《二项式定理》示范课教案【高中数学苏教版】
展开第七章 计数原理
7.4.1 二项式定理
1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式；
2.在通过归纳推理得到一般性结果的过程中，发展逻辑推理素养；
3.在运用展开式处理问题的过程中，提升数学建模和数学运算素养．
教学重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．
教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．
一、新课导入
回顾：由多项式的乘法法则可以知道：
，
，
．
那么，你能写出的展开式吗？
设计意图：通过复习初中学习的多项式乘法，引出新的问题，明确学习目标．
二、新知探究
问题1：观察的展开式，
．
追问1：合并同类项之前展开式有多少项？
答案：合并同类项之前展开式有，共4项．
追问2：展开式中有哪些不同的项？
答案：展开式中的任何一项都是在中的2个括号中各取1个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是2次项，因为可以合并同类项，所以展开式中有3种不同的项，分别是，，．
追问3：各项的系数分别是多少？
答案：在这2个括号中，
每个都不取的情况有1种，即种，所以的系数是；
恰有1个取的情况有种，所以的系数是；
都取的情况有种，所以的系数是．
由此可得：．
问题2：观察的展开式，
．
追问1：合并同类项之前展开式有多少项？
答案：合并同类项之前展开式有，共8项．
追问2：展开式中有哪些不同的项？
答案：展开式中的任何一项都是在中的3个括号中各取1个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是3次项，因此，合并同类项后展开式中有4种不同的项，分别是，，，．
追问3：各项的系数分别是多少？
答案：在这3个括号中，
每个都不取的情况有1种，即种，所以的系数是；
恰有1个取的情况有种，所以的系数是；
恰有2个取的情况有种，所以的系数是；
都取的情况有种，所以的系数是．
由此可得：．
设计意图：本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．
问题3：根据上述规律，猜想的展开式会有哪些类型的项？
答案：
由上述过程可知，展开式是从每个括号中各取1个字母的一切可能乘积的和，每个在参与运算时，都贡献了一个(或)，故展开式的每一项的次数都是，每一项都具有的形式．
追问1：展开式中的各项的系数是如何确定的？
答案：对于某个，对应的项是由个中选，个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，的系数就是在的个括号中选个取的方法种数．
具体地，在这个括号中，
每个都不取的情况有1种，即种，所以的系数是；
恰有1个取的情况有种，所以的系数是；
恰有2个取的情况有种，所以的系数是；
…
恰有个取的情况有种，所以的系数是；
…
都取的情况有种，所以的系数是．
由此可得：．
这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作的二项展开式．其中叫作二项展开式的第项(也称通项)，用表示，即．
叫作第项的二项式系数．
思考：的二项展开式中有几项？有什么特点？
答案：①展开式的项数：展开式共有项；
②每项的特点：展开式中每一项与的次数之和为；二项式系数的上标与的指数相同；
③项的排列方式：按照字母降幂排列，次数由递减到0；按照字母升幂排列，次数由0递增到．
④二项式系数特点：各项的二项式系数依次为，，，，，，这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，而与，无关．
追问1：对于，在合并同类项之前，其展开式共有多少项？
答案：
每个在相乘时，有2中选择，即选，或者选，由分步计数原理可知，在合并同类项之前，其展开式共有项．
追问2：若令，，那么等于什么？
答案：令，，则．
设计意图：完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．进一步认识二项式定理的结构特点，初步记忆，也为运用二项式定理做好准备．
三、应用举例
例1 利用二项式定理展开下列各式：
（1）；（2）．
解：（1）
．
（2）方法一：
．
方法二：
．
例2 在的展开式中，求：
（1）第4项的二项式系数；（2）含的项的系数．
分析：要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项即可．
解：（1）由二项式定理可知，在的展开式中，第4项的二项式系数为．
（2）由二项式定理可知，在的展开式中，第项为．
当时，展开式中含的项的系数为．
思考：一个二项展开式的各项的二项式系数与各项的系数有什么区别？
答案：二项展开式的各项的二项式系数只与幂指数有关；展开式的各项的系数大小不仅与幂指数有关，还与，有关．
在一些特殊情况下，展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数相等，例如，是系数为1的单项式．
例3 求的二项展开式中的常数项．
解：设二项展开式中的常数项为第项，
即，．
根据题意，得，．
因此，二项展开式中的常数项为．
设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用．
四、课堂练习
1.的展开式中的第3项是( )
A. B.
C. D.
2.的展开式中的倒数第4项是( )
A. B.
C. D.
3. (多选)的展开式中第( )项为有理项．
A. 1 B. 3
C. 4 D. 7
4. 若的展开式中含的项的系数为54，则 ．
参考答案：
1.解：由二项式定理知，的展开式中，第3项为：．故选D．
2.解：的展开式中共有13项，它的倒数第4项是第10项，．故选A．
3.解：，令，则, , ，故，，为有理项．故答案为：ACD．
4.解：由二项式定理的通项得，
令得，解得．
五、课堂小结
六、布置作业
教材第77页练习第1，2，5题．
