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2023年陕西省西安市经开第一中学中考数学二模试卷（含答案）
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这是一份2023年陕西省西安市经开第一中学中考数学二模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. -3的相反数是( )
A. -3B. 3C. -13D. 13
2. 如图所示，几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a6B. a+a2=a3C. 4a2÷2a2=2a2D. (2a2)3=6a6
4. 如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC=140°，则∠BCA等于( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°
5. 如图，直线l1：y=x+3与直线l2：y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是( )
A. x≥4
B. x≤4
C. x≥1
D. x≤1
6. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是( )
A. 10°
B. 12°
C. 15°
D. 18°
7. 如图，已知矩形ABCD中，E为BC边上一点，DF⊥AE于点F，且AB=6，AD=12，AE=10，则DF的长为( )
A. 5B. 113C. 365D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
8. 神舟十五号载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射成功．它的飞行速度约每秒7.9千米，每小时约飞行
28440公里，每90分钟绕地球一圈．数28440用科学记数法可表示为______．
9. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为______．
10. 数学中，把5-12这个比例称为黄金分割比例.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
11. 如图，点B是双曲线y=kx(k≠0)上的一点，点A在x轴上，且AB=2，OB⊥AB，若∠BAO=60°，则k=______．
12. 如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=43，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为______ cm2．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
13. 化简：2a-1a2-4÷(1-3-aa+2).
14. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
四、解答题（本大题共11小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算：(-13)0-6×8-|tan60°-2|．
16. (本小题5.0分)
解不等式组：3(x+2)≥2x+5x3-117. (本小题5.0分)
如图，已知△ABC，AB>AC.请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，∠A=∠BCD，CA=CD，点E在BC上，且DE//AB，求证：AB=EC．
19. (本小题5.0分)
某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
20. (本小题5.0分)
现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5.这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
(1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为______；
(2)分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
21. (本小题6.0分)
如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD，已知CD=3米，小宏在A点测得D点的仰角为31°，再向教学楼前进15米到达B点，测得C点的仰角为45°，若小宏的身高AM=BN=1.7米，不考虑其它因素，求教学楼DF的高度.(结果精确到0.1米).(参考数据：sin31°≈0.5150，cs31°≈0.8572，tan31°≈0.6009)．
22. (本小题7.0分)
为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二)：
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m= ，并补全条形统计图．
②这组数据的众数 、中位数 ．
(2)若该校共有1500名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．
23. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
(1)判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
(2)若AD=3，AC=4，求圆的半径．
24. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-1)三点．
(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．
25. (本小题10.0分)
【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB=4，线段AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】(1)若AB=63，平面内一点C满足∠ACB=60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB=______，半径OA的长为______；
(2)如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB=AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPA的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为6，求CP的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：-3的相反数是-(-3)=3．
故选：B．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形中间有一个圆．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a4=a6，故此选项正确；
B.a+a2无法合并，故此选项不合题意；
C.4a2÷2a2=2，故此选项不合题意；
D.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D+∠BCD=180°，∠DCA=∠BCA，
∵∠ADC=140°，
∴∠BCD=40°，
∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD=20°，
故选：C．
直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
5.【答案】D
【解析】解：∵y=x+3经过点A(m,4)，
∴m+3=4，
解得：m=1，
∴A(1,4)，
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠ABC=80°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC=40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°．
故选：A．
在△ABC中，先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再根据BD是△ABC的高线可得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AF，
∴∠DFA=∠B=90°，
∴△ADF∽△EAB，
∴DFAB=ADAE，
∴DF6=1210，
∴DF=365，
故选：C．
通过证明△ADF∽△EAB，可得DFAB=ADAE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
8.【答案】2.844×104
【解析】解：28440=2.844×104．
故答案是：2.844×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
9.【答案】36°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE=DE，∠E=(5-2)×180°5=108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠1=∠ADE=12×(180°-∠E)=12×(180°-108°)=36°．
故答案为：36°．
根据正五边形的性质得出AE=DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
10.【答案】(12-45)
【解析】解：∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为8cm，
∴APAB=5-12，
∴AP=5-12×8=(45-4)cm，
BP=AB-AP=12-45．
故答案为：(12-45).
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】33
【解析】解：∵AB=2，0A⊥OB，∠ABO=60°，
∴OA=AB÷cs60°=4，
作BD⊥OA于点D，
∴AD=AB×cs60°=1，
BD=AB×sin60°=3，
∴OD=OA-AD=3，
∴点B的坐标为(3,3)，
∵B是双曲线y=kx上一点，
∴k=xy=33．
故答案为：33．
利用60°余弦值可求得OA的长，作BD⊥OA于点D，利用60°的余弦值可求得AD长，利用60°正弦值可求得BD长，OA-AD即为点A的横坐标，那么k等于点B的横纵坐标的积．
解决本题的关键是利用相应的特殊的三角函数值得到点B的坐标；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
12.【答案】1944
【解析】解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
交PQ于点G，如图，设矩形PQMN，
∵tanB=tanC=43，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=54cm，
∵tanB=EHBH=43，
∴EH=43BH=43×54=72cm，
∴EG=EH-GH=72-QM，
∵PQ//BC，
∴△EQP∽△EBC，
∴PQBC=EGEH，即PQ108=72-QM72，
∴PQ=32(72-QM)，
设QM=x，
则S矩形PQMN=PQ⋅QM=32x(72-x)=-32(x-36)2+1944，
∴当x=36时，S矩形PQMN最大值为1944，
所以当QM=36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
故答案为：1944．
延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，在△ABC中，设BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，由△APN∽△ABC，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ⋅PN=x(a-ahx)=-ahx2+ax=-ah(x-h2)2+ah4，可得当PQ=h2时，S矩形PQMN最大值为ah4，进而可得矩形PQMN的最大面积．
本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键．
13.【答案】解：原式=2a-1a2-4÷(a+2a+2-3-aa+2)
=2a-1a2-4÷2a-1a+2
=2a-1(a+2)(a-2)×a+22a-1
=1a-2．
【解析】本题考查的是分式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算，得到答案．
14.【答案】解：(1)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件，依题意，得
y=20x+15(600-x)=5x+9000；
(2)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件，依题意，得
50x+35(600-x)≥26400，解得x≥360，
∴每天至少获利y=5x+9000=10800
【解析】(1)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件；利润=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式；
(2)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件；成本=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的成本+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利润．
本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会用函数和不等式解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(-13)0-6×8-|tan60°-2|
=1-43-|3-2|
=1-43-(2-3)
=1-43-2+3
=-1-33．
【解析】先算零指数幂，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，再去绝对值符号，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：解不等式①得，x≥-1，
解不等式②得，x>0，
所以不等式组的解集为x>0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上，根据数轴求得不等式的解集即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作线段BC的垂直平分线MN交AB于点P，点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
18.【答案】证明：∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC，
在△ABC和△CED中，
∠A=∠ECD∠ABC=∠DECCA=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=EC．
【解析】由平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，证明△ABC≌△CED(AAS)，由全等三角形的性质得出结论AB=EC．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△CED是解题的关键．
19.【答案】解：设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：14x+8y=16003x=4y，
解得：x=80y=60．
答：A型垃圾桶的单价是80元，B型垃圾桶的单价是60元．
【解析】设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】23
【解析】解：(1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为23，
故答案为：23；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为39=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：连接AB并延长交DF于E，
∵AM⊥MF，BN⊥MF，
∴AM//BN，
∵AM=BN，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AB//MN，
∴AE⊥CF，
设DE=xm，
∴CE=(3+x)，
在Rt△BCE中，
∵∠CBE=45°，
∴BE=CE=3+x，
∴AE=15+3+x=18+x，
在Rt△AED中，tan∠DAE=DEAE=x18+x=0.6009，
∴x≈27.101，
∴DF=27，101+1.7=28.8m，
答：教学楼DF的高度是28.8米．
【解析】连接AB并延长交DF于E，在Rt△BCE中，求得AE=15+3+x=18+x，在Rt△AED中，DE≈27.101，于是得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】60 3 3
【解析】解：(1)①m=15÷90°360∘=60(名)，3小时的人数=60-10-15-10-5=20(名)．
条形图如图所示：
故答案为：60；
②这组数据的众数3、中位数是3．
故答案为：3，3；
(2)1500×20+10+560=875(名)．
答：估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约为875名．
(1)①根据2小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出3小时的人数，画出条形图；
②根据中位数，众数的定义判断即可；
(2)用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)直线CE与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD，
∵AD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵点C在⊙O上，
∴直线CE与⊙O相切；
(2)连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠BAC=∠DAC，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=AC：AB，
∵AD=3，AC=4，
∴AB=163，
∴圆的半径为83．
【解析】(1)根据OC=OA，可得∠OAC=∠OCA，根据角平分线的定义可得∠OAC=∠DAC，进一步可证OC//AD，所以OC⊥CE，即可确定直线CE是圆O的切线；
(2)根据圆周角定理可知∠ACB=90°，可证△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质可得AB的长，进一步可得圆的半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，圆周角定理，与圆有关的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，
得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-1，
解之得a=13b=-23c=-1，
∴所求抛物线的表达式为y=13x2-23x-1．
∴232×13=1，4×13×(-1)-(-23)24×13=-4，
∴顶点坐标为(1,-4)；
(2)①AB为边时，只要PQ//AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．
而当x=4时，y=53；
当x=-4时，y=7，
此时P1(4,53)、P2(-4,7)．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．
而且当x=2时y=-1，此时P3(2,-1)，
综上，满足条件的P为P1(4,53)、P2(-4,7)、P3(2,-1)．
【解析】(1)设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-1)三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c即可知解析式，利用解析式顶点坐标(--b2a,4ac-b24a)求顶点坐标即可．
(2)要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ//AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．
本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．
25.【答案】120° 6
【解析】解：(1)过点O作OD⊥AB于点D，如图，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°．
∵OD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=33．
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=12∠AOB=60°．
在Rt△AOD中，
∵sin∠AOD=ADOA，
∴OA=3332=6．
故答案为：120°；6；
(2)①∵点P是△AEF的内心，
∴AP平分∠EAF，EP平分∠AEF，
∴∠PAE=∠PAB=12∠EAF，∠PEA=∠PEF=12∠AEF．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠PAE+∠PEA=12(∠EAF+∠FEA)=45°．
∴∠APE=180°-(∠PAE+∠PEA)=135°．
在△PAE和△PAB中，
AE=AB∠PAE=∠PABAP=AP，
∴△PAE≌△PAB(SAS)，
∴∠APE=∠APB=135°，
∴∠BPE=360°-∠APE=∠APB=90°；
②作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过点作QN⊥BC，交CB的延长线于点N，如图，
设⊙Q的半径为r，则CP的最小值为CQ-r．
由“定弦定角”模型可知：AB=6，∠APB=135°，
∴优弧AB的度数为270°，
∴优弧AB所对的大圆心角为270°，
∴∠AQB=90°．
∵QA=QB，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∴QA=QB=AB⋅sin45°=32．
∴r=32．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=6，AB⊥BC，
∵QN⊥BC，
∴AB//QN，
∴∠NQB=∠ABQ=45°，
∴△QNB为等腰直角三角形，
∴QN=BN=OB⋅sin45°=3．
∴CN=NB+BC=9．
∴CQ=QN2+CN2=32+92=310，
∴CP的最小值为：310-32．
(1)过点O作OD⊥AB于点D，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
(2)①利用三角形的内心的性质和直角三角形的性质，求得∠APE的度数，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得∠APB的度数，利用周角的定义即可求得结论；
②作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过点作QN⊥BC，交CB的延长线于点N，设⊙Q的半径为r，则CP的最小值为CQ-r；由“定弦定角”模型可知：AB=6，∠APB=135°，可求得∠AQB=90°，利用等腰直角三角形的性质求出⊙Q的半径，利用平行线的判定与性质得到△QNB为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得CQ的长，则结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，三角形的外接圆的性质，三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，连接题干中的定义与性质并熟练应用是解题的关键．
A
B
成本(元/件)
50
35
利润(元/件)
20
15
1. -3的相反数是( )
A. -3B. 3C. -13D. 13
2. 如图所示，几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a6B. a+a2=a3C. 4a2÷2a2=2a2D. (2a2)3=6a6
4. 如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC=140°，则∠BCA等于( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°
5. 如图，直线l1：y=x+3与直线l2：y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是( )
A. x≥4
B. x≤4
C. x≥1
D. x≤1
6. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是( )
A. 10°
B. 12°
C. 15°
D. 18°
7. 如图，已知矩形ABCD中，E为BC边上一点，DF⊥AE于点F，且AB=6，AD=12，AE=10，则DF的长为( )
A. 5B. 113C. 365D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
8. 神舟十五号载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射成功．它的飞行速度约每秒7.9千米，每小时约飞行
28440公里，每90分钟绕地球一圈．数28440用科学记数法可表示为______．
9. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为______．
10. 数学中，把5-12这个比例称为黄金分割比例.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
11. 如图，点B是双曲线y=kx(k≠0)上的一点，点A在x轴上，且AB=2，OB⊥AB，若∠BAO=60°，则k=______．
12. 如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=43，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为______ cm2．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
13. 化简：2a-1a2-4÷(1-3-aa+2).
14. 某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
四、解答题（本大题共11小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算：(-13)0-6×8-|tan60°-2|．
16. (本小题5.0分)
解不等式组：3(x+2)≥2x+5x3-1
如图，已知△ABC，AB>AC.请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，∠A=∠BCD，CA=CD，点E在BC上，且DE//AB，求证：AB=EC．
19. (本小题5.0分)
某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
20. (本小题5.0分)
现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5.这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
(1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为______；
(2)分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
21. (本小题6.0分)
如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD，已知CD=3米，小宏在A点测得D点的仰角为31°，再向教学楼前进15米到达B点，测得C点的仰角为45°，若小宏的身高AM=BN=1.7米，不考虑其它因素，求教学楼DF的高度.(结果精确到0.1米).(参考数据：sin31°≈0.5150，cs31°≈0.8572，tan31°≈0.6009)．
22. (本小题7.0分)
为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二)：
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m= ，并补全条形统计图．
②这组数据的众数 、中位数 ．
(2)若该校共有1500名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．
23. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
(1)判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
(2)若AD=3，AC=4，求圆的半径．
24. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-1)三点．
(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．
25. (本小题10.0分)
【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB=4，线段AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】(1)若AB=63，平面内一点C满足∠ACB=60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB=______，半径OA的长为______；
(2)如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB=AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPA的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为6，求CP的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：-3的相反数是-(-3)=3．
故选：B．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形中间有一个圆．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a4=a6，故此选项正确；
B.a+a2无法合并，故此选项不合题意；
C.4a2÷2a2=2，故此选项不合题意；
D.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D+∠BCD=180°，∠DCA=∠BCA，
∵∠ADC=140°，
∴∠BCD=40°，
∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD=20°，
故选：C．
直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
5.【答案】D
【解析】解：∵y=x+3经过点A(m,4)，
∴m+3=4，
解得：m=1，
∴A(1,4)，
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠ABC=80°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC=40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°．
故选：A．
在△ABC中，先根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，再根据BD是△ABC的高线可得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AF，
∴∠DFA=∠B=90°，
∴△ADF∽△EAB，
∴DFAB=ADAE，
∴DF6=1210，
∴DF=365，
故选：C．
通过证明△ADF∽△EAB，可得DFAB=ADAE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
8.【答案】2.844×104
【解析】解：28440=2.844×104．
故答案是：2.844×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
9.【答案】36°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE=DE，∠E=(5-2)×180°5=108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠1=∠ADE=12×(180°-∠E)=12×(180°-108°)=36°．
故答案为：36°．
根据正五边形的性质得出AE=DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
10.【答案】(12-45)
【解析】解：∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为8cm，
∴APAB=5-12，
∴AP=5-12×8=(45-4)cm，
BP=AB-AP=12-45．
故答案为：(12-45).
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】33
【解析】解：∵AB=2，0A⊥OB，∠ABO=60°，
∴OA=AB÷cs60°=4，
作BD⊥OA于点D，
∴AD=AB×cs60°=1，
BD=AB×sin60°=3，
∴OD=OA-AD=3，
∴点B的坐标为(3,3)，
∵B是双曲线y=kx上一点，
∴k=xy=33．
故答案为：33．
利用60°余弦值可求得OA的长，作BD⊥OA于点D，利用60°的余弦值可求得AD长，利用60°正弦值可求得BD长，OA-AD即为点A的横坐标，那么k等于点B的横纵坐标的积．
解决本题的关键是利用相应的特殊的三角函数值得到点B的坐标；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
12.【答案】1944
【解析】解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
交PQ于点G，如图，设矩形PQMN，
∵tanB=tanC=43，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=54cm，
∵tanB=EHBH=43，
∴EH=43BH=43×54=72cm，
∴EG=EH-GH=72-QM，
∵PQ//BC，
∴△EQP∽△EBC，
∴PQBC=EGEH，即PQ108=72-QM72，
∴PQ=32(72-QM)，
设QM=x，
则S矩形PQMN=PQ⋅QM=32x(72-x)=-32(x-36)2+1944，
∴当x=36时，S矩形PQMN最大值为1944，
所以当QM=36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
故答案为：1944．
延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，在△ABC中，设BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，由△APN∽△ABC，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ⋅PN=x(a-ahx)=-ahx2+ax=-ah(x-h2)2+ah4，可得当PQ=h2时，S矩形PQMN最大值为ah4，进而可得矩形PQMN的最大面积．
本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键．
13.【答案】解：原式=2a-1a2-4÷(a+2a+2-3-aa+2)
=2a-1a2-4÷2a-1a+2
=2a-1(a+2)(a-2)×a+22a-1
=1a-2．
【解析】本题考查的是分式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算，得到答案．
14.【答案】解：(1)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件，依题意，得
y=20x+15(600-x)=5x+9000；
(2)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件，依题意，得
50x+35(600-x)≥26400，解得x≥360，
∴每天至少获利y=5x+9000=10800
【解析】(1)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件；利润=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式；
(2)A种品牌服装x件，则B种品牌服装(600-x)件；成本=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的成本+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利润．
本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会用函数和不等式解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(-13)0-6×8-|tan60°-2|
=1-43-|3-2|
=1-43-(2-3)
=1-43-2+3
=-1-33．
【解析】先算零指数幂，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，再去绝对值符号，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：解不等式①得，x≥-1，
解不等式②得，x>0，
所以不等式组的解集为x>0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上，根据数轴求得不等式的解集即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作线段BC的垂直平分线MN交AB于点P，点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
18.【答案】证明：∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC，
在△ABC和△CED中，
∠A=∠ECD∠ABC=∠DECCA=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=EC．
【解析】由平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，证明△ABC≌△CED(AAS)，由全等三角形的性质得出结论AB=EC．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△CED是解题的关键．
19.【答案】解：设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：14x+8y=16003x=4y，
解得：x=80y=60．
答：A型垃圾桶的单价是80元，B型垃圾桶的单价是60元．
【解析】设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】23
【解析】解：(1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为23，
故答案为：23；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为39=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：连接AB并延长交DF于E，
∵AM⊥MF，BN⊥MF，
∴AM//BN，
∵AM=BN，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AB//MN，
∴AE⊥CF，
设DE=xm，
∴CE=(3+x)，
在Rt△BCE中，
∵∠CBE=45°，
∴BE=CE=3+x，
∴AE=15+3+x=18+x，
在Rt△AED中，tan∠DAE=DEAE=x18+x=0.6009，
∴x≈27.101，
∴DF=27，101+1.7=28.8m，
答：教学楼DF的高度是28.8米．
【解析】连接AB并延长交DF于E，在Rt△BCE中，求得AE=15+3+x=18+x，在Rt△AED中，DE≈27.101，于是得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】60 3 3
【解析】解：(1)①m=15÷90°360∘=60(名)，3小时的人数=60-10-15-10-5=20(名)．
条形图如图所示：
故答案为：60；
②这组数据的众数3、中位数是3．
故答案为：3，3；
(2)1500×20+10+560=875(名)．
答：估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约为875名．
(1)①根据2小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出3小时的人数，画出条形图；
②根据中位数，众数的定义判断即可；
(2)用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)直线CE与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC//AD，
∵AD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵点C在⊙O上，
∴直线CE与⊙O相切；
(2)连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠BAC=∠DAC，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=AC：AB，
∵AD=3，AC=4，
∴AB=163，
∴圆的半径为83．
【解析】(1)根据OC=OA，可得∠OAC=∠OCA，根据角平分线的定义可得∠OAC=∠DAC，进一步可证OC//AD，所以OC⊥CE，即可确定直线CE是圆O的切线；
(2)根据圆周角定理可知∠ACB=90°，可证△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质可得AB的长，进一步可得圆的半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，圆周角定理，与圆有关的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，
得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-1，
解之得a=13b=-23c=-1，
∴所求抛物线的表达式为y=13x2-23x-1．
∴232×13=1，4×13×(-1)-(-23)24×13=-4，
∴顶点坐标为(1,-4)；
(2)①AB为边时，只要PQ//AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．
而当x=4时，y=53；
当x=-4时，y=7，
此时P1(4,53)、P2(-4,7)．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．
而且当x=2时y=-1，此时P3(2,-1)，
综上，满足条件的P为P1(4,53)、P2(-4,7)、P3(2,-1)．
【解析】(1)设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-1)三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c即可知解析式，利用解析式顶点坐标(--b2a,4ac-b24a)求顶点坐标即可．
(2)要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ//AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．
本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．
25.【答案】120° 6
【解析】解：(1)过点O作OD⊥AB于点D，如图，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°．
∵OD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=33．
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=12∠AOB=60°．
在Rt△AOD中，
∵sin∠AOD=ADOA，
∴OA=3332=6．
故答案为：120°；6；
(2)①∵点P是△AEF的内心，
∴AP平分∠EAF，EP平分∠AEF，
∴∠PAE=∠PAB=12∠EAF，∠PEA=∠PEF=12∠AEF．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠PAE+∠PEA=12(∠EAF+∠FEA)=45°．
∴∠APE=180°-(∠PAE+∠PEA)=135°．
在△PAE和△PAB中，
AE=AB∠PAE=∠PABAP=AP，
∴△PAE≌△PAB(SAS)，
∴∠APE=∠APB=135°，
∴∠BPE=360°-∠APE=∠APB=90°；
②作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过点作QN⊥BC，交CB的延长线于点N，如图，
设⊙Q的半径为r，则CP的最小值为CQ-r．
由“定弦定角”模型可知：AB=6，∠APB=135°，
∴优弧AB的度数为270°，
∴优弧AB所对的大圆心角为270°，
∴∠AQB=90°．
∵QA=QB，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∴QA=QB=AB⋅sin45°=32．
∴r=32．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=6，AB⊥BC，
∵QN⊥BC，
∴AB//QN，
∴∠NQB=∠ABQ=45°，
∴△QNB为等腰直角三角形，
∴QN=BN=OB⋅sin45°=3．
∴CN=NB+BC=9．
∴CQ=QN2+CN2=32+92=310，
∴CP的最小值为：310-32．
(1)过点O作OD⊥AB于点D，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
(2)①利用三角形的内心的性质和直角三角形的性质，求得∠APE的度数，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得∠APB的度数，利用周角的定义即可求得结论；
②作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过点作QN⊥BC，交CB的延长线于点N，设⊙Q的半径为r，则CP的最小值为CQ-r；由“定弦定角”模型可知：AB=6，∠APB=135°，可求得∠AQB=90°，利用等腰直角三角形的性质求出⊙Q的半径，利用平行线的判定与性质得到△QNB为等腰直角三角形，再利用勾股定理求得CQ的长，则结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，三角形的外接圆的性质，三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，连接题干中的定义与性质并熟练应用是解题的关键．
A
B
成本(元/件)
50
35
利润(元/件)
20
15
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