2023年重庆市大渡口区中考数学第一次适应性试卷（含答案）

2023年重庆市大渡口区中考数学第一次适应性试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  正方形的边长为，则它的面积为(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面四个关系式中，是的反比例函数的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  矩形中，，，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，曲线反映了某地一天气温随时间的变化情况，则这一天的最高温度约为(    )
A.  B.  C.  D. 5.  如图，与位似，点为位似中心，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 6.  在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  估算的结果(    )A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间8.  某商店月份的销售额是万元，月份的销售额是万元，求商店这两个月销售额月平均增长率设商店这两个月销售额月平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，在正方形中，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则满足条件的点有(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个11.  若数使得关于的不等式组的解集有且只有一个整数解，且使关于的分式方程的解为负整数，则符合条件的所有整数的和为(    )A.  B.  C.  D. 12.  一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数例如，，是一个“可拆分”整数下列说法：
最小的“可拆分”整数是；
一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
最大的“不可拆分”的两位整数是．
其中正确的个数是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.  的倒数是        ．14.  周末小张和小王去同一个公园跑步，这个公园有，，三个入口，则他们从同一个入口进入公园的概率是        ．15.  如图，在等腰中，，，于点，点是边上的一个动点，以为边向右作∽，连接，则的最小值为______．
16.  为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为        ．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解方程：
；
．18.  本小题分
在数学课上老师提出了如下问题：
如图，，当与满足什么关系时，？
小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在的右侧找一点，使只保留作图痕迹．

，
       ，
，
       ，
，
       ，
       ，
．
所以满足的关系为：当时，．
19.  本小题分
为了研究某树苗的生长情况，研究组在甲、乙两个试验基地同时播下树种，同时随机各抽取株树苗，记录下每株树苗的长度单位：，进行整理、描述和分析用表示树苗长度，数据分成组：；；；；，及以上为优等下面给出了部分信息：
甲试验基地抽取的株树苗的长度：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙试验基地抽出的株树苗中，、、三个等级的数据个数相同，组的所有数据是：，，，，．
甲、乙两试验基地抽取的树苗长度的统计表
品种平均数中位数众数组所占百分比甲乙根据以上信息，解答下列问题：
填空：        ，        ，        ；
根据以上数据，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？并说明理由写出一条理由即可；
请估计株乙基地的树苗为优等的树苗株数是多少？20.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据图象，直接写出不等式：的解集；
点与点关于轴对称，连接，，求的面积．
21.  本小题分
近年来，区委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为元千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克元销售，每天可卖出千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低元，日销售量将增加千克．
若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？
小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？22.  本小题分
某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设米．
若花园的面积为米，求的值；
若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
23.  本小题分
若一个四位数的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“和差数”．
例如：，，是“和差数”．
又如：，，不是“和差数”．
判断，是否是“和差数”，并说明理由；
一个“和差数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，且当，均是整数时，求出所有满足条件的．24.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
求和的值．
若点与点关于直线对称，连接．
求点的坐标；
若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
 25.  本小题分
在中，，将绕点旋转，得到．
如图，当时，四边形是什么四边形？并说明理由；
将绕点由图的位置开始顺时针旋转，的延长线交直线于点．
旋转至如图，用等式表示与的数量关系，并证明你的结论；
旋转至如图，在的结论下，的延长线交于点，为的中点，且，，直接写出的长______．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：正方形的边长为，
它的面积为，
故选：．
根据正方形面积公式列式计算即可．
本题考查有理数的乘方，解题的关键是掌握正方形面积公式．
 2.【答案】 【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项不符合题意；
C、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：因为矩形中，，
所以的长为．
故选：．
根据矩形的对角线相等即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的对角线相等．
 4.【答案】 【解析】解：由函数图象可知，这一天的最高温度约为，
故选：．
根据图象直接可得答案．
本题考查函数图象，解题的关键是明确函数图象上点坐标的意义．
 5.【答案】 【解析】解：与位似，
∽，
，
∽，
：：：，即与的相似比为：，
：：，
，
．
故选：．
根据位似图形的概念得到，进而证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
．
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
 7.【答案】 【解析】解：，且，
，
即的结果在和之间，
故选：．
通过估算的大小进行此题结果的估算．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
 8.【答案】 【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用该商店月份的销售额该商店月份的销售额商店这两个月销售额月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：如图，过点作于，连接、、、，

四边形是正方形，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
即，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
如图，过点作于，连接、、、，由正方形性质可得：，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得：，进而可证得≌，可推出是等边三角形，得出：，，再由等腰三角形性质可得，再证明≌，推出是等边三角形，得出，再由是等腰直角三角形，得出，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，是一道常见的中考数学选择题压轴题．
 10.【答案】 【解析】解：，
若与相似，可分两种情况：
若∽，
则，
；
解得．
若∽，
则，
，
解得或．
则满足条件的长为或或．
故选：．
根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：若∽；若∽．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：解关于的不等式组可得，
由于这个不等式组的解集中有且只有一个整数解，
，
解得，
又关于的分式方程的解为，且，
，为负整数，且，
符合条件的所有整数的值有，，
．
故选：．
根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可．
本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的根和增根的定义是正确解答的前提，确定的取值范围是得出正确答案的关键．
 12.【答案】 【解析】解：设为一个“可拆分”整数，、为两个不相等的正整数，且，
，即，
、为两个不相等的正整数，
、的最小值为和，此时，
最小的“可拆分”整数是，正确；
，
一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种，正确；
由上可得，
当、或时，、、，它们都可以化成两个不相等的正整数的积，
、或都是“可拆分”整数，
当时，，
是质数，
不存在不相等的正整数和使成立，
最大的“不可拆分”的两位整数是，正确；
故选D．
设为一个“可拆分”整数，、为两个不相等的正整数，且，则由题意可得：，由此可以对题目中的选项作出正确判断．
本题考查整式加减的应用，把所求问题用代数式表示出来并利用拆分法对整式进行化简是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故答案为：．
根据倒数的定义可得答案．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．倒数：乘积是的两数互为倒数．
 14.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有种，
他们从同一个入口进入公园的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 15.【答案】 【解析】解：连接，过点作，垂足为，如图所示：

∽，
，：：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，．
的最小值即为．
故答案为：．
先证≌，易得恒为，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知的最小值即为，进行求解即可．
本题考查了最小值问题，在运动过程中找出的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：设预算购买香樟的总费用为元，购买红枫的总费用为元，则实际购买香樟的总费用为元，购买红枫的总费用为元，
根据题意得：，
解得：，
，
实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为．
故答案为：．
设预算购买香樟的总费用为元，购买红枫的总费用为元，则实际购买香樟的总费用为元，购买红枫的总费用为元，根据实际所花费用恰好与预算费用相等，可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 17.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
，
或，
解得，． 【解析】利用十字相乘法把方程坐标因式分解，即可求出方程的解；
利用提公因式法把方程坐标因式分解，即可求出方程的解．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法和提公因式法分解因式是解答本题的关键．
 18.【答案】       【解析】解：图形如图所示：

，
，
，
，
，
，
，
．
所以满足的关系为：当时，．
故答案为：，，，．
根据要求作出图形，利用平行线的判定和性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 19.【答案】     【解析】解：甲试验基地抽取的株树苗的长度中出现的次数最多，故；
由题意看得，、、三个等级的数据个数都等于，
乙试验基地抽出的株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数是，，故；
．
故答案为：；；；
甲基地的树苗更好，理由：
因为两基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的树苗长度的中位数大于乙基地；


株，
答：估计株乙基地的树苗为优等的树苗株数大约是株．
根据中位数、众数的意义求解即可得，的值，求出乙社区在组的百分比，即可得的值；
根据平均数中位数、众数的意义解答即可；
乘和组所占百分比之和即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
 20.【答案】解：把，代入得：
，，
，，
把，代入得：
，
解得，
一次函数的表达式为，
画出图象如下：

由图象可得，的解集为或；
如图：

点与点关于轴对称，
，
，
，
的面积为． 【解析】求出，得，，再用待定系数法可得一次函数的表达式为，过，作直线即可得一次函数图象；
观察图象可得的解集为或；
用三角形面积公式列式计算即可得到答案．
本题考查一次函数，反比例函数的交点问题，解题的关键是画出函数图象，应用数形结合思想解决问题．
 21.【答案】解：设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，．
答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低元．
设该商品需要打折销售，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该商品至少需打六折销售． 【解析】设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该商品需要打折销售，利用售价标价折扣率，结合销售价格不超过中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 22.【答案】解：米，
米，
由题意得：，
解得：，，
即的值为或；
花园的面积不能为米，理由如下：
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米． 【解析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程，求出的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 23.【答案】解：，
不是“和差数”，
，
是“和差数”；
是“和差数”，
，
，
，
，
是整数，
是整数，
由是整数可知，
设为整数且可得：
，
是整数，
或，
当时，
若，则，此时，不符合题意；
若，则，，，此时；
若，则，，，此时；
若，则，，，此时；
若，则，此时不符合题意；
当时，
若，则，，，此时；
若，则，此时不符合题意；
综上所述，满足条件的为或或或． 【解析】根据新定义判断即可；
由是“和差数”，可得，故，可得，从而是整数，设为整数且，即知是整数，或，再根据，，，是整数可得答案．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，整除性等知识，解题的关键是用含，的代数式表示．
 24.【答案】解：将点代入得：，
，
直线的表达式为，
把点代入，得：，
，
将代入得：，
；
连接，过作轴于，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，
，
由点与点关于直线对称，知≌，
，，即，
，
点的坐标为；
以点，，，为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
设，，又，，
Ⅰ若，是对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
Ⅱ若，为对角线，则，的中点重合；
，
解得，
；
Ⅲ若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或． 【解析】将点代入可得，直线的表达式为，把点代入得，故；
连接，过作轴于，由，，知是等腰直角三角形，，根据点与点关于直线对称得，，故点的坐标为；
设，，又，，分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案．
本题考查反比例函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，轴对称，平行四边形等知识，解题的关键是方程思想的应用．
 25.【答案】 【解析】解：如图中，四边形是菱形．
理由：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；

如图中，结论：．
理由：由旋转变换的性质可知≌．
，
，
，
；

连接，，过点作于点，于点，设交于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的判定方法证明即可；
结论：利用三角形内角和定理证明即可；
连接，，过点作于点，于点，设交于点首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．