《三角形内角和定理》第1课时示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

第七章  平行线的证明7.5 三角形内角和定理第1课时一、教学目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.2.能运用三角形内角和定理解决简单的问题.3.在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力.4.经历探索与证明的过程，进一步发展推理运算的能力.二、教学重难点重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.难点：能运用三角形内角和定理解决简单的问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一 创设情境【复习回顾】教师活动：引导学生回忆前面学习过的内容，提问学生回答下面问题.问题1：三角形的内角和是多少度?预设：180°问题2：你还记得这个结论的探索过程吗?预设：(1)测量法：使用量角器分别测量一个三角形的三个内角的值，然后加和计算.(2)剪拼法（撕拼法）:将三角形的两个内角撕下来和剩下的角可以拼成一个平角.     回忆前面课堂学习的内容，回答问题         引导学生回顾原来的探究与验证三角形内角和的过程，力图从探究与验证活动中获取证明思路.环节二 探究新知【合作探究】 (1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明三角形内角和等于180°吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?预设：若只把∠A移到∠1的位置，需要先证明直线a与直线b平行，再利用平行线的性质证明∠B=∠2，同样可以得到∠A+∠B+∠ACB=180°如果不移动∠A，则需画出直线AB的平行线作为辅助线.教师活动：说明辅助线通常画成虚线!(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？预设：做出辅助线，利用平行线的性质：内错角相等、同位角相等，将三角形的三个内角凑成一个平角，从而证明出三角形的内角和是180°.(3)你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流.教师活动：与同学一起分析思路，延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.预设：已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠ACB=180°.证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.【归纳】三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.常见变形：∠A=180°–(∠B+∠C).          ∠B+∠C=180°-∠A.     ∠B=180°–(∠A+∠C).          ∠A+∠C=180°-∠B.∠C=180°–(∠A+∠B).          ∠A+∠B=180°-∠C.  【想一想】在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?与同伴进行交流.预设：已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：过点A作PQ∥BC，∴∠B=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2 (两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.教师活动：鼓励学生积极思考，想出更多的证明方法.【拓展】如图，在△ABC中，如果BC不动，把点A“压”向BC，那么当点A越来越接近BC时，∠A就越来越大(越来越接近180°)，而∠B和 ∠C则越来越小(越来越接近0°).由此你能想到什么? 如果BC不动，把点A“拉离”BC，那么当A越来越远离BC时，∠A就越来越小(越来越接近0°)，而∠B和∠C则越来越大，它们的和越来越接近180°，当把点A拉到无穷远时，便有AB∥AC，∠B和∠C成为同旁内角，它们的和等于180°.由此你能想到什么? 教师活动：引导学生发现，一些数学结论可以通过运动变化的观点理解和认识.       思考并回答问题.                     思考并回答问题               尝试写出完整的证明过程.        理解记忆三角形内角和定理及常见变形.            思考并尝试写出证明过程.                  阅读并思考        结合之前探究发现三角形内角和的过程，引导学生理解并学习辅助线的添加及应用.              让学生在学习移动做出辅助线的方法后，思考并写出严格的证明过程，并进行交流、评价.              帮助学生记忆三角形内角和定理及变形形式，指导学生在解题中的应用.     鼓励学生寻求多样的证明方法，同时在多样的证明方法中感受共性：将分散的要素集中到一起.                让学生了解运动变化的观点对数学结论的影响，初步体验极限的思想. 环节三 应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例：如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.分析： 由于三角形的内角和是180°，那么在一个三角形中已知两个角可以求出第三个角的度数；    因此由已知可以先求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义，求出∠BAD 的度数，在△ABD中，再次利用内角和定理，可以求出∠ADB的度数.解题过程：解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°，∠C=62°(已知)，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).∵AD平分∠BAC (已知)，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义).在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°(已证)，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).【拓展】三角形的内角和是180°，那么n边形的内角和又是多少呢？教师活动：引导学生应用三角形内角和定理求解多边形的内角和.1.四边形的内角和为：2×180°=360°.2.五边形的内角和为：3×180°=540°.3.n边形的内角和为：(n-2) ×180°.     明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.                               思考并回答问题.    通过解决例题让学生体会三角形内角和定理的应用，注意引导学生阅读、理解题意.                          培养学生举一反三的能力，归纳总结证明n边形的内角和.环节四 巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则下列对△ABC形状的判断正确的是(　　)A．锐角三角形        B．直角三角形C．钝角三角形        D．等边三角形2．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则较大锐角的度数是________．3.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在AB和AC上，且DE∥BC.求∠ADE的度数.4.已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点G.求证：EG⊥FG.答案：1.B2.55°3.解：在△ABC中，∵ ∠A=60°，∠C=70°(已知），∴∠B=180°–∠ A–∠C=50°(三角形内角和定理)又∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等).∴∠ADE=50°(等量代换).4.证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.∵ EG，FG分别平分∠BEF，∠EFD，∴ ∠GEF＝ ∠BEG，∠EFG＝ ∠GFD.∴ ∠GEF＋∠EFG＝∠BEG＋∠GFD)＝90°.∴ ∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，即EG⊥FG.           自主完成练习，然后集体交流评价.     通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.环节五 课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.环节六布置作业教科书第180页习题7.6第2、3题.学生课后自主完成.加深认识，深化提高.