北京市海淀区2023年八年级下学期期中数学试题【含答案】
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这是一份北京市海淀区2023年八年级下学期期中数学试题【含答案】,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列各组数中,以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4B.,,
C.1,,3D.5,12,13
2.下列等式,正确的是( )
A.B.
C.D.
3.如图,在□ABCD中,AB=4,BC=7,∠ABC的平分线交AD于点E,则ED等于( )
A.2B.3C.4D.5
4.如图,CD是的中线,E,F分别是AC,DC的中点,,则BD的长为( )
A.1B.2C.3D.4
5.如图,在正方形ABCD中,等边的顶点E,F分别在边BC和CD上,则等于( )
A.B.C.D.
6.如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(2,3),以点O为圆心,OA长为半径画弧,交x轴的正半轴于B点,则B点的横坐标介于( )
A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间
7.如图,在中,分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,过点A作,垂足为F,将分割后拼接成矩形BCHG,若,,则的面积是( )
A.8B.10C.14D.16
8.我校举行跳绳比赛,甲、乙两班参赛同学每分钟跳绳个数统计结果如下表:
某同学分析上表后得到如下结论:
①甲、乙两班学生平均成绩相同;
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分跳绳个数为优秀);
③甲班成绩的波动比乙班大.
上述结论正确的是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
二、填空题
9.若在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
10.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AD∥BC,请添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).
11.两直角边分别为6和8的直角三角形,斜边上的中线的长是 .
12.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠AEB= .
13.如图,将两条宽度都为3的纸条重叠在一起,使∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为 .
14.《九章算术》中记载:今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何.译文:今有一竖直着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳索比木柱长尺),牵着绳索退行,在距木柱底部尺处时而绳索用尽.设绳索长为尺,则根据题意可列方程为 .
15.如图,菱形 的边长为4, ,分别以点 和点 为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧相交于 两点,直线 交 于点 ,连接 ,则 的长为 .
16.在▱ABCD中,O为AC的中点,点E,M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点(不与端点重合),EO,MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F,N.
下面四个推断:
①四边形ABFM是平行四边形;
②四边形ENFM是平行四边形;
③若▱ABCD是矩形(正方形除外),则至少存在一个四边形ENFM是正方形;
④对于任意的▱ABCD,存在无数个四边形ENFM是矩形.
其中,正确的有 .
三、解答题
17.计算:
18.如图,在中,,,,,F为AD的中点,求AC,CF的长.
19.已知
20.如图,四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形,求证:.
21.尺规作图:如图,已知线段a,b.
求作:菱形ABCD,使其一条对角线的长等于线段a的长,边长等于线段b的长.
作法:①作直线m,在m上截取线段;
②作线段AC的垂直平分线EF,交线段AC于点O;
③以点A为圆心,线段b的长为半径画弧,交直线EF于点B,D;
④分别连接AB,BC,CD,DA;
则四边形ABCD就是所求作的菱形.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵EF垂直平分AC,
∴AB= ▲ , ▲ = ▲ ,( )
∵,
,
∴四边形ABCD是菱形.( )
22.从2020年5月1日开始,新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施.为了调查同学们对垃圾分类知识的了解情况,小清从我校初中三个年级各随机抽取10人,进行了相关测试,获得了他们的成绩(单位:分),并对成绩进行了整理、描述和分析,下面给出了相关信息:
a.30名同学测试成绩的统计图如下:
b.30名同学测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:,,,,,):
c.测试成绩在这一组的分别是:
73 74 77 75 70 74 73 78
d.小华的知识测试成绩为85分.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)小华的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ;
(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为 ;
(3)序号为1-10的学生是七年级的,他们的成绩的方差记为;序号为11-20的学生是八年级的,他们的成绩的方差记为,序号为21-30的学生是九年级的,他们的成绩的方差记为,直接写出,,的大小关系 ;
(4)成绩80分及以上记为优秀,若我校初中三个年级840名同学都参加测试,估计成绩优秀的同学约为 人.
23.如图,在平行四边形中,,作,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:四边形ACBE是矩形;
(2)连接OD.若,,求OD的长.
24.观察猜想
(1)观察猜想:①;②;③.
通过上面三个计算,可以初步对任意的非负实数a,b做出猜想: ;
(2)验证结论:我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证,请你利用与下图全等的四个矩形,构造几何图形对你的猜想进行验证.(要求:画出构造的图形,写出验证过程)
(3)结论应用:如图,某同学在做一个面积为800cm2,对角线相互垂直的四边形玩具时,用来做对角线的竹条至少要 m.
25.如图,在正方形ABCD外有一点P,满足,以AP,AD为邻边作.
(1)如图1,根据题目要求补全图形;
(2)连接QC,求的度数;
(3)连接AQ,猜线段AQ,PQ和PB之间的数量关系并证明.
26.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1.线段(m,n均为正整数),点A,C在格点上,以AC为对角线画出正方形ABCD(B,D落在网格内).
(1)当m= ,n= 时(给出一组值即可),B,D在格点上,在网格中画出正方形ABCD ;
(2)当m= ,n= 时(给出一组值即可),B,D均不在格点上,在网格中画出正方形ABCD(尺规作图,保留痕迹,不写作法);
(3)当m,n满足 时,B,D一定在格点上(网格纸足够用).
27.对于平面直角坐标系xOy中的图形和图形给出如下定义:在图形上存在两点A,B(点A,B可以重合),在图形上存在两点M,N(点M,N可以重合)使得.则称图形和图形满足限距关系.
(1)如图,点,,,点F在CE上运动(点F可以与C,E重合),连接OF,DF.
①线段OF的最小值为 ,最大值为 ;线段DF的取值范围是 ;
②在点O,D中,点 与线段CE满足限距关系;
(2)如图,正方形ABMN的边长为2,直线PQ分别于x轴,y轴交于点Q,P,且与x轴正方向的夹角始终是,若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系,求点P的纵坐标的取值范围;
(3)如图,正方形ABMN的顶点均在坐标轴上,,G,H是正方形边上两点,分别以G,H为中心作边长为1的正方形,与正方形ABMN的四边分别平行,若对于任意的点G,H,以G,H为中心的正方形都满足限距关系,直接写出b的取值范围.
1.D
2.A
3.B
4.B
5.C
6.A
7.D
8.A
9.x≥-3
10.AD=BC(答案不唯一)
11.5
12.15°
13.6
14.
15.
16.②③④
17.解:
=.
18.解:∵AC⊥BD,BC=8,AB=10,
∴AC=,
∵F为AD中点,
∴AF=CF=FD,
∵∠D=60°,
∴∆FCD为等边三角形,
设CD=x,则AD=2x,
∴,即,
解得:(负值已舍去),
∴CF=CD=.
19.解:∵x2-2x-3=(x-3)(x+1),
将x= +1代入上式得:( +1-3)( +1+1),
=( -2)( +2),
=( )2-22,
=3-4,
=-1.
20.证明:连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD与四边形AECF为平行四边形,
∴BO=DO,EO=FO(平行四边形的对角线互相平分)
∴.BO-EO=DO-FO,
即BE=DF.
21.(1)解:按照步骤,作图如图所示:
(2)证明:∵EF垂直平分AC,
∴AB=BC,AD=CD,(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∵AB=AD,
∴AB=BC=AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
故答案为:BC;AD;CD;线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;四条边都相等的四边形是菱形
22.(1)5
(2)74
(3)
(4)280
23.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AC⊥AD,
∴∠EAC=∠DAC=90°,
∵∠ECA=∠ACD,
∴∠AEC=∠ADC,
∴CE=CD,
∴AE=AD=BC,
∵AE∥BC,
∴四边形ACBE是平行四边形,
∵∠EAC=90°,
∴四边形ACBE为矩形;
(2)解:如图,过点O作OF⊥DE于F,
由(1)可知,四边形ACBE为矩形,
∴对角线AB与CE相等且互相平分,AO=,
∴OA=OC,
∵∠ACD=∠ACO=60°,
∴∆AOC为等边三角形,
∴∠OAC=60°,
∵∠EAC=90°,
∴∠FAO=90°-60°=30°,
在Rt∆AFO中,
OF=,,
在Rt∆AEB中,,
AD=AE=,
∴DF=AF+AD=,
∴OD=.
24.(1)
(2)解:如图所示,将四个小长方形围城一个大正方形,且画为阴影,
中间所围成的小正方形的边长为:,
所围成的图形的面积为:,
即,
∴a+b;
(3)80
25.(1)解:如图所示,过点P作PQ∥AD,过点D作DQ∥AP,PQ、DQ相交于点Q,四边形APQD即为所求;
(2)解:连接CQ,如图所示,
∵APQD为平行四边形,
∴AD∥PQ,AD=PQ,
∵AD∥BC,AD=BC,
∴PQ∥BC,PQ=DC,
∴PQCB为平行四边形,
∴∠PQD+∠APQ=180°,∠QPB+∠PQC=180°,
∵∠APB=∠APQ+∠QPB=45°,∠PQD+∠PQC+∠DQC=360°,
∴∠DQC=45°;
(3)解:过点D作DH⊥DQ交QC于点H,
∵∠DQC=45°,
∴∠DHC=45°,
∴DQ=DH,
∴∆DQH为等腰直角三角形,
∴∠QDH=∠ADC=90°,
∴∠ADQ+∠QDC=∠HDC+∠QDC,
∴∠ADQ=∠HDC,
在∆AQD与∆CHD中,
,
∴∆AQD≅∆CHD,
∴AD=DC=PQ,AQ=CH,
由(2)得PQCB为平行四边形,
∴PB=CQ,
线段AQ、PQ、PB之间的数量关系转化为CH、DC、QC之间的关系,
过点D作DE⊥QH,
∴DE=QE=EH=,
∴CE=EH-CH=,
∴,
即,
∴线段AQ、PQ、PB之间的数量关系为.
26.(1)2;4;
(2)1;4;如图所示,正方形ABCD即为所求(答案不唯一);
(3)m+n为偶数
27.(1);;;O
(2)解:∵点P坐标为(0,a),∠PQO=30°,
∴OP=a,PQ=2a,
∴OQ=,
∵正方形的边长为2,
∴OA=OB=,
当时,即a=时,点Q与点B重合,
∴当时,线段PQ在正方形内部,与正方形无公共点,
此时正方形上的点到线段PQ的最短距离为:
,
解得:,
最大距离为,
解得:,
∵线段PQ与正方形满足限距关系,
∴,
解得:a,
∴;
当时,
线段PQ与正方形有公共点,
线段PQ与正方形满足限距关系;
当时,线段PQ在正方形外部,与正方形没有公共点,
由去可知:∠OPQ=60°,
∴∠PAC=30°,∠PMD=30°,
∴,,
此时正方形到线段PQ的最小距离为,
最大距离为:,
由于线段PQ与正方形满足限距关系,
∴,
解得:,
∴;
综上可得:;
(3)解:如图所示:中心H、G分别与B、N重合,
A(0,b),
∴OA=OB=ON=b,
∵小正方形的边长为1,
∴对角线长为,
∴两个正方形的距离的最小值为BN-BD-PN=2b-,
最大值为:BN+CB+NQ=2b+,
∵两个正方形满足限距关系,
∴2b+,
解得:,
∴.班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
40
129
161
115
乙
40
131
90
115
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