2023年内蒙古乌兰察布市集宁区天立学校中考数学调研试卷（含解析）

这是一份2023年内蒙古乌兰察布市集宁区天立学校中考数学调研试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若xy=52，则x−yy的值为( )
A. 35B. 25C. 23D. 32
2. 在△ABC中，∠C=90°，AB=25，sinB=35，则AC的长为( )
A. 9B. 15C. 18D. 12
3. 如图，在⊙O中，∠BOC=130°，点A在BAC上，则∠BAC的度数为( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 130°
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35，则tanB的值是( )
A. 35B. 45C. 43D. 34
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )
A. 8−πB. 4−πC. 2−π4D. 1−π4
6. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是( )
A. 13
B. 54
C. 65
D. 76
7. 下列等式成立的是( )
A. sin45°+cs45°=1B. 2tan30°=tan60°
C. 2sin60°=tan45°D. sin230°=12cs60°
8. 如图，点E是AB的中点，AC=5，BD=2，若∠A=∠CED=∠B，则AB的长是( )
A. 7
B. 10
C. 210
D. 10
9. 若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：4B. 4：1C. 1：16D. 16：1
10. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )
A. 17.5m
B. 17m
C. 16.5m
D. 18m
11. 点D是等边三角形ABC的边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，若BF=54，则CE的长为( )
A. 53
B. 75
C. 125
D. 35
12. 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长的最小值是( )
A. 2B. 5−2C. 25−2D. 3
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
13. 如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm．
14. 如图，已知A (4,2)，B(2,−2)，以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为______．
15. 如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cs∠BAC的值为 ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD//AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE=______．
17. 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE⋅BE=______．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.若∠BPC=12∠BAC，则tan∠BPC= ．
19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，csA=35．
求
(1)DE、CD的长；
(2)tan∠DBC的值．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
如图，海中有一灯塔P，它的周围6海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
22. (本小题8.0分)
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗？为什么？
(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
23. (本小题8.0分)
如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为4，AB=8，求平行四边形OAEC的面积．
24. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE=32，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN=NC，求证：AM⊥BC；
(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠EHG=∠EFG+∠CEF，且HF=2GH，求EF的长．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2,0)，顶点C的坐标是(0,4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1=2S2，且直线CN//AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH−OG=7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵xy=52，
∴x−yy=xy−1=52−1=32．
故选：D．
先把x−yy化成xy−1，再代值计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把x−yy化成xy−1是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，
∴sinB=ACAB，
∵AB=25，sinB=35，
∴ACAB=35，
∴AC=35AB=35×25=15，
故选：B．
由锐角三角函数定义得ACAB=35，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠BOC=130°，点A在BAC上，
∴∠BAC=12∠BOC=12×130°=65°，
故选：B．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=ac=35，tanB=ba和a2+b2=c2．
∵sinA=35，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB=ba=4x3x=43．
故选：C．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意可知AC=AB2−BC2=(5)2−22=1，则BE=BF=AD=AC=1，
设∠B=n°，∠A=m°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，即n+m=90，
∴S阴影部分=S△ABC−(S扇形EBF+S扇形DAC)=12×2×1−(nπ×12360+mπ×12360)=1−(n+m)π360=1−π4，
故选：D．
先根据直角三角形中的勾股定理求得AC=1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分=S△ABC−(S扇形EBF+S扇形DAC)，将相关量代入求解即可．
本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
6.【答案】C
【解析】解：延长BE交CD的延长线于点M．

∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=BC=4a，DF=2a，
∵CM//AB，
∴DMAB=DEAE=13，
∴DM=43a，
∴FM=DF+DM=103a，
∴AGFG=BAFM=4a103a=65．
故选：C．
延长BE交CD的延长线于点M.利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：A、因为sin45°+cs45°=22+22=2，故错误，不符合题意；
B、因为2tan30°=233，tan60°=3，所以2tan30°≠tan60°，故错误，不符合题意；
C、因为2sin60°=3，tan45°=1，所以2sin60°≠tan45°，故错误，不符合题意；
D、因为sin230°=14，12cs60°=14，所以sin230°=12cs60°，故正确，符合题意．
故选：D．
根据特殊角的三角函数值，分别计算即可判断．
本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明△ACE∽△BED，可得ACBE=AEBD，由此即可解决问题．
【解答】
解：∵∠BEC=∠BED+∠CED=∠A+∠ACE，∠A=∠CED，
∴∠ACE=∠BED，
∵∠A=∠B，
∴△ACE∽△BED，
∴ACBE=AEBD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=EB，
∴AE2=AC⋅BD=10，
∵AE>0，
∴AE=10，
∴AB=2AE=210．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故选：C．
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE=1.5m，AB=1.2m，BC=12.8m，
∴AC=AB+BC=14m，
∴1.21.2+12.8=1.5DC，
解得，DC=17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=3，∠A=∠B=∠C=60°．
由翻折的性质可知：∠EDF=60°．
∴∠FDB+∠EDA=120°．
∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠AED=∠FDB．
∴△AED∽△BDF．
∴AEAD=BDFB，即AE1=21.25．
解得：AE=85．
∴CE=3−AE=3−85=75．
故选：B．
先求得AC=AB=3，由翻折的性质可知：EC=ED，然后证明△AED∽△BDF，利用相似三角形的性质可求得AE=53，然后可求得CE的长．
本题主要考查的是等边三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求得AE的长是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：连接AE，取AB的中点F，连接EF，CF，如图所示：
∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴EF=12AB，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴EF=2，
在Rt△AFC中，根据勾股定理，得CF=22+42=25，
当点E，F，C三点共线时，CE取得最小值，
CE的最小值为CF−EF=25−2，
故选：C．
连接AE，取AB的中点F，连接EF，CF，根据AD是直径，可得∠AED=90°，进一步可得∠AEB=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得EF=2，根据勾股定理可得CF的长，根据三角形三边关系即可确定CE的最小值．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵AB是小圆O的切线，
∴OC⊥AB．
∵AB是大圆O的弦，
∴AC=12AB，
在Rt△AOC中，AC=OA2−OC2=102−62=8(cm)，
则AB=2AC=16cm．
故答案为：16．
根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理得到AC=12AB，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14.【答案】(2,1)或(−2,−1)
【解析】解：∵A (4,2)，以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为：(2,1)或(−2,−1)．
故答案为：(2,1)或(−2,−1)．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k计算即可．
本题考查的是位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
15.【答案】22
【解析】解：法一、∵AC=32+12=10，BC=12+32=10，
AB=22+42=20=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
∴cs∠BAC=ACAB=1025=22．
故答案为：22．
法二、∵AC=32+12=10，BC=12+32=10，
AB=22+42=20=25，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，AC=BC．
∴∠BAC=45°．
∴cs∠BAC=cs45°=22．
故答案为：22．
先利用格点和勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，最后利用三角形的边角关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
16.【答案】955
【解析】
【解答】
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=AB2−BC2=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD//AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴AECE=BEDE=ABCD=106=53，
∴CE=38AC=38×8=3，
在Rt△BCE中，
BE=BC2+CE2=62+32=35，
∴DE=35BE=35×35=955，
故答案为：955．
【分析】
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
由CD//AB，∠D=∠ABE，∠D=∠CBE，所以CD=BC=6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．
17.【答案】1
【解析】解：如图连接OE．
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠EAO=∠EOB，
∵∠AEO=∠OEB=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴AEOE=OEBE，
∴AE⋅BE=OE2=1，
故答案为1．
想办法证明△AEO∽△OEB，可得AEOE=OEBE，推出AE⋅BE=OE2=1．
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
18.【答案】43
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=5，
∴BE=12BC=12×8=4，∠BAE=12∠BAC，
∵∠BPC=12∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=AB2−BE2=52−42=3，
∴tan∠BPC=tan∠BAE=BEAE=43．
故答案为：43．
先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=12∠BAC，故∠BPC=∠BAE.再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=BEAE=43．
本题考查了锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．
19.【答案】323
【解析】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE=AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，
∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故答案为：323．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，由AE=6，csA=AEAD=35，得：AD=10，
由勾股定理得DE=AD2−AE2=102−62=8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．
(2)方法一：由(1)AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：DEBC=AEAC，即8BC=618，BC=24，
得：tan∠DBC=CDBC=824=13
方法二：由(1)得AC=18，又csA=ACAB=35，得AB=30，
由勾股定理得BC=24得：tan∠DBC=13．
【解析】(1)由DE⊥AB，AE=6，csA=35，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；
(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．
21.【答案】解：过P作PD⊥AB于D．
AB=18×4060=12海里．
∵∠PAB=30°，∠PBD=60°
∴∠PAB=∠APB
∴AB=BP=12海里．
在直角△PBD中，PD=BP⋅sin∠PBD=12×33=63海里．
∵63>6
∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．
【解析】易证△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，求得PD的长，与6海里比较大小即可．
本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为(8−x)米，
∴S=x(8−x)=−x2+8x，其中0