2023年浙江省杭州市中考数学模拟卷

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一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 计算的结果是（ ）．
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照“两数相除，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可．
【详解】解：（-4）÷2=-2
故选：A．
【点睛】本题考查有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，注意先确定运算的符号，同号得正，异号得负．
2. 第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加求解即可．
【详解】解：=a6+2=a8，
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点坐标变换规律即可得．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，熟练掌握关于原点对称的点坐标变换规律是解题关键．
5. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（ ）
A. 14，5B. 5，9C. 9，5D. 14，4.5
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据众数和中位数的定义可得答案．
【详解】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的两位数为5和5，所以中位数为5
故答案为：9，5．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数．
6. 从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可．
【详解】解：设表示甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师，列表如下
共有12种等可能结果，其中恰好抽到甲、丙两人有2种结果，
故恰好抽到甲、丙两人的概率为．
故选B
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
7. 如果关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，则代数式2022－a－b的值为（ ）
A. －2022B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是x＝1，
∴，
∴，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
8. 若一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先求出外角的度数，根据多边形的外角和等于即可求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都等于，
∴这个多边形的每一个内角对应的外角度数为，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能灵活运用多边形的外角和等于进行求解是解此题的关键．
9. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系是解题的关键．
10. 已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线，的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，利用两点间距离公式，进行求解即可．
【详解】解：设点A的坐标为，则点B的坐标为
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
∵点D的横坐标为，
∴
把点代入得： (舍)，
∴，直线的解析式为：，
∵将沿线段所在的直线翻折，得到，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得：
解得：，
∴，
联立，解得：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合应用，坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键．
二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】过点作于，交于，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13. 不等式组的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分别解出两个不等式的解集，并将解集表示在数轴上，找到公共解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
将解集表示在数轴上，如图，
不等式组的解集为
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，已知，则小车上升的高度是________米．
【答案】10
【解析】
【分析】由题意易得该直角三角形的三边之比为5∶12∶13，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴该直角三角形的三边之比为5∶12∶13，
∴，
∵小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，
∴小车上升的高度是米；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
15. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，BE，BO，EO，由的长为，可求出圆的半径，然后根据图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE，即可求解.
【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴，解得R=2.
∴AB=ADcs30°=2，
∴BC=AB=,
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=，
故答案为：.
【点睛】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理的推论，添加辅助线，利用割补法求面积是关键.
16. 如图，菱形的一边在轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线和相交于点D且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出 ，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
又∵D在反比例函数上，
∴，
∵，
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
三.解答题（共7小题，满分66分）
17. 计算：
（1）；
（2）x（1－x）+（x+1）（x－1）．
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的代数意义，算术平方根的定义以及零指数幂的定义计算即可．
（2）利用单项式乘多项式的运算法则以及平方差公式化简即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：原式，
．
【点睛】本题考查了平方差公式，算术平方根，单项式乘多项式以及零指数幂的定义和法则，牢固掌握运算法则是解题的关键．
18. 某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：
（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用喜欢跳绳的学生人数除以所占的百分比，求出班级人数，用班级人数减去喜欢跳绳，乒乓球和其他项目的人数，求出喜欢篮球项目的人数，用喜欢乒乓球的人数除以班级总人数，得到乒乓球的百分比，用全校人数乘以喜欢篮球的百分比，求出全校喜欢篮球的人数；
（2）补全条形图即可；
（3）画树状图求概率即可．
【小问1详解】
解：调查的总人数为人，
∴喜欢篮球项目同学的人数人；
扇形图中：“乒乓球”的百分比：，
全校喜欢篮球的人数：人，
∴估计全校学生中有人喜欢篮球项目；
故答案为：；
【小问2详解】
补全条形图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率 ．
【点睛】本题考查条形图和扇形图综合应用，以及画树状图法求概率．通过扇形图和条形图有效地获取信息，是解题的关键．
19. 已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，与交于点G．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据线段的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
20. 如图，内接于，，与关于直线对称，交于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，连接并延长交于F，根据等边对等角得到，再证明，得到，由，得到，由轴对称的性质可得，即可证明，从而证明是的切线；
（2）由轴对称性质得，，再由圆内接四边形对角互补推出，，得到，解，求出，则，即可得到．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，连接并延长交于F，
∵，
∴，
∵内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：由轴对称的性质得，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【答案】（1）18千米/小时，
（2）； （3）4.5千米
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【小问1详解】
解：由图可得，
小王的骑车速度是：(千米/小时)，
点C的横坐标为：；
【小问2详解】
设线段对应的函数表达式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为；
【小问3详解】
当时，，
∴此时小李距离乙地的距离为：（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有千米．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22. 如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接CE，作交射线AD于点F，过点F作交射线CD于点G，连接EG交AD于点H．
（1）求证：．
（2）求HD的长．
（3）如图2，连接CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连接PQ，当与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）2 （3）的值为
【解析】
【分析】（1）证明即可得结论；
（2）由为AB中点，，得，进而求得，从而有，，再证明即可求解；
（3）由“边边边”证明，得．进而分四种情况讨论求解，①如图2，当时，②如图3，当时，③如图4，当时，进而求得DQ的长．
【小问1详解】
证明：四边形ABCD为正方形，
，．
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：
为AB中点，，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
【小问3详解】
解：，
．
，
，
．
①如图2，
当时，
可得，
．
过点P作于点M
为中点，
，
，
，
．
②如图3，
当时，
，
，
．，
，
，
，
，
．
③如图4，
当时，
，
．
，
，
．
过点M作于点N，
设，则．
．
在中，过点Q作于点J，
设．
，
．
综上所述，DQ值为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质、相似三角形的判定及性质以及解直角三角形，掌握分类思想，构造恰当辅助线是解题的关键．
23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．
（1）已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
（2）若，求证：；
（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或
【解析】
分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，解方程即可．
【小问1详解】
解：把，代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
解得（负值舍去）；
当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，
同理可得 ，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
A
B
C
D
A
--
AB
AC
AD
B
BA
--
BC
BD
C
CA
CB
--
CD
D
DA
DB
DC
--