《两个基本计数原理的应用（2）》示范课教案【高中数学苏教版】

第七章  计数原理7.1.2  两个基本计数原理的应用（第2课时）1.理解两个基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，能正确使用两个原理解决简单计数问题；2.掌握分类计数原理和分步计数原理的区别和联系．教学重点：正确选择加法原理或乘法原理解决问题．教学难点：综合使用加法原理和乘法原理解决问题.一、情境导入前面我们学习了两个计数原理，知道了他们回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．事实上，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单问题的计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来从而得到原问题的答案．下面我们就通过一些具体问题来示例．二、应用举例例1.要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？ 问题1：本题中要完成的一件事是什么？答案：用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色．问题2：你会如何完成这件事情？答案：因为图中的区域有相邻，不相邻，所以选定一个区域开始涂色，根据其他区域与开始区域的相邻关系进行分类，然后按区域依次分析求解．解：从区域A开始考虑，因为区域A与B、D、E均相邻，与C不相邻，所以按A与C颜色的相同和相异分类求解：第一类，A、C同色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有1中选择；第三步，给区域B涂色，有3种选择；第四步，给区域E涂色，有2种选择；第五步，给区域D涂色，有2种选择．则根据分步计数原理，一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择；第二类，A、C异色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有3种选择；第三步，给区域B涂色，有2种选择；第四步，给区域E涂色，只有1种选择；第五步，给区域D涂色，只有1种选择．则根据分步计数原理，一共有为4×3×2×1×1=24种不同的选择；综合以上，根据分类计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种．问题3：你还有其他解决这个问题的方法吗？答案：观察图形中的位置，A、C对角，可以同色，B、D对角，也可以同色，因为总共只有4种颜色，所以A、C和B、D中至少会有一对同色，从而可以将这个问题的解决方案分三类：第一类：A、C同色，B、D不同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再依次确定B、E、D的颜色，分别有3，2，1种可能，所以共有4×3×2×1=24种不同的可能；第二类：A、C不同色，B、D同色，方法同第一类，也共有24种不同的可能；第三类：A、C同色，B、D同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再确定B、D的颜色，有3种可能，再确定E的颜色，有2种可能，所以共有4×3×2=24种不同的可能．根据分类计数原理，该图形不同的涂色方案共有24+24+24=72种．例2.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．（1）1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？问题1：说一说本题目两个问题中分别要完成的一件事是什么？如何完成？答案：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”．由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可．解：（1）用下图表示1个字节．1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536.这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例3. 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？问题1：该题目中要完成的“一件事情”是什么？答案：“最多能发放多少张汽车号牌”，意为“满足上面编码规则的不同号码牌一共有多少个”，所以本问题要解决的“一件事情”就是：“从10个数字和除O，I外的24个英文字母中选5个，其中字母至多2个，再将5个符号排序编码成一个汽车牌照序号”，简单地说，就是“按照规则生成一个汽车牌照序号”．问题2：说一说你会如何完成这“一件事情”？答案：因为编码规则要求字母至多2个，所以这个事情可以分三大类来考虑：①没有字母，②有1个字母，③有2个字母．在有字母的类中，可以以字母所在的位置为分类标准，将有1个字母的序号分为5类，将有2个字母的序号分为10类，依次进行分析解决．总的来说就是，先分大类，再分小类，小类中再分步．解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张．根据分类计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张．于是，这类号牌张数一共为576000×10=5760000．综合（1）（2）（3），根据分类计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000．三、课堂练习1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法可能有多少？解：只从一面上山，而从其他任意一面下山，一共有四类可能：若从东面上山，走法数量为：2（3+3+4）=20； 若从西面上山，走法数量为：3（2+3+4）=27； 若从南面上山，走法数量为：3（2+3+4）=27； 若从北面上山，走法数量为：4（2+3+3）=32．故只从一面上山，而从其他任意一面下山总的可能走法数量为20+27+27+32=106．2.用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有多少种涂法？解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以总的涂色方法有4×3×2×（2+1）=72种．四、梳理小结问题：回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？答案：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．五、课后作业教材P57，习题7.1 理解·感受 第7,8题，思考·运用第10题，拓展·探究第13题