北师大版七年级数学下册——专题2.8平行线的性质与判定大题专练（压轴篇，重难点培优）

专题2.8平行线的性质与判定大题专练（压轴篇，重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．

(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°
(3)∠A=105°

【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，

∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，
∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．

(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
【答案】(1)25°
(2)45°
(3)67.5°

【分析】（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°；
（2）过点E作EN∥AB，易证∠NEB=∠AEB， 再根据平行公理的推论可得EN∥CD，再证得∠ECD=90°，进一步证明∠BEF=∠AEF+∠AEB，即可得出∠BEF；
（3）根据平行线的性质得出∠HIF=∠BFI=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）+12∠B=67.5°．
（1）
解：延长BA交CE于点M，

∵AB∥CD，∠C=65°
∴∠AME=∠C=65°
又∵AE⊥AB，
∴∠EAM=90°
∴∠E=90°−∠AME=25°；
（2）
如图，过点E作EN∥AB，

∴∠B=∠NEB，
∵∠B=∠AEB，
∴∠NEB=∠AEB，
∵EN∥AB，AB∥CD，
∴EN∥CD，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠CEN=180°−∠ECD=180°−90°=90°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠BEF=∠AEF+∠AEB=12∠AEC+∠AEN=12∠CEN=45°；
（3）
∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF，
∵AB∥CD，FI∥BE.，
∴∠HIF=∠BFI=∠B，
∴∠IFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+12∠B
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=12∠BFE+12∠B
=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B
=12（180°-45°-∠B）+12∠B
=67.5°
∴∠CHF=67.5°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．

解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作EF∥AB，

则有∠AEF+∠A=180°（______）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（______）．
∴∠FEC+∠C=180°（______）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°


（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；

②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；（2）①∠ABC=120°；②∠BED=12(α+β)；
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立；
（2）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案；
（3）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案．
【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，

则有∠AEF+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行线公理）．
∴∠FEC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°，
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；
（2）①根据题意，由（1）可知
∠EDG+∠BED+∠ABE=360°
∵∠ADC=80°，DE平分∠ADC，
∴∠ADG=180°−80°=100°，∠ADE=40°
∴∠EDG=140°
∵∠BED=160°，
∴140°+160°+∠ABE=360°，
∴∠ABE=60°,
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×60°=120°；
②根据题意，如图：

由（1）可知，∠EBG+∠BED+∠EDH=360°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，
∴∠ABE=12α，∠CDE=12β
∴∠EBG=180°−12α，∠EDH=180°−12β，
∴(180°−12α)+∠BED+(180°−12β)=360°，
∴∠BED=12(α+β)；
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，几何图形中角的运算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算．
4．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．

【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；
（3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【详解】解：（1）平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
∴a∥b．

（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1＝∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，
∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°，
∴∠1＝12×48°＝24°，
∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°．

（3）存在．
AB与CD在EF的两侧时，如图①所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使AB∥CD，
则∠ACD＝∠BAF，
即120°−3t＝110°−t，
解得t＝5；
此时（180°−60°）÷3＝40，
∴0＜t＜40，
∴t＝5符合题意；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使AB∥CD，
则∠DCF＝∠BAC，
即300°−3t＝110°−t，
解得t＝95，
此时（360°−60°）÷3＝100，
∴40＜t＜100，
∴t＝95符合题意；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°，
∠BAC＝t−110°，
要使AB∥CD，
则∠DCF＝∠BAC，
即3t−300°＝t−110°，
解得t＝95，
此时t＞110，
∵95＜110，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
5．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．

【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+12∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°

【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，

理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，

理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
6．（福建省福州市鼓楼区第十八中学2021-2022学年七年级上学期期中考数学试卷）如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2=180°．

(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若3∠M=2∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．
【答案】(1)见详解
(2)13∠FNM=∠NFD−∠AEM，理由见详解
(3)14∠N+∠PMH=180°，理由见详解

【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB，设∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，可得MP∥NQ∥AB∥CD，即有∠EMP=∠AEM=x，∠FNQ=∠NFD=y，∠PMN=∠QNM，进而有∠PMN=∠EMN−∠EMP=2α−x，∠QNM=∠FNM−∠QNF=3α−y，可得2α−x=3α−y，α=y−x，问题得解；
（3）连接PF，可得∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，设∠MPB=α，则∠MPN=3α，∠HFD=β，∠NFH=3β，根据AB∥CD，有∠BEF=∠CFE=∠DFH=β，即有∠PME=∠BEF−∠BPM=β−α，即∠PMH=180°−∠PME=180°+α−β，根据∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，可得∠N=2(β−α)，即可得12∠N+∠PMH=180°．
（1）
解：∵∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∠1+∠2=180°，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴AB∥CD，
得证；
（2）
解：12∠EMN=∠NFD−∠AEM，理由如下：
过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB，

设∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，
∵AB∥CD，MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ∥AB∥CD，
∴∠EMP=∠AEM=x，∠FNQ=∠NFD=y，∠PMN=∠QNM，
∴∠PMN=∠EMN−∠EMP=2α−x，∠QNM=∠FNM−∠QNF=3α−y，
∴2α−x=3α−y，
∴α=y−x，
∴13∠FNM=∠NFD−∠AEM；
（3）
解：12∠N+∠PMH=180°，理由如下：
连接PF，如图3，

即有：∠PMF+∠MFP+∠FPM=180°，∠PNF+∠NFP+∠FPN=180°，
∴∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，
∵∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，
∴设∠MPB=α，则∠MPN=3α，∠HFD=β，∠NFH=3β，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=∠DFH=β，
∴∠PME=∠BEF−∠BPM=β−α，
∴∠PMH=180°−∠PME=180°+α−β，
∵∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，∠MFN=180°−∠NFH=180°−3β，
∴∠N+3α+180°+α−β+180°−3β=360°，
∴∠N=4(β−α)，
∵∠PME=β−α，∠PMH=180°−∠PME=180°−β−α，
∴180°−∠PMH=β−α，
∴14∠N+∠PMH=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
7．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．

(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析

【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，                                    
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，                                        
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．                                    
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．               
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
8．（海南省儋州市鑫源中学2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】(1)110
(2)∠APC=α+β，理由见解析
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α

【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
当P在DB延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
9．（浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．

(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
【答案】(1)成立，理由见详解
(2)45°

【分析】（1）过E点作EN∥AB，根据CD∥AB，可得EN∥CD，根据平行的性质有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，结合∠AEC=∠AEN+∠CEN，即可证明；
（2）根据CD∥AB，可得∠FAD=∠ADC，根据BE、DE分别平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠CDE，再结合（1）的结论即可求解．
（1）
成立，理由如下：
过E点作EN∥AB，如图，

∵EN∥AB，CD∥AB，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，
结论得证；
（2）
∵CD∥AB，
∴∠FAD=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD，
∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20∘，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD=25∘，
根据（1）的结论可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，
即∠BED的度数为45°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识，构筑辅助线EN是解答本题的关键．
10．（江苏省无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)a=3，b=1
(2)t=10或t=85
(3)2∠BAC=3∠BCD

【分析】（1）根据|a−3b|+(a−3)2=0，得a−3b=0，a−3=0，即可求出a，b的值；
（2）设t秒后，两束灯光平行，①当灯A射线转到AN之前；②当灯A射线转到AN之后；根据平行线的性质，即可求出两束灯光互相平行的时间；
（3）设灯A射线转动的时间为t秒，得∠CBD=t，∠CAN=180°−3t，根据∠BAN=45°，得∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)；过点C作HG∥QP，根据平行线的性质，得∠BCA=∠CAN+∠CBD；根据∠ACD=90°，得∠BCD=∠ACD−∠BCA，即可得到∠BAC和∠BCD的数量关系．
（1）
解：∵|a−3b|+(a−3)2=0
∴|a−3b|≥0，(a−3)2≥0
∴a−3b=0，a−3=0
∴a=3，b=1
（2）
解：设t秒后，两束灯光平行
①当灯A射线转到AN之前
∴3t=(20+t)×1
解得t=10
②当灯A射线转到AN之后
∴3t−3×60+(20+t)×1=180°
解得t=85
∴当t=10或t=85秒后，两束灯光互相平行．
（3）
解：设灯A射线转动的时间为t秒
∴∠CBD=t，∠CAN=180°−3t
∵∠BAN=45°
∴∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)
∴∠BAC=3t−135°
过点C作HG∥QP
∴HG∥QP∥MN
∴∠HCB=∠CBD，∠HCA=∠CAN
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN
∴∠BCA=t+(180°−3t)=180°−2t
又∵∠ACD=90°
∴∠BCD=90°−∠BCA
∴∠BCD=90°−(180°−2t)=2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=(3t−135°)∶2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=3(t−45°)∶2(t−45°)
∠BAC∶∠BCD=3∶2
∴2∠BAC=3∠BCD．

【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值是非负数，a2≥0；平行线的性质．
11．（江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．

【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°
【分析】（1）如图，过点P作PN∥AB，根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）解：如图，过点P作PN∥AB，

∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠2＋∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°−120°＝60°．
∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，
即∠EPF＝100°；
（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：
如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，

∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．

∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝12∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝12∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠HGF＝12（∠EPF＋∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF−∠HGE＝12（∠EPF＋∠AEP）−12∠AEP＝12∠EPF，
∵∠EPF＝50°，
∴∠EGF＝25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
12．（江苏省苏州市景城中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．

(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
（1）
解：如图1中，过点E作EG∥AB，

则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）
解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）
解：∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，

因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．

①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】(1)①∠APE=∠α+∠β；②∠APE=∠β−∠α，理由见解析
(2)∠ANE=12(∠α+∠β)
【分析】（1）①过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β再根据∠APE=∠QPE+∠QPA即可得；
②过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β，再根据∠APE=∠QPA−∠QPE即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠β过点N作NQ∥DF，再根据平行线的性质可得∠QNE=∠NED=12∠α，∠QNA=∠NAC=12∠β，然后根据∠ANE=∠QNE+∠QNA即可得．
（1）
解：①∠APE=∠α+∠β，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，如图所示：

∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPE+∠QPA=∠α+∠β；
②∠APE=∠β−∠α，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，

∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPA−∠QPE=∠β−∠α．
（2）
解：∠ANE=12(∠α+∠β)，理由如下：
∵EN，AN分别平分∠PED，∠PAC，
∴∠NED=12∠PED=12∠α，∠NAC=12∠PAC=12∠β，
如图，过点N作NQ∥DF，

∴∠QNE=∠NED=12∠α，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠QNA=∠NAC=12∠β，
∴∠ANE=∠QNE+∠QNA=12∠α+12∠β=12(∠α+∠β)．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
14．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．

(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【答案】(1)BD∥AC；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°

【分析】（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：

∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）
①过点E作EK∥BD，

∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：

∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：

∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
15．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．

(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°
【分析】（1）根据a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判断OC∥AB；
（2）①根据△EOB中有两个内角相等时，分别有4种可能性，分别画出相应的图形，依据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②分点E在点F的右侧或左侧两种情况，设∠AOB=α，利用含有α的代数式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．
（1）
证明：∵a∥b
∴∠AOC＋∠BCO=180°
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠AOC＋∠BAO=180°，
∴AB∥CO．
（2）
解：①∵a∥b，∠AOB=30°
∴∠FOB=∠AOB=30°
∵OC∥AB，∠BAO=100°
∴∠AOC=80°，
∴∠BOC=50°．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=12∠BOC=25°．

1°∠BEO=∠EBO=30°，
∴∠EOB=120°．
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=95°
2°∠BOE=∠EBO=30°
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=5°．
3°∠BOE=∠BEO=75°（点E在点B的左侧）
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=50°．
4°∠BOE=∠BEO（点E在点B的右侧），
∵∠CBO=∠BOE＋∠BEO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=15°．
∴∠EOF=∠BOE＋∠BOF=40°．
综上∠EOF的度数为95°，5°，50°或40°．

②设∠EOF=x，则∠BOC=6x，
∴∠AOB=80°−6x．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=3x．
1°点F在点E右侧，
∠EOB=∠BOF＋∠BOF=4x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=4x，x=8°
∴∠ABO=∠BOC=48°．

2°点F在点E左侧，
∠EOB=∠BOF−∠BOF=2x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=2x，x=10°．
∴∠ABO=∠BOC=60°．
综上，∠ABO的度数为48°或60°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和判定，三角形内角和定理以及角角平分线的定义是正确解答的前提．
16．（浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.

(1)请说明AE∥BC；
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；
②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②40°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E=180°，利用等量代换得到∠BAE+∠B=180°，即可证出AE∥BC；
（2）①过点D作DM∥PQ，则DM∥AE，根据平行线的性质即可得到答案；
②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF'∥AE交AB于点F'，根据平行线的性质即可得到答案．
（1）证明：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E=180°，又∵∠B=∠E，∴∠BAE+∠B=180°，∴AE∥BC．
（2）解：①解：过点D作DM∥PQ，如图所示：∵AE∥PQ，∴DM∥AE，∴∠E=∠EDM，∠Q=∠MDQ，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ=90°，∴∠E+∠Q=∠EDM+∠MDQ=90°，而∠E=60°，∴∠Q=90°−60°=30°．故答案为：30°．②当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF=180°−60°=120°，∴∠QDF=120°+12∠Q=180°−∠Q，∴∠Q=40°；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF'∥AE交AB于点F'，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF'∥PQ，∴∠QDF'=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF'=180°−60°=120°，∴180°−∠Q+12∠Q=120°，∴∠Q=120°；综上所述：∠Q的度数为40°或120°．故答案为：40°或120°
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识并正确作出辅助线．
17．（湖南省岳阳市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF=α0