2022银川唐徕回民中学高一下学期期中考试数学含解析

银川唐徕回民中学2021～2022学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分钟）命题人：            教研组长：一、    选择题（每题5分共计60分）1. 已知全集，，，则集合A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.考点：集合的运算. 2. 若角，则角是（    ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据象限角的定义判断．【详解】因为，所以是第二象限角．故选：B．3. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则实数（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】将3个向量起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求的值.【详解】如图，将起点平移到原点，则，由可得，解得，故选：D.4. 函数的最小正周期为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的周期性可得答案.【详解】函数的最小正周期为，故选：A5. 已知圆，圆， 则两圆的位置关系是（    ）A. 相离 B. 相交 C. 内含 D. 相切【答案】B【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.【详解】由题设，：，：，∴，半径；，半径；∴，即两圆相交.故选：B6. 下列函数中，为偶函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断.【详解】对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断.7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的（    ）A. 横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B. 横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍D. 向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍【答案】B【解析】【分析】利用的图像变换规律即可得到答案.【详解】把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到的图象，再向右平移个单位长度得到的图象，故A 错误，B正确；把图象上所有点向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故C错误；把图象上所有点向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的倍得到，故D错误.故选：B8. 在正方体中，点在线段中点，异面直线与所成夹角（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出即为异面直线与所成角，在等边三角形中，即可求解.【详解】如图示，在正方体中，.所以即为异面直线与所成角.因为为等边三角形，点在线段中点，所以=.故选：A9. 函数在区间的值域为（    ）A. [，1] B. [1，] C. [1，2] D. [，2]【答案】C【解析】【分析】当时，，然后根据正弦函数的知识可得答案.【详解】当时，，，，故选：C10. 四边形中，，，则下列表示正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为，，所以故选：C11. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知长方体，，设球为其外接球，则球对应的球面上经过两点的测地线长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依题可得为长方体外接球的直径，利用勾股定理求出半径，然后可得，利用弧长公式即可求得结果．【详解】连接，取其中点为，连接，则为长方体外接球的直径，为球心，故半径为所以，又因为，所以则球对应的球面上经过两点的测地线长为．故选：A12. 若，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果.【详解】因为，则，所以，直线的斜率为，因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.二、填空题（每题5分，共计20分）13. 已知，则以为直径的圆的方程为________．【答案】【解析】【分析】求得线段PQ的中点坐标和长度即可.【详解】解：因为，所以线段PQ的中点为（0,0），，所以以为直径的圆的方程为，故答案为：14. 已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15. 已知为所在平面内一点，有下列结论：①若为的内心，则存在实数使；②若，则为的外心；③若，则为的内心；④若，则与的面积比为．其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①【解析】【分析】由已知结合向量的线性表示及向量共线定理，三角形的重心性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：设中点，对于①若为的内心，所以在的角平分线上，因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线，所以存在实数使，即，故①正确；对于②，若，则，所以在中线上且，即三角形重心，故②错误；对于③，，所以为的外心，故③错误；若，则，即，所以为上靠近的三等分点，所以，故与的面积比为，故④错误．故答案为：①16. 已知直线，则圆截直线所得的弦长的最小值是________；直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_______．【答案】    ①. 4    ②. 【解析】【分析】先得到直线过定点，再由圆心与点P的连线，与直线l垂直时，弦长最短求解；由曲线表示以（2,3）为圆心，以2为半径的半圆，利用直线与圆的位置关系求解.【详解】解：直线，即为直线过定点，圆即为：，其圆心为，半径为，所以截直线所得的弦长的最小值是，曲线即为，表示以（2,3）为圆心，以2为半径的半圆，如图所示：，圆心到直线的距离为，解得（舍去）或若直线与曲线有两个公共点，由图象知：实数的取值范围是 ．故答案为：4，三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17. 已知是平面内一对不共线的向量，且，，．（1）若与共线，求实数的值；（2）若，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由与共线可直接构造方程求得；（2）利用向量相等可构造方程组求得，由此可得.【小问1详解】，，，解得：.【小问2详解】，又，，解得：，.18. （1）若且，求、；（2）已知，计算．【答案】（1） ，；（2） ．【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系即可求解；（2）根据诱导公式化简再由弦化切即可求解．【详解】解：（1）由且，知所以，（2）原式19. 已知函数（1）在平面直角坐标系内作出函数在的图象；（2）求函数单调递增区间．【答案】（1）作图见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象；（2）根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为，，函数图象如下所示：【小问2详解】解：令，解得，所以函数单调递增区间为；20. 已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线与圆C相切，求直线的方程．（3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）    （2），或    （3）或【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.【小问1详解】圆心到直线的距离，所以圆的半径为，所以；【小问2详解】当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．直线斜率存在，设直线，由，得所以切线方程为，或．【小问3详解】当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，由，解得：，故方程是，即，综上所述，直线的方程为或21. 如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用正方体的几何性质可证明，结合，由线面垂直的判定定理可证明平面；（2）连接，利用四边形是平行四边形，得到且，进一步证明四边形是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理证明即可；（3）由平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，由等体积法求解体积即可．【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面，平面，∴，∵，，∴平面.（2）证明：连接，∵在正方体中，且，∴四边形是平行四边形，∴且，∵，分别为，中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）由（2）得平面，∴点到平面的距离即为点到平面的距离，∴.22. 已知（1）函数（）在区间上恰有三条对称轴，求的取值范围．（2）函数，①当时，求函数(x)的零点；②当，恒有，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）①或；②【解析】【分析】（1）根据正弦函数的对称性结合整体思想即可得出答案；（2）①利用平方关系，利用换元法，从而可得出答案；②令，则，求出二次函数的对称轴，分类讨论求出函数的最小值，从而可得出答案.【小问1详解】解：当时，，由函数（）在区间上恰有三条对称轴，所以，解得；【小问2详解】解：①当时，令得，因为，所以，即，因为，所以，因为，所以或；②令，则，函数，对称轴，当即，，得，所以，当即，令，得，所以，当即，令，得，所以，综上：为实数的取值范围为．