《空间的距离》示范课教案【高中数学苏教版】

第六章  空间向量与立体几何

6.3.3　空间角的计算

1.理解空间两条直线间距离的概念，

2.掌握点与平面、直线与平面、平面与平面间距离的概念，并能进行相互转化，通过解三角形知识求出它们的距离。

3.通过本节课的学习，培养学生数学运算能力以及直观想象的核心素养．

教学重点：用向量方法求空间里的距离．

教学难点：构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标．

一、新课导入

情境：前面我们研究了空间各种角的关系,通过角来刻画空间点线面之间的关系,除了用角刻画位置关系之外,我们也经常使用到距离.

二、新知探究

问题1：常见的空间距离有哪些？

答：空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离.

问题2：这些空间距离分别怎么求解？可以进行怎样转化？

答：可以转化为点到直线的距离或点到平面之间的距离(实质是点点距离)

问题3：在平面内，已知点A是直线l外一点，点B是直线l上任一点，n是一个与直线l的方向向量垂直的向量，则向量在向量n上的投影的绝对值是什么?

答：在平面内，向量在向量n上的投影的绝对值等于点A到直线l的距离.

问题4：在空间里，点A是平面α外一点，点B是平面α内任一点，n是平面α的法向量，则向量在向量n上的投影的绝对值又是什么?

答：在空间中，向量在向量n上的投影的绝对值等于点A到平面α的距离.

探究：用向量法求点到平面的距离.

如图所示，已知点B(x0,y0,z0)，平面α内一点A(x1,y1,z1)，平面α的一个法向量为n，直线AB与平面α所成的角为φ，θ＝<n,>，则sin φ＝|cos<n,>|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n·＝|n|||cos θ，则点B到平面α的距离:

      d＝||·sin φ＝||·|cos θ|＝||.

定义概念

1．若直线a∥平面α，则直线a到平面α的距离等于直线a上的任意一点到平面α的距离，再利用向量法求点到平面的距离.

2.若平面α∥平面β，则平面α到平面β的距离等于平面α上的任意一点到平面β的距离，再利用向量法求点到平面的距离.

三、应用举例

例1 如图,正方体，求与的距离.

解:  以{,,}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

所以 =(1,1,0)(1,1,0) =(1,0,1), = (-1,0,0).

设设平面B'CD'的法向量为，则

0

即,令 ,则 .

所以是平面B'CD'的一个法向量.

所以点B到平面BCD,的距离为 d＝.

例2 在单位正方体中，点是侧面的中心.判断直线与平面是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线到平面的距离;若不平行,请说明理由.

解 以点为原点,所在直线分别为轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系如图.

由正方体的棱长为1,得

A(1,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1),C'(0,l,1),M(1,,),

所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(1,,).

设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则

取 ,得 ,

故.

因为.

所以//面 ACD'.

 又,

所以.

因此，直线上任意一点到平面的距离都相等，

都等于直线到平面的距离.

因为=(0,1,0), 所以点到平面的距离为

即直线到平面的距离为.

归纳总结：用向量法求解点到平面的距离问题的一般步骤是：

(1)确定一个法向量；

(2)选择参考向量；

(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量；

(4)求投影向量的长度.

探究：用向量法求点到直线的距离.

如图所示，已知点A是直线l外一点，点B是直线l上任一点，n是一个与直线l的方向向量垂直的向量，θ＝<n,>，则点A到直线l的距离:

d＝||·|cos θ|＝||.

思考：用向量法求点到直线的距离，还有其它的方法吗？

如图所示，已知点A是直线l外一点，点B是直线l上任一点，是直线l的方向向量，φ＝<,>，则点A到直线l的距离:

d＝||·sin φ.

或d==

例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC和CD的中点，

(1)求证：EF//B1D1；

(2)求两条平行线EF和B1D1间的距离。

证明:(1) 以点为原点,所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.

由正方体的棱长为1,得D1(0,0,1),B1(1,l,1),E(,1,),F(0,,),

所以=(,,),==,

所以

故.

解：（2）因为,所以点到直线的距离即为两条平行线间的距离.

方法1     设平面内与直线垂直的向量为,则由可得,

由，共面可知，存在实数使得

因为,

所以

即,所以可取

故点E 到直线的距离为d＝||==，

即两条平行线EF和B1D1间的距离为    

方法2  连接 .则

因为=，=，=

所以，

故点E 到直线的距离为d＝=

即两条平行线EF和B1D1间的距离为

归纳总结：用向量法求点到直线的距离的一般步骤:

(1)求直线的方向向量.

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.

(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

探究：用向量法求两条异面直线之间的距离.

设A，P是分别是异面直线a，b上的点， 是与直线a，b都垂直的向量，从而异面直线a，b间的距离d为

例4  如图，四面体中，,  ,求异面直线的距离。

解　取BD中点O，连接OA,OC， 因为AB=AD,CB=CD,所以AO⊥BD，OC⊥BD, 又，所以OA⊥面BCD, 所以OA⊥OC,所以OB，OC，BD两两垂直.

如图，以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

所以

=(l,0,-1), 面法向量可取=(0,0,1)

所以异面直线AB与CD的距离:==1

四、课堂练习

1. 如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.

2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离.

参考答案：

1. 解:以点C为坐标原点，分别以CD、CB、CG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，

故＝(4,2,－2)，＝(2,4,－2).

设n＝(x,y,z)是平面EFG的法向量，

则有⇒

令x＝1，得y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3).

又∵＝(0,4,－2)，

∴点B到平面EFG的距离d＝.

2. 解:以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(2,0)，F(,2,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4).

∴＝(0,,4)，＝(,0，4)，
＝(－2,－2,0).

设n＝(x,y,z)是平面B1EF的法向量，

则n⊥，n⊥，

∴令z＝－1，得n＝(2,2,－1)，

∴点D1到平面B1EF的距离d＝＝.

五、课堂小结

运用空间向量坐标运算求空间里的距离

1.用向量法求解点到平面的距离问题的一般步骤是：

(1)确定一个法向量；

(2)选择参考向量；

(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量；

(4)求投影向量的长度.

2.用向量法求点到直线的距离的一般步骤:

(1)求直线的方向向量.

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.

(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

六、布置作业

教材第40页习题4、10.

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