《条件概率》示范课教案【高中数学苏教版】
展开第八章 概率
8.1.1 条件概率
1.结合古典概型，了解条件概率的定义，能计算简单随机事件的条件概率；
2通过韦恩图理解条件概率的计算公式，发展直观想象素养．通过条件概率公式的推导及运用，发展逻辑推理和数学运算素养．
教学重点：条件概率定义的理解及计算．
教学难点：条件概率定义的理解及计算．
一、新课导入
回顾：什么是古典概型？
答案：如果一个随机试验满足：（1）样本空间只含有有限个样本点；（2）每个基本事件的发生都是等可能的，则称该随机试验的概率模型称为古典概型．
在古典概型中，如果样本空间中含有个样本点，事件中包含个样本点，那么事件发生的概率为：．
由前面的学习我们知道，当事件与相互独立时，有．如果事件与不独立，如何表示积事件的概率呢？
设计意图：通过复习古典概型，引出新的问题，明确学习目标．
二、新知探究
问题1：袋中放有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中先后取一个球，事件：第一次取出球的颜色为红色；事件：第二次取出球的颜色为白色．如果第一次取一个球，记下其颜色后放回袋中，接着第二次取一个球，那么事件是否发生对事件发生的概率有没有影响？事件与同时发生的概率是多少？
答案：没有影响，事件与相互独立．
∵，．∴．
追问1：如果第一次取一个球，不放回，接着第二次取一个球，那么事件是否发生对事件发生的概率有没有影响？
答案：有影响．
追问2：若已知事件发生，在事件发生的条件下事件发生的概率是多少？
答案：将三个红球分别编号为1，2，3，两个白球分别编号为，，则随机试验“第一次取一个球，不放回，接着第二次取一个球”的样本空间为
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
于是
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，，．
故，，，．
结合韦恩图，可以看出，事件发生的条件下事件发生的概率，实际上是以为样本空间，事件发生的概率：
事件发生的条件下事件发生的概率是．
问题2：结合上面的问题，你能尝试探索，，与事件发生的条件下事件发生的概率吗？
探究：设古典概型的样本空间为，事件所含样本点的集合为，事件所含样本点的集合为，事件所含样本点的集合为(如图所示)，则有
，．
因此，事件发生的条件下事件发生的概率是
．
由此，我们得到：
一般地，设，为两个事件，，我们称为事件发生的条件下事件发生的条件概率，记为，读作“发生的条件下发生的概率”，即
．
注意：(1)公式仅限于的情况，当时，我们不定义条件概率；
(2)在竖线“︱”之后的部分表示条件，须区分与，与．
表示事件发生的条件下事件发生的概率，而表示事件发生的条件下事件发生的概率；表示事件和事件同时发生的概率，无附加条件．与不一定相等．
思考：如何用条件概率说明两个随机事件的独立性？
答案：若事件，相互独立，即，且，则，这就是说，此时事件发生的概率与已知事件发生的条件下事件发生的概率相等，也就是事件发生与否，不影响事件发生的概率．
反过来，若，且，则⇒，即事件，相互独立．
结论：事件，相互独立⇔，其中．
问题3：如果事件与不独立，如何求积事件的概率呢？
答案：由条件概率的计算公式可得
．
此公式即为概率的乘法公式．
同样有，当时，．
由此可得，乘法公式，或，既可以用于求条件概率，也可以用于求两个事件同时发生的概率．
问题4：条件概率有哪些性质？
答案：条件概率是在一定条件下发生的概率，它只是缩小了样本空间，因此条件概率具有概率的一般性质．
条件概率有如下性质：
(1)；
(2)；
(3) 若，互斥，则．(条件概率的加法公式)
设计意图：由具体实例抽象概括出共同特征以形成数学概念，通过对问题的进一步探究，得到两个事件相互独立的充要条件，辨析条件概率与积事件概率的联系与区别，总结条件概率的性质．
三、应用举例
例1 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，，求，，，．
分析：在弄清基本事件的基础上，直接应用条件概率的定义计算．
解：方法1(定义法)：由已知得，由古典概型可知
，，，
所以由条件概率公式得．
方法2(缩小样本空间法)：因为，，所以，，从而．
总结：计算条件概率的两种方法
(1) 公式法：①用字母，表示事件；②分别计算概率和；③利用条件概率公式求概率．
(2) 缩小样本空间法：①原来的样本空间缩小为事件；②原来的事件缩小为与同时发生的事件；③利用古典概型概率公式求概率．
例2 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中有10个红球和10个白球，现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率．
解：记“第一次摸出红球”为事件，“第二次摸出白球”为事件，则
，．
由概率的乘法公式得
．
答：第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率约为．
设计意图：学以致用.巩固对条件概率的理解，增强应用意识．
四、课堂练习
1.已知，，那么等于( )
A. B.
C. D.
2.假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是 .
3.已知春季里，甲、乙两地每天下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里：
(1) 已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；
(2) 已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率．
参考答案：
1.解：．故选B．
2.解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，且所有样本点是等可能的，那么在有一个是女孩的条件下，另一个小孩是男孩的概率为．
3.解：记“甲地下雨”为事件，“乙地下雨”为事件，则由已知可得
，，．
(1) 需要求的是．
(2) 需要求的是．
五、课堂小结
1．条件概率公式：．
注意：(1)分清“在谁的条件下”，求“谁的概率”，即区分与；
(2)概率与的区别与联系：表示在样本空间中，计算发生的概率，而表示在缩小的样本空间中，计算发生的概率．用古典概型公式，则，．
2．概率的乘法公式：．
3．条件概率的性质：
(1)；
(2)；
(3)若，互斥，则．(条件概率的加法公式)
六、布置作业
教材第95页练习第2，3，4题．
