高中苏教版 (2019)4.3 等比数列教学设计及反思

这是一份高中苏教版 (2019)4.3 等比数列教学设计及反思，共6页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.通过生活中的实例理解等比数列的概念，理解等比中项的概念；
2.会利用等比数列的概念判断一个数列是否为等比数列；
3.通过等比数列概念的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.
教学重难点
重点：等比数列与等比中项的概念．
难点：会判断一个数列是否为等比数列．
教学过程
一、新课导入
《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完.
思考：用数学的眼光来看，你能用数列来表示上述语句的意思吗？
答案：如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，每天得到的“棰”的长度依次是12，14，18，116，132，….
追问：你发现这个数列的取值规律了吗？
二、新知探究
问题1：下列问题中的数列有什么特征？
（1）放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质量.如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间ℎ后衰变到质量Q02，那么称ℎ为物质的半衰期.镭的半衰期是1620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1620年，剩余量依次为
10，10×12，10×(12)2，10×(12)3，…. ①
追问1：数列①中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是12．
（2）某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
36，36×0.9，36×0.9²，36×0.9³，…. ②
追问1：数列②中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是0.9.
（3）某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10000×1.05，10000×1.05²，…，10000×1.055. ③
追问1：数列③中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是1.05.
想一想：与等差数列相比，前面这些数列有什么共同特征？
10，10×12，10×(12)2，10×(12)3，…. ①
36，36×0.9，36×0.9²，36×0.9³，…. ②
10000×1.05，10000×1.05²，…，10000×1.055. ③
总结：对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是一个与项数n无关的常数.
设计意图：通过分析、比较三个数列,概括它们的共同特点,从特殊到一般得出等比数列的概念,并辨析概念．
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么称这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.
你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？
由此定义可知，对等比数列{an}，若公比为q，有
anan−1=q(n≥2)或 an+1an=q或an=qan−1(n≥2)或an+1=qan.
追问：能否说出前面三个数列的公比？
答案：数列①：q=12；数列②：q=0.9；数列③：q=1.05.
【概念巩固】
思考:判断以下数列是否是等比数列？若是，指出公比；若不是，说明理由．
（1）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（2）0，2，0，2；
（3）4，−8，16，−32，64，−128 ；
（4）5，5，5，5，5.
答案:（1）设数列为an，因为an+1an=1.1，所以这个数列是等差数列，公比为1.1；
（2）设数列为bn ，因为b2b1无意义，所以这个数列不是等比数列；
（3）设数列为cn，因为cn+1cn=−2，所以这个数列是等比数列，公比为−2．
（4）设数列为dn，因为dn+1dn=1，所以这个数列是等比数列，公比为1．
注意：①等比数列的任何一项均不能为0；
②等比数列的公比可为正数、负数，不能为0.
③非零常数列既是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.
总结：如何判断一个数列是否是等比数列？
通过验证数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值是否是一个与项数n无关的常数：若是，则是等比数列，若否，则不是等比数列.
问题2：在如下的两个数中插入一个什么数，能让这三个数变成等比数列？
（1）1，（ ），4；
（2）−2，（ ） ，−8；
（3）a，（ ） ，b.
答案：（1）±2；（2）±4.
追问1：数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？
答案：设中间这个数是G，则Ga=bG，整理得G=±ab．
等比中项的概念
与等差中项类似，如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，Ga=bG， G²=ab，G=±ab.我们称G为a，b的等比中项.
问题3：在等比数列an中，是否有an2=an−1an+1(n≥2)？
答案：因为数列an是等比数列，所以
an+1an=anan−1，
即 an2=an−1an+1(n≥2)成立.
显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.
思考：在数列an中，如果对于任意正整数n(n≥2)，都有an2=an−1an+1，
那么数列an一定是等比数列吗？
答案：不一定.例如，对于数列0，0，0，…，总有an2=an−1an+1，但这个数列不是等比数列.
小结：若一个数列an是等比数列，则任意连续三项中都有an2=an−1an+1；反之不一定成立，需要考虑特殊情况或任意性.
练一练：如果−1，a，b，c，−9成等比数列，那么（ ）
A. b=3，ac=9 B. b=−3，ac=9
C. b=3，ac=−9 D. b=−3，ac=−9
答案：∵b是−1，−9的等比中项，∴b²=9，b=±3．
由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b=−3，
而b又是a，c的等比中项，故b²=ac，即ac=9．
故选B.
小结：等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与各项的符号关系.
等比数列中的任一项（除首项、末项外）都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项．
三、应用举例
例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，4，8；
（3）1，−12，14，−18，116.
思考：如何判断一个数列是否为等比数列？
解：（1）所给数列是首项为1，公比为1的等比数列.
（2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列.
（3）所给数列是首项为1，公比为−12的等比数列.
例2 求出下列等比数列中的未知项：
（1）2，a，8；
（2）−4，b，c，12.
解：（1）根据题意，得 a2=8a，
所以 a=4或a=−4.
（2）根据题意，得
b−4=cb， ①12c=cb， ②
解得 b=2， c=−1，
所以， b=2，c=−1.
小结：一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.
特别地，看是否能利用等差中项，但要注意的是符号，等比中项有两个，且互为相反数.
设计意图：通过例题，对等比数列的概念进行练习，掌握如何判断一个数列是否为等比数列和如何根据等比数列的概念求解相关量．
四、课堂练习
1.下列数列是等比数列的是( )
A．2，22，3×22，… B．1a，1a2，1a3，…
C．s−1，s−12，s−13，… D．0，0，0，…
2.在等比数列an中，a3=2，a7=18，则a5为( )
A．4 B．6 C．±6 D．±4
3.若数列an=3n−1+a−2是等比数列，则a=____.
参考答案：
1.解析：222≠3×2222，A不是等比数列；
1a21a＝1a31a2＝…，B是等比数列；
当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不一定是等比数列；
D各项均为0，显然不是等比数列．故选B.
2. 解：因为等比数列an中，a3=2，a7=18，
所以 a52=a3a7，a5=a3·a7=±6.
又因为奇数项符号相同，
所以a5=6.
故选B.
3. 解：由题意得 a1=a−1，a2=a+1，a3=a+7，
所以有 (a+1)2=(a−1)(a+7)，
解得 a=2.
五、课堂小结
方法总结：①判断一个数列是否为等比数列，可通过验证数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值是否是一个与项数n无关的常数：若是，则是等比数列，若否，则不是等比数列.
②若一个数列an是等比数列，则任意连续三项中都有an2=an−1an+1；反之不一定成立，需要考虑特殊情况或任意性.
六、布置作业
教材第145页练习第1，3，5题．