2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为 D. 没有实数根2.  如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的(    )
 A. 左视图会发生改变，其他视图不变 B. 俯视图会发生改变，其他视图不变
C. 主视图会发生改变，其他视图不变 D. 三种视图都会发生改变3.  我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则该人送来的这批米内夹谷约为(    )A. 石 B. 石 C. 石 D. 石4.  在下列说法中“
凡正方形都相似；
凡等腰三角形都相似；
凡等腰直角三角形都相似；
直角三角形斜边上的中线与斜边的比为：；”中，
正确的个数有个．(    )A.  B.  C.  D. 5.  对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是(    )A. 对称轴是直线，最大值是 B. 对称轴是直线，最小值是
C. 对称轴是直线，最大值是 D. 对称轴是直线，最小值是6.  一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其个白球，个红球，个黄球．从布袋里任意摸出个球，是白球的概率为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图所示，中，点在上，点在外，交于点，以下条件不能判定是的切线的是(    )A.
B.
C.
D. 点是的中点8.  如图所示，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图所示，是的内接三角形，点是的中点，则下列结论正确的是(    )A.
B.
C.
D. 10.  在阳光的照射下，一块三角尺的投影一定不会是(    )A. 线段 B. 与原三角尺全等的三角形
C. 与原三角尺不全等的三角形 D. 点11.  如图所示，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 12.  三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是(    )
 A.  B.  C.  D. 13.  如图所示，点是的半径延长线上的一点，过点作的切线，切点为，是的弦，连接，，若，则的大小为(    )
A.  B.  C.  D. 14.  如图所示，是一块绿化带，阴影部分是的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知，，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带上，则小鸟正好落在花圃上的概率为(    )
 A.  B.  C.  D. 15.  如图所示，若双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域即图中阴影部分，不含边界内的整点点的横、纵坐标都是整数只有个，则的值可能是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）16.  将二次函数的图象先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的函数图象的解析式为        ．17.  如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处．
点光源所在的位置是        从，，，中选择一个；
若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为        米
18.  如图所示，已知正八边形内接于，连接，相交于点若的半径为，则        ，        度，的面积为        ．
 三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．
解方程：．20.  本小题分
已知反比例函数为常数，．
若该反比例函数的图象与直线有一个交点为，求的值；
在的条件下，设点为该反比例函数图象上的一点，且，请比较与的大小关系．21.  本小题分
如图所示，在中，直径弦，点为垂足，，求的面积．
22.  本小题分
如图所示，是一个迷宫示意图，嘉嘉和淇淇分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择可能会随机进入，，三个房间中的某一个．
嘉嘉进入房间的概率为        ；
请用画树状图或列表等方法，求出两人在走迷宫结束后，房间至少有个人的概率．
23.  本小题分
已知，如图所示，的半径是，点，，在上．
尺规作图要求：保留作图痕迹，不用写出作法和证明过程：
在劣弧上找一点，使是等边三角形；
在劣弧上找一点，使．
在的基础上，连接，，设它们交于点，求的大小．
过点作的切线，设，，请直接写出与的数量关系．
24.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，．
当时，点的纵坐标为        ；当时，点的纵坐标为        ．
当时，通过推理，嘉嘉同学认为的值是一个定值她的说法正确吗？如果你认为正确，请求出这个定值是多少？如果你认为不正确，请说明理由．
淇淇同学认为，当或时，的值也是一个定值他的说法正确吗？如果你认为正确，请直接写出这个定值是多少？如果你认为不正确，请说明理由．
连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是多少？请直接写出结果，不必给出说明．
25.  本小题分
如图所示，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，在第四象限内的抛物线上有一点，连接，，与交于点．
求抛物线的解析式；
求面积的最大值；
设，请直接写出的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 2.【答案】 【解析】解：如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：．
根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
 3.【答案】 【解析】解：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，
这批米内夹谷约为：石．
故选：．
利用概率的意义能求出结果．
本题考查用样本估算总体，掌握概率的意义是解答本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：正方形四个角都是直角，四条边都相等，所以对应成比例，所以都相似，正确；
等腰三角形的两底角相等，而与另一个等腰三角形的两个底角不一定相等，所以不一定相似，本选项错误；
等腰直角三角形都有一个直角，且另两角都是的锐角，所以都相似，正确；
直角三角形斜边上的中线与斜边的一半，所以比为：，正确．
故选：．
根据相似图形的定义和各图形的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查相似图形的判定和相似三角形的性质，比较简单．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】
解：由抛物线的解析式：，
可知：对称轴是直线，
开口方向向下，所以有最大值，
故选A．  6.【答案】 【解析】解：不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其个白球，个红球，个黄球，共个球，
从布袋里任意摸出个球，是白球的概率为，
故选：．
用白球的个数除以球的总数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 7.【答案】 【解析】解：，且，
，可知是的切线，
故选项A不符合题意；
B.，且，
，可知是的切线，
故选项B不符合题意；
C.，
是直角三角形，且，可知是的切线，
故选项C不符合题意；
D.点是的中点不能得出，即不能判断出是的切线，
故选项D符合题意；
故选：．
根据切线的判定定理进行判断即可．
本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：直线，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，故选项错误，不符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D.，选项正确，符合题意．
故选：．
根据等弧对等弦，三角形内角和逐项判断即可．
此题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
 10.【答案】 【解析】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．
当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；
当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，
不可能是一个点，
故选：．
将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段，当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
 11.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为，
根据二次函数的对称性得：点关于对称轴直线的对称点为，
当时，，
的值等于．
故选：．
根据二次函数对称性可求出点关于对称轴直线的对称点为，然后把代入即可求出答案．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点关于对称轴的对称点．
 12.【答案】 【解析】解：在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
C.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
D.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：．
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行．
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
 13.【答案】 【解析】解：如图所示，连接、，
，
是的切线，为半径，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故选：．
连接、，根据切线的性质得到，设，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出、的度数，再根据计算即可得到答案．
本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：设的半径为，
在中，，，
，
如图，设，，与的切点分别为点，，，连接，，则，，

，
四边形是矩形，
阴影部分是的内切圆，
，，，
四边形是正方形，
，
，，
，
解得：，
圆的面积为，
，
小鸟正好落在花圃上的概率为．
故选：．
设的半径为，根据勾股定理求出，设，，与的切点分别为点，，，连接，，则，，可证得四边形是矩形，再由切线长定理可得四边形是正方形，从而得到，进而得到，，可求出，再分别求出圆的面积和，然后根据概率公式，即可求解．
本题主要考查的是几何概率，涉及到切线长定理，正方形的判定和性质，根据题意得到圆的面积是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：抛物线与轴所围成的区域不含边界内整点点的横、纵坐标都是整数的个数是个，坐标分别为：，，，，，，，

要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域即图中阴影部分，不含边界内的整点点的横、纵坐标都是整数只有个，
结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，取临界值，当双曲线恰好经过点时，取临界值，
双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域即图中阴影部分，不含边界内的整点点的横、纵坐标都是整数只有个，
的范围为：，
故选：．
利用图象可得满足题意的的临界值，进而求解．
本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点是解决本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：由“上加下减”“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向上平移个单位，所得函数的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移个单位所得函数的解析式为：．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
 17.【答案】  【解析】解：如图所示，点即为点光源所在的位置，

故答案为：
延长交于点，

点光源发出的过点的光线，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，

乙杆的高度为米．
故答案为：．
利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置；
延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度．
本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键．
 18.【答案】    【解析】解：如图，连接，，与交于点，

由题意可知，，，
是正八边形，
，
，
，，
所对的圆心角为，
所对的圆周角为，
，
，．
故答案为：，，．
连接，，与交于点，先根据正八边形和圆的性质求出，再根据特殊角三角函数值求出的长，再根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出，最后根据三角形的面积公式求出的面积即可．
本题考查了正八边形与圆的综合，熟练运用正八边形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
 19.【答案】解：

．
，
，
，
，
，． 【解析】将特殊角的三角函数值代入计算即可；
利用配方法解方程即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 20.【答案】解：由题意得，，
，
将代入，得．
解得：．
当时，，
而，
． 【解析】先求出，得到，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案；
当时，，而，即可得出答案．
本题考查反比例函数与一次函数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 21.【答案】解：连接，

设的半径为，则，
为的直径，且，
，
在中，有，
即，
解之，得，
所以，的面积为． 【解析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案．
本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：嘉嘉进入房间的概率为．
故答案为：．
列表如下其中，嘉嘉所在房间写在前面，淇淇所在房间写在后面： 淇淇
嘉嘉由表格可知，共有种等可能性发生的结果，其中房间至少有个人的结果共有种，
所以房间至少有个人的概率为：．
根据概率公式进行计算即可；
先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了根据概率公式计算，列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．
 23.【答案】解：如图所示，点即为所求作：

如图所示，点即为所求作：
，
．
在等边三角形中，．
是等腰直角三角形，
，．





．
，理由如下：
如图，连接，则，即，


，
又是的切线，
，即，

，
，
，，
． 【解析】以点为圆心，为半径画弧交劣弧于点，连接，，则是等边三角形；过点作的垂线交劣弧于点，连接，则是等腰直角三角形，从而可得；
根据可得结论；
连接，则，，由构型外角的性质可得，由切线的性质可得，可得，从而可得结论．
本题主要考查了基本作图，圆周角定理以及切线的性质，正确作图是解答本题的关键．
 24.【答案】   【解析】解：如图，连接，过点作轴于点，截取，连接，

点的坐标为，
，，
，，
，
，
当时，与原点重合，此时，
，
；
故纵坐标为；
当时，点与点重合，点与原点重合，
故纵坐标为；
故答案为：，；
嘉嘉同学的说法正确，理由如下：
如上图，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
∽，
．
淇淇同学的说法正确，理由如下：
当时，与原点重合，此时，
，
，
．
当时，点与点重合，点与原点重合，
；
如上图，连接，，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
当时，与原点重合，此时，得到，
此时点与的中点重合；
，
当时，点与原点重合，此时点与的中点重合，且；
点的运动路径长就是线段的长，
．
如图，连接，过点作轴于点，截取，连接根据点的坐标为，确定，；，，，证明是直角三角形，当时，与原点重合，此时，得到；当时，点与原点重合，计算即可；
如图，连接，过点作轴于点，易证四边形是矩形，得到，结合，得到，证明∽即可．
根据特殊位置的特殊直角三角形计算即可；
连接，，根据直角三角形的性质得到，故判定点在线段的垂直平分线上，当时，与原点重合，此时，得到，此时点与的中点重合；当时，点与原点重合，此时点与的中点重合，且；点的运动路径长就是线段的长，利用勾股定理计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
 25.【答案】解：由，得，
，即，
，，
把，代入，
得，
解之，得，，
抛物线的解析式为，
解：令，得，，
，
，
抛物线的顶点为，在第四象限，
当面积的最大时，点为抛物线的顶点，
此时，，
解：过点作，交轴于点，
设直线的解析式为，则，
，
，
，
由，
得，
由，得，
则，
，
．
 【解析】根据已知条件利用待定系数法求出函数解析式；
利用平面直角坐标系与线段的长度关系、抛物线的解析式以及三角形的面积公式即可求出最大值；
根据平行线分线段成比例列出方程，解方程即可求出取值范围．
本题考查了待定系数法以及线段的长度关系，平行线分线段成比例等相关知识点，掌握函数与方程、不等式的关系是解题的关键．