1= ∠2+∠3(等量代换).∴∠1>∠2，∠1>∠3(和大于部分).教师活动：引导学生通过这一个外角的探索，总结出三角形外角的两个定理.【归纳】三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 教师活动：说明什么事定理的推论，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.       思考并回答问题.                     思考并回答问题                      思考并回答问题              理解记忆三角形内角和定理的推论.     引入三角形外角的概念，分析外角的特征，帮助学生理解.                     让学生在图中标注其他外角，通过其他外角深化学生对外角概念的理解.             希望学生通过思考发现有关外角的两个定理，教学中可以对学生进行适度地引导.        理解记忆三角形外角定理，即内角和定理的推论.环节三 应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.     解题过程：证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，∴∠C=∠EAC(等式的性质).∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).【想一想】对于例1，你还有其他证明方法吗？教师活动：引导学生分析，例题通过证明“同位角相等”证出两直线平行，还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补” 证明 .   方法二：证明：由例题推理同样可得:∠DAC=∠C (已证)，∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行).方法三：证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，∴∠B= ∠EAC(等式的性质).∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠EAD= ∠EAC(角平分线的定义).∴∠EAD=∠B(等量代换).∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行).例2：已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC ＞ ∠A分析：要证明两个角的不等关系，可以利用定理“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”.本题的解题关键是画出辅助线，找到三角形的外角与和它不相邻的内角的不等关系.解题过程：方法一：证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵ ∠PDC是△ABD的一个外角  (外角的定义)，∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴ ∠BPC>∠A(不等式的性质) .方法二：证明：连接AP并延长交BC于点E.∵ ∠BPE是△ABP的一个外角(外角的定义)，∴ ∠BPE ＞∠BAP(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵ ∠EPC是△ACP的一个外角(外角的定义)，∴ ∠EPC ＞∠PAC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴ ∠ BPE+ ∠EPC ＞ ∠BAP+ ∠PAC(不等式的性质)，即 ∠BPC ＞ ∠BAC.     明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.                             思考并回答问题.                          明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.                通过解决例题让学生体会三角形外角定理的应用，注意引导学生阅读、理解题意.                         关注解决问题方法的多样化.通过多种解法，开拓学生的思维.                   本例题想让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.环节四 巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图， ∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度?2.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于   （    ）                              A.26°            B.63°C.37°            D.60°  3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.4.如图，∠A=62°，∠ABD=28°，∠ACE=29°，求∠BFC的度数.答案：1.360°解析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得:∠1= ∠ABC+ ∠ACB，∠2= ∠BAC+ ∠ACB，∠3= ∠ABC+ ∠BAC.又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180 °(三角形内角和定理)，∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360 °(等式的性质).2.A    3.360°4.解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，∵∠A=62° ，∠ACE=29°，∴ ∠BEC=91°.∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.           自主完成练习，然后集体交流评价.     通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：  学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾本节课的知识点,形成知识体系，养成回顾、梳理知识的好习惯.环节六布置作业教科书第183页习题7.7第2、3题.学生课后自主完成.加深认识，深化提高.