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2023年海南省三亚市崖州区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年海南省三亚市崖州区中考数学一模试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）有理数﹣（﹣5）的相反数为（ ）
A．B．5C．D．﹣5
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5B．7.245×10﹣6C．7.245×10﹣7D．7.245×10﹣9
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，7B．6，7C．7，7D．6，5
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．无解
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使A，B，C′三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．3B．﹣9C．2D．﹣2
10．（3分）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（ ）
A．15°B．25°C．45°D．60°
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8B．8C．4D．6
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ab2﹣b＝ ．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 °后能与原来的图形重合．
15．（3分）如图，如果直线l是△ABC的对称轴，其中∠B＝70°，则∠C的度数为 ．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）；
（2）（3x4﹣2x3）÷（﹣x）﹣（x﹣x2）•3x；
（3）；
（4）分解因式：m2（a﹣2）+n2（2﹣a）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 ．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
2023年海南省三亚市崖州区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）有理数﹣（﹣5）的相反数为（ ）
A．B．5C．D．﹣5
【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，
∴5的相反数为﹣5，
∴﹣（﹣5）的相反数为﹣5，
故选：D．
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5B．7.245×10﹣6C．7.245×10﹣7D．7.245×10﹣9
【解答】解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看该几何体，底层是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
【解答】解：不等式去分母得：2﹣2x+12≤3x+3，
移项合并得：5x≥11，
解得：x≥，
故选：D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，7B．6，7C．7，7D．6，5
【解答】解：这组数据2，4，5，7，7，8中7出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为7，
中位数为＝6，
故选：B．
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．无解
【解答】解：去分母得：2＝3﹣x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母得：3﹣x≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使A，B，C′三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，
∴AB＝2AC＝4cm，
由旋转得A′B＝AB＝4cm，∠A′BC′＝∠ABC＝30°，
∵A，B，C′三点在同一直线上，
∴∠ABA′＝180°﹣∠A′BC′＝180°﹣30°＝150°，
∴点A运动的路径是以点B为圆心、半径为4cm且圆心角为150°的的一段弧，
∴＝＝π（cm），
∴点A运动的路径长为πcm，
故选：B．
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．3B．﹣9C．2D．﹣2
【解答】解：设解析式为y＝，
将（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：D．
10．（3分）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（ ）
A．15°B．25°C．45°D．60°
【解答】解：
∵∠B＝90°，∠A＝30，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CED+∠EDB，
∴∠EDB＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDH＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠F＝∠FDH＝45°．
故选：C．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8B．8C．4D．6
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，
即＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC＝1：4，
即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，
∴S△ABC＝4cm2，
∴△ADE的面积＝1cm2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ab2﹣b＝ b（ab﹣1） ．
【解答】解：ab2﹣b＝b（ab﹣1）．
故答案为：b（ab﹣1）．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．
【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
15．（3分）如图，如果直线l是△ABC的对称轴，其中∠B＝70°，则∠C的度数为 70° ．
【解答】解：∵直线l是△ABC的对称轴，∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°．
故答案为：70°．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，3＝1+2，
第3个图中有6个小正方形，3＝1+2+3，
第4个图中有10个小正方形，3＝1+2+3+4，
…，
依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有个小正方形．
故答案为：15，．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）；
（2）（3x4﹣2x3）÷（﹣x）﹣（x﹣x2）•3x；
（3）；
（4）分解因式：m2（a﹣2）+n2（2﹣a）．
【解答】解：（1）原式＝8x6y3⋅5xy2÷（﹣10x2y4）
＝40x7y5÷（﹣10x2y4）
＝﹣4x5y；
（2）原式＝﹣3x3+2x2﹣（3x2﹣3x3）
＝﹣3x3+2x2﹣3x2+3x3
＝﹣x2；
（3）原式＝3﹣（﹣2）﹣5
＝0；
（4）原式＝（a﹣2）（m2﹣n2）
＝（a﹣2）（m+n）（m﹣n）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
由题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴ 或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 100 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵BA⊥x轴，BC⊥y轴∠COA＝90°，
∴四边形AOCB是矩形，
∵点B的坐标为（﹣4，2），
∴AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，
如图所示，连接AD，
∵点D恰好在线段AC的中垂线上，
∴AD＝CD，
∴设AD＝CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝4﹣x，
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣5；
（2）如图所示，设AC于DE交于点M，
∵线段AC的中垂线交线段AO于E，
∴AM＝CM，
∵BC∥AO，
∴∠DCM＝∠MAE，∠CDM＝∠MEA，
∴△CDM≌△AEM（AAS），
∴，
∵点F在AB上
∴点F的横坐标为﹣4
∴将xF＝﹣4代入，
解得，
∴，
∴，，
∴S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF
＝
＝
＝
＝
＝．
（3）如图所示，连接DF，
设F（a，），D（，b）
，＝＝，
，＝＝，
∴＝
又∵∠B＝∠B，
∴△BFD∽△BAC，
∴∠BFD＝∠BAC，
∴DF∥AC．
21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 4﹣2 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 4﹣2 ．
【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC＝AC＝4，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；
故答案为：4﹣2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
∴CO'＝（2+6）＝4，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝
MM'''＝4，
∴O'M''＝2，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）①令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3），代入y＝kx+b得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3．
设F（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
∴FE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴△FBC的面积＝＝（﹣x2﹣3x）＝，
∴x＝﹣时，△FBC的面积最大，此时F（﹣，）；
②（Ⅰ）当∠CFE＝90°时，如图：
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF＝∠CFE＝90°，
∴CF∥OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴F（﹣2，3），
（Ⅱ）当∠ECF＝90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE＝90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEB＝∠CEH＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF，
∵CH⊥EF，
∴EF＝2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，CH＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0），
∴F（﹣1，4），
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
1．（3分）有理数﹣（﹣5）的相反数为（ ）
A．B．5C．D．﹣5
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5B．7.245×10﹣6C．7.245×10﹣7D．7.245×10﹣9
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，7B．6，7C．7，7D．6，5
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．无解
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使A，B，C′三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．3B．﹣9C．2D．﹣2
10．（3分）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（ ）
A．15°B．25°C．45°D．60°
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8B．8C．4D．6
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ab2﹣b＝ ．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 °后能与原来的图形重合．
15．（3分）如图，如果直线l是△ABC的对称轴，其中∠B＝70°，则∠C的度数为 ．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）；
（2）（3x4﹣2x3）÷（﹣x）﹣（x﹣x2）•3x；
（3）；
（4）分解因式：m2（a﹣2）+n2（2﹣a）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 ．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
2023年海南省三亚市崖州区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）有理数﹣（﹣5）的相反数为（ ）
A．B．5C．D．﹣5
【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，
∴5的相反数为﹣5，
∴﹣（﹣5）的相反数为﹣5，
故选：D．
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（ ）
A．7.245×10﹣5B．7.245×10﹣6C．7.245×10﹣7D．7.245×10﹣9
【解答】解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看该几何体，底层是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
【解答】解：不等式去分母得：2﹣2x+12≤3x+3，
移项合并得：5x≥11，
解得：x≥，
故选：D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70°B．80°C．110°D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，7B．6，7C．7，7D．6，5
【解答】解：这组数据2，4，5，7，7，8中7出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为7，
中位数为＝6，
故选：B．
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．无解
【解答】解：去分母得：2＝3﹣x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母得：3﹣x≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使A，B，C′三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，
∴AB＝2AC＝4cm，
由旋转得A′B＝AB＝4cm，∠A′BC′＝∠ABC＝30°，
∵A，B，C′三点在同一直线上，
∴∠ABA′＝180°﹣∠A′BC′＝180°﹣30°＝150°，
∴点A运动的路径是以点B为圆心、半径为4cm且圆心角为150°的的一段弧，
∴＝＝π（cm），
∴点A运动的路径长为πcm，
故选：B．
9．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．3B．﹣9C．2D．﹣2
【解答】解：设解析式为y＝，
将（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：D．
10．（3分）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（ ）
A．15°B．25°C．45°D．60°
【解答】解：
∵∠B＝90°，∠A＝30，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CED+∠EDB，
∴∠EDB＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDH＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠F＝∠FDH＝45°．
故选：C．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8B．8C．4D．6
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，
即＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC＝1：4，
即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，
∴S△ABC＝4cm2，
∴△ADE的面积＝1cm2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ab2﹣b＝ b（ab﹣1） ．
【解答】解：ab2﹣b＝b（ab﹣1）．
故答案为：b（ab﹣1）．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．
【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
15．（3分）如图，如果直线l是△ABC的对称轴，其中∠B＝70°，则∠C的度数为 70° ．
【解答】解：∵直线l是△ABC的对称轴，∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°．
故答案为：70°．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，3＝1+2，
第3个图中有6个小正方形，3＝1+2+3，
第4个图中有10个小正方形，3＝1+2+3+4，
…，
依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有个小正方形．
故答案为：15，．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）；
（2）（3x4﹣2x3）÷（﹣x）﹣（x﹣x2）•3x；
（3）；
（4）分解因式：m2（a﹣2）+n2（2﹣a）．
【解答】解：（1）原式＝8x6y3⋅5xy2÷（﹣10x2y4）
＝40x7y5÷（﹣10x2y4）
＝﹣4x5y；
（2）原式＝﹣3x3+2x2﹣（3x2﹣3x3）
＝﹣3x3+2x2﹣3x2+3x3
＝﹣x2；
（3）原式＝3﹣（﹣2）﹣5
＝0；
（4）原式＝（a﹣2）（m2﹣n2）
＝（a﹣2）（m+n）（m﹣n）．
18．（10分）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
由题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：12（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均为正整数，
∴ 或或或，
∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 100 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵BA⊥x轴，BC⊥y轴∠COA＝90°，
∴四边形AOCB是矩形，
∵点B的坐标为（﹣4，2），
∴AB＝OC＝2，AO＝BC＝4，
如图所示，连接AD，
∵点D恰好在线段AC的中垂线上，
∴AD＝CD，
∴设AD＝CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝4﹣x，
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣5；
（2）如图所示，设AC于DE交于点M，
∵线段AC的中垂线交线段AO于E，
∴AM＝CM，
∵BC∥AO，
∴∠DCM＝∠MAE，∠CDM＝∠MEA，
∴△CDM≌△AEM（AAS），
∴，
∵点F在AB上
∴点F的横坐标为﹣4
∴将xF＝﹣4代入，
解得，
∴，
∴，，
∴S四边形AEDF＝S梯形AEDB﹣S△DBF
＝
＝
＝
＝
＝．
（3）如图所示，连接DF，
设F（a，），D（，b）
，＝＝，
，＝＝，
∴＝
又∵∠B＝∠B，
∴△BFD∽△BAC，
∴∠BFD＝∠BAC，
∴DF∥AC．
21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 4﹣2 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 4﹣2 ．
【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC＝AC＝4，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；
故答案为：4﹣2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
∴CO'＝（2+6）＝4，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝
MM'''＝4，
∴O'M''＝2，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）①令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3），代入y＝kx+b得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3．
设F（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
∴FE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴△FBC的面积＝＝（﹣x2﹣3x）＝，
∴x＝﹣时，△FBC的面积最大，此时F（﹣，）；
②（Ⅰ）当∠CFE＝90°时，如图：
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF＝∠CFE＝90°，
∴CF∥OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴F（﹣2，3），
（Ⅱ）当∠ECF＝90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE＝90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEB＝∠CEH＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF，
∵CH⊥EF，
∴EF＝2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，CH＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0），
∴F（﹣1，4），
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
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