高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理教案，共7页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.了解二项式系数的4个性质；
2.在运用二项式系数的性质解决问题的过程中提升逻辑推理和数学运算素养．
教学重难点

教学重点：二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解．
教学难点：综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题．
教学过程
一、新课导入
情境：被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式a+bn的展开式在n=0，1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．

设计意图：了解历史背景，激发学生学习的兴趣，也为本节课的顺利开展做必要准备．
二、新知探究
问题1：当n依次取0，1，2，…时，计算a+bn展开式的二项式系数，填入下表：
为了方便观察，我们把上表写成如下形式：
追问：观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间有什么关系？
答案：二项式系数表与杨辉三角的值对应相等．
问题2：你能从中发现二项式系数的特点吗？
答案：（1）每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等；
（2）图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；
（3）图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；
（4）第1行为1=20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，… …，第7行的各数之和为26．
问题3：对于a+bn展开式的二项式系数Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn我们能否从函数的角度来分析它们呢？那么函数的定义域和值域又是什么呢？
答案：从函数角度看，Cnr可看成是以r为自变量的函数fr．
其定义域是0，1，2，…，n，值域是Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn．
追问1：当n=6时，你能画出函数fr=Cnr，r∈0，1，2，…，n的图象吗？
答案：当n=6时，函数fr=Cnr，r∈0，1，2，…，n的图象是7个离散点，如图．
追问2：分别画出当n=7，8，9时，函数fr=Cnr的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？
【答案】当n=7，8，9时，函数fr=Cnr的图象如图所示．

对比分析n=6，7，8，9时，函数fr=Cnr的图象发现如下规律：
（1）对称性：首末两端等距离的两个二项式系数相等；
直线r=n2是图象的对称轴，它将函数fr=Cnr的图象分成对称的两部分．即，Cnm=Cnn−m．
（2）增减性：当r当r>n−12时，Cnr随r的增加而减小，即，Cnr+1（3）最大值：当n是偶数，中间一项的二项式系数Cnn2取得最大值；
当n是奇数，中间两项的二项式系数Cnn−12与Cnn+12相等，且同时取得最大值．
追问3：你能证明二项式系数性质的增减性么？
答案： 当rn!r!n−r!即要证
1n−r<1r+1，
即要证
r而r同理，当r>n−12时， Cnr+1设计意图：通过利用函数思想的研究分析，使学生更加深刻地理解本节课的学习重点，即二项式系数的性质．
问题3：在a+bn的二项展开式中，如果令a=b=1，你能得到哪些等式？
答案：因为a+bn=Cn0an+Cn1an−1b+…+Cnran−rbr+…+Cnnbn．
令a=b=1，则有2n=Cn0+Cn1+…+Cnr+…+Cnn．
这表明a+bn展开式各项的二项式系数的和等于2n．
追问：a+bn的二项展开式中，如果令a=1，b=−1，你能得到哪些等式？
【答案】因为a+bn=Cn0an+Cn1an−1b+…+Cnran−rbr+…+Cnnbn，
令a=1，b=−1，则有0=Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+Cn4−Cn5+…．
因此，Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…．
因为2n=Cn0+Cn1+…+Cnr+…+Cnn，
所以，Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n−1．
这表明，a+bn的二项展开式的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，并且都等于2n−1．
设计意图：通过师生共同探索，学生再次发现了二项式系数的和的性质，并加深了对赋值法的理解.
三、应用举例
例1 已知x2−1n的展开式所有的二项式系数之和为1024．
（1）求展开式中含x6的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知，2n=1024，解得，n=10．
（1）从而可知展开式的通项公式为Tr+1=C10rx210−r−1r=−1rC10rx20−2r，
要使此项含x6，必须有20−2r=6，从而有r=7，
因此含x6的项为T8=−17C107x6=−120x6．
（2）因为n=10是偶数，所以二项式系数最大项为第6项．
由于展开式的通项公式为Tr+1=C10rx210−r−1r=−1rC10rx20−2r，
所以二项式系数最大项为： T6=−15C105x10=−C105x10．
设计意图：通过例题，学生再次加深了二项式系数的性质的理解，并进一步加深了对二项式定理的理解．
例2 在2x−3y10的展开式中，求：
(1) 各项二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4) 奇数项的系数和与偶数项的系数和；
(5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
分析：因为二项式系数特指组合数Cnr，故在(1)、(3)中只需求组合数的和，而与二项式2x−3y中的系数无关．
解：设2x−3y10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，（*）
各项系数和为a0+a1+a2+…+a10，奇数项系数和为a0+a2+a4+a6+a8+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+a7+a9，x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a7+a9，x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a6+a8+a10．
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1) 二项式系数和为C100+C101+C102+…+C1010=210．
(2) 令x=y=1，各项系数和为2−310=−110=1．
(3) 奇数项的二项式系数和为C100+C102+C104+…+C1010=29，
偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109=29．
(4) 令x=y=1，得a0+a1+a2+…+a10=1， ①
令x=1，y=−1(或x=−1，y=1)得a0−a1+a2−a3+…+a10=510， ②
①＋②得2a0+a2+a4+a6+a8+a10=1+510，
所以奇数项的系数和为1+5102；
①－②得2a1+a3+a5+a7+a9=1−510，
所以偶数项的系数和为1−5102.
(5) x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a7+a9=1−5102，
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a6+a8+a10=1+5102.
总结：要把“二项式系数的和”与“各项系数和”、“奇(偶)数项系数和”与“奇(偶)次项系数和”严格地区别开来，“赋值法”是求系数和的常规方法之一．
例3 用二项式定理证明：9910−1能被1 000整除．
证明：9910−1
=100−110−1
=C10010010−C1011009+…+C1081002−C109100+C1010−1
=C10010010−C1011009+…+C1081002−1 000．
因为上式的每一项都能被1 000整除，所以9910−1能被1 000整除．
设计意图：通过例题，学生再次加深了二项式系数的性质的理解，并进一步加深了对赋值法的理解．
四、课堂练习
1.已知a+bxn=m0+m1x+m2x2+m3x3+…+mnxn，求满足下列条件的值．
（1）求m0；（2）求所有项的系数和；（3）求所有奇数项的系数和；（4）求所有偶数项的系数和．
2.求证：32n+2−8n−9，(n∈N∗)能被64整除．
3. 在x23+3x2n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1) 求展开式中二项式系数最大的项；
(2) 求展开式中系数最大的项．
参考答案：
1. 解：由题意知a+bxn=m0+m1x+m2x2+m3x3+…+mnxn，
（1）令x=0，可得出常数项m0=an；
（2）令x=1，可得出所有项的系数和m0+m1+m2+m3+…+mn=a+bn．
（3）令x=−1，可得出m0−m1+m2−m3+…+−1nmn=a−bn．
令：m0+m1+m2+m3+…+mn=a+bn． ①
m0−m1+m2−m3+…+−1nmn=a−bn． ②
由①+②得：m1+m3+m5+…=a+bn+a−bn2．
（4）由①－②得：m0+m2+m4+…=a+bn−a−bn2．
2.证明：32n+2−8n−9=9n+1−8n−9=8+1n+1−8n−9
=8n+1+Cn+118n+…+Cn+1n−182+Cn+1n8+1−8n−9
=8n+1+Cn+118n+…+Cn+1n−182
=828n−1+Cn+118n−2+…+Cn+1n−1
因为8n−1+Cn+118n−2+…+Cn+1n−1是整数，所以32n+2−8n−9，(n∈N∗)能被64整除．
3.解：令x=1，则展开式中各项系数和为1+3n=22n，
又展开式中二项式系数和为2n，
所以22n−2n=992，所以n=5．
(1) 因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3=C52x2333x22=90x6，T4=C53x2323x23=270x223．
(2) 设展开式中第r+1项系数最大，则Tr+1=C5rx235−r3x2r=3rC5rx10+4r3，
所以3rC5r≥3r−1C5r−13rC5r≥3r+1C5r+1，解得：72≤r≤92，所以r=4，
即展开式中第5项系数最大，T5=C54x233x24=405x263．
总结：区别系数最大项与二项式系数最大项的不同解法．
五、课堂小结

六、布置作业
教材第80-81页习题7.4第9，10，13题．的展开式的二项式系数
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
…
…